Soluciones Num

1
Soluciones Numéricas de Ecuaciones Diferenciales
ordinarias

• CÁPITULO 6

2
Contenidos

• 6.1 Método de Euler y Análisis de Error
• 6.2 Métodos de Runge-Kutta
• 6.3 Métodos de Varios Pasos
• 6.4 Ecuaciones de Orden Superior y Sistemas
• 6.5 problemas de Valores en al Frontera de
  Segundo Orden

3
6.1 Método de Euler y Análisis de Error

• IntroducciónRecuerde la estructura del Método de
  Euler yn1 yn hf(xn, yn) (1)
• Errores en Métodos NuméricosUna fuente de error
  que siempre está presente en los cálculos es el
  error de rondeo.

4
Errores de Truncamiento para el Método de Euler

• Este logaritmo sólo da una aproximación en línea
  recta a la solución. Este error se llama error de
  truncamiento local, o error de discretización.
  Para obtener una fórmula para el error de
  truncamiento local del método de Euler, usamos la
  fórmula de Taylor con resido. Donde c es un
  punto entre a y x.

5

• Tomando k 1, a xn, x xn1 xn h,
  tenemos ó De ahí que el error de
  truncamiento en yn1 es donde xn lt c lt
  xn1
• El valor de c por lo común no se conoce, pero
  una cota superior es
• donde

6

• Observación Se dice que e(h) es de orden hn,
  representado con O(hn), si existe una constante C
  tal que e(h) ? Chn para h suficientemente
  pequeña.

7
Ejemplo 1

• Determine una cota para los errores de
  truncamiento local del método de Euler aplicado
  a
• SoluciónDe la solución tenemos
  so
• En particular, para h 0.1, se puede obtener
  una cota superior remplazando c por 1.1 es

8
Ejemplo 1 (2)

• Al hacer 5 pasos, remplazando c por 1.5, se
  obtiene (2)

9
Método de Euler Mejorado

• (3)donde (4)se conoce
  comunmente como el Método de Euler Mejorado. Fig
  6.1
• En general, el método de Euler mejorado es un
  ejemplo de método de predictor y corrector.

10
Fig 6.1

11
Ejemplo 2

• Use el método de Euler mejorado para obtener el
  valor aproximado de y(1.5) para la solución de
  . Compare los resultados para h
  0.1 y h 0.05.
• SoluciónCon x0 1, y0 1, f(xn, yn) 2xnyn
  , h 0.1 y1 y0 (0.1)(2xy) 1.2Usando (3)
  con x1 1 h 1.1Los resultados se dan en
  la Tabla 6.3 y 6.4.

12
Tabla 6.3
Valor real Error Abs. error relativo
1.00 1.0000 1.0000 0.0000 0.00
1.10 1.2320 1.2337 0.0017 0.14
1.20 1.5479 1.5527 0.0048 0.31
1.30 1.9832 1.9937 0.0106 0.53
1.40 2.5908 2.6117 0.0209 0.80
1.50 3.4509 3.4904 0.0394 1.13
13
Tabla 6.4
Valor real Error Abs error relativo
1.00 1.0000 1.0000 0.0000 0.00
1.05 1.1077 1.1079 0.0002 0.02
1.10 1.2332 1.2337 0.0004 0.04
1.15 1.3798 1.3806 0.0008 0.06
1.20 1.5514 1.5527 0.0013 0.08
1.25 1.7531 1.7551 0.0020 0.11
1.30 1.9909 1.9937 0.0029 0.14
1.35 2.2721 2.2762 0.0041 0.18
1.40 2.6060 2.6117 0.0057 0.22
1.45 3.0038 3.0117 0.0079 0.26
1.50 3.4795 3.4904 0.0108 0.31
14

• Errores de Truncamiento para el Método Mejorado
  de EulerObserve que el error de truncamiento
  local es O(h3).

15
6.2 Runge-Kutta Methods

• Métodos de Runge-Kutta Todos los métodos de
  Runge-Kutta son generalizaciones de la fórmula
  básica de Euler, en la que la función pendiente f
  se remplaza por un promedio ponderado de
  pendientes en el intervalo xn ? x ?
  xn1 (1) donde las ponderaciones wi, i
  1, 2, , m son constantes que satisfacen w1 w2
  wm 0, y ki es la función evaluada en un
  punto seleccionado (x, y) para el cual xn ? x ?
  xn1.

16

• El número m se llama el orden. Si tomamos m
  1, w1 1, k1 f(x, yn), llegamos al método de
  Euler. Por consiguiente, se dice que el método de
  Euler es un método de Runge-Kutta de primer orden.

17
Método de Runge-Kutta de Segundo Orden

• Tratamos de hallar unas constantes de modo que la
  fórmula (2)donde k1 f(xn, yn),
  k2 f(xn?h, yn?hk1)concuerde con un
  polinomio de Taylor de grado 2. Las constantes
  deben satisfacer (3)luego (4)
  donde w2 ? 0.

18

• Ejemplo escogemos w2 ½ , de donde w1 ½ , ?
  1, ? 1, y (2) se transforma en yn1 yn(k1
  k2)h/2donde k1 f(xn, yn), k2 f(xnh,
  ynhk1).Puesto que xn h xn1, yn hk1 yn
  hf(xn, yn), es idéntica al método de Euler
  mejorado.

19
Método de Runge-Kutta de Cuarto Orden

• Tratamos de hallar parámetros de modo que la
  fórmula (5)donde
• concuerde con un polinomio de Taylor de orden 4.

20

• El conjunto de valores usado con más frecuencia
  para los parámetros produce el siguiente
  resultado (6)

21
Ejemplo 1

• Use el método RK4 con h 0.1 para obtener y(1.5)
  para la solución de y 2xy, y(1) 1.
• Solución Primero se calcula el caso n 0.

22
Ejemplo 1 (2)

• Por lo tanto, Véase la Tabla 6.5.

23
Tabla 6.5 h0.1
Valor real Error Abs. error relativo
1.00 1.0000 1.0000 0.0000 0.00
1.10 1.2337 1.2337 0.0000 0.00
1.20 1.5527 1.5527 0.0000 0.00
1.30 1.9937 1.9937 0.0000 0.00
1.40 2.6116 2.6117 0.0001 0.00
1.50 3.4902 3.4904 0.0001 0.00
24
En la Tabla 6.6 comparan algunos resultados.
h 0.1 h 0.1 h 0.1 h 0.1 h 0.1 h 0.05 h 0.05 h 0.05 h 0.05 h 0.05
xn Euler Euler mejorado RK4 Valor real xn Euler Euler mejorado RK4 Valor real
1.00 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1.10 1.2000 1.2320 1.2337 1.2337 1.05 1.1000 1.1077 1.1079 1.1079
1.20 1.4640 1.5479 1.5527 1.5527 1.10 1.2155 1.2332 1.2337 1.2337
1.30 1.8154 1.9832 1.9937 1.9937 1.15 1.3492 1.3798 1.3806 1.3806
1.40 2.2874 2.5908 2.6116 2.6117 1.20 1.5044 1.5514 1.5527 1.5527
1.50 2.9278 3.4509 3.4902 3.4904 1.25 1.6849 1.7531 1.7551 1.7551
1.30 1.8955 1.9909 1.9937 1.9937
1.35 2.1419 2.2721 2.2762 2.2762
1.40 2.4311 2.6060 2.6117 2.6117
1.45 2.7714 3.0038 3.0117 3.0117
1.50 3.1733 3.4795 3.4903 3.4904
25
Errores de Truncamiento para el Método RK4

• Como es de grado 4, el error de truncamiento
  local es O(h5) y el error de truncamiento global
  es O(h4). Sin embargo, esto no se abarca en este
  texto.

26
Ejemplo 2

• Determine una cota para los errores de
  truncamiento local del método RK4 aplicado a
• SoluciónAl calcular la quinta derivada de la
  solución conocida se
  obtiene (7)Así con c 1.5, entonces
  (7) 0.00028.La Tabla 6.7 proporciona
  aproximaciones a la solución del problema de
  valor inicial en x 1.5 por el método RK4.

27
Tabla 6.7
h Aproximación Error
0.1 3.49021064 1.32321089 ? 10-4
0.05 3.49033382 9.13776090 ? 10-6
28
6.3 Métodos de Varios Pasos

• Método de Adams-Bashforth-Moulton El predictor
  es la fórmula de Adams-Bashforth
  (1)donde n ? 3.

29

• El valor de yn1 se sustituye en el corrector
  de Adams-Moulton (2)

30
Ejemplo 1

• Use el método anterior con h 0.2 para obtener
  y(0.8) para la solución de
• SoluciónCon h 0.2, y(0.8) se aproxima mediante
  y4. En principio s emplea el método RK4 con x0
  0, y0 1, h 0.2 para obtener y1 1.02140000,
  y2 1.09181796, y3 1.22210646

31
Ejemplo 1 (2)

• Ahora con x0 0, x1 0.2, x3 0.4, x4 0.6,
  yf(x, y) x y 1, hallamosEl predictor
  (1) da

32
Ejemplo 1 (3)

• Para usar el corrector (2), se necesita

33
Estabilidad de Métodos Numéricos

• Decimos que un método numérico es estable, si
  cambios pequeños en la condición inicial dan como
  resultado sólo cambios pequeños en la solución
  calculada.

34
6.4 Ecuaciones de Orden Superor y Sistemas

• PVI de Segundo Orden Una PVI (1)puede
  expresarse como (2)Como y(x0) u0,
  entonces y(x0) y0, u(x0) u0.Aplicando el
  método de Euler (2) (3)

35

• Mientras que al aplicar el método
  RK4 (4)donde
• En general,

36
Ejemplo 1

• Use el método de Euler para obtener y(0.2),
  donde (5)
• SoluciónSea y u, entonces (5) se transforma
  en De (3)

37
Ejemplo 1 (2)

• Usando h 0.1, y0 1, u0 2, determinamos

38
Fig 6.2

• En la Fig 6.2 se compara la curva solución
  generada mediante el método de Euler con la curva
  solución generada mediante el método RK4.

39
Ejemplo 2

• Escribir
• como un sistema de ecuaciones diferenciales de
  primer orden.
• SoluciónEscribimos
• Al simplificar

40
Ejemplo 2 (2)

• Sea El sistema original se puede escribir en
  la forma

41
Solución Numérica de un Sistema

• La solución de un sistema de la forma se
  puede aproximar mediante métodos numéricos.

42

• Por ejemplo, mediante el método
  RK4 (6)se parece a
  esto (7)

43

• donde (8)

44
Ejemplo 3

• Considere
• Use el método RK4 para aproximar x(0.6) y y(0.6)
  con h 0.2 y h 0.1.
• SoluciónCon h 0.2 y los datos proporcionados,
  de (8)

45
Ejemplo 3 (2)
46
Ejemplo 3 (3)

• Por lo tanto, de (7) obteenmosObserve Fig
  6.3 y Tabla 6.8, 6.9.

47
Fig 6.3

48
Tabla 6.8

0.00 -1.0000 6.0000
0.20 9.2453 19.0683
0.40 46.0327 55.1203
0.60 158.9430 150.8192
49
Tabla 6.9

0.00 -1.0000 6.0000
0.10 2.3840 10.8883
0.20 9.3379 19.1332
0.30 22.5541 32.8539
0.40 46.5103 55.4420
0.50 88.5729 93.3006
0.60 160.7563 152.0025
50
6.5 Problemas de Valores en la Frontera de
Segundo Orden

• Aproximaciones por Diferencias FinitasEl
  desarrollo en serie de Taylor en a de y(x)
  es Si ponemos h x a, entonces Escribiend
  o la última expresión como (1)y (
  2)

51

• Si h es pequeña, podemso despreciar y y términos
  de orden mayor, luego (3)
  (4)Al restar (1) de (2) se obtiene
  también (5)Si despreciamos los términos
  con h3 y superores, entonces al sumar (1) y
  (2) (6)

52

• Los lados derechos de (3), (4), (5), (6) se
  denominan cocientes de diferencias, y estas
  diferencias se llaman diferencias finitas. y(x
  h) y(x) diferencia hacia delante y(x)
  y(x h) diferencia hacia atrás y(x h) y(x
  h) diferencia central y(x h) 2y(x) y(x
  h) diferencia central

53
Método de Diferencias Finitas

• Considere el PVF (7)Supongase que a
  x0 lt x1 lt lt xn lt b representa una partición
  regular del intervalo a, b, esto es, xi a
  ih, donde i 0, 1, 2, ..., n, y h (b
  a)/n.Estos puntos se llaman puntos de malla
  interiores.Si permitimos que sea yi y(xi),
  Pi P(xi), Qi Q(xi), fi f(xi),

54

• y si y e y en (7) se remplazan por (5) y (6),
  entonces tenemos ó (8)Esto se
  conoce como ecuación de diferencias finitas.

55
Ejemplo 1

• Use (8) con n 4 para aproximar la solución del
  PVF
• SoluciónTenemos P 0, Q 4, f(x) 0, h (1
  0)/4 ¼ .De ahí que (9)Los puntos
  interiores son x1 0 1/4, x2 0 2/4, x3 0
  3/4, entonces (9) genera

56
Ejemplo (2)

• Junto con y0 0, y4 5, luegoObtenemos
  y1 0.7256, y2 1.6327, y3 2.9479.

57
Ejemplo 2

• Use (8) con n 10 para aproximar la solución del
  PVF
• SoluciónTenemos P 3, Q 2, f(x) 4x2,h (2
  1)/10 0.1, de ahí que (8) se
  transforma (10)Los puntos
  interiores x1 1.1, x2 1.2, , x9 1.9, y0 1,
  y10 6, luego (10) genera

58
Ejemplo 2 (2)

• Podemos resolver este sistema de ecuaciones para
  obtener y1, y2, , y9.

59
Método de Disparos

• Otra manera de aproximar una solución se denomina
  método de disparos. El punto de partida de este
  método es remplazar el PVF por un PVI
  (11)donde m1 es simplemente una suposición.
  Esto se deja como ejercicio. Mirese el problema
  14.