Hedge de uma carteira de Renda Fixa

1
Hedge de uma carteira de Renda Fixa

• Parte 3

2
Resumo

• Precificação e Hedging
• Precificação de fluxos de caixa sem risco
• Risco de Taxas de Juros
• Princípios de Hedging
• Técnicas de Hedge Baseadas em Duration
• Definição de duration
• Propriedades da duration
• Hedging com duration

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Hedging - Notação

• B(t,T) preço na data t de um zero coupon
  pagando 1 na data T ( fator de desconto )
• Ra(t,?) taxa de zero coupon
• Ou taxa de desconto,
• Ou yield-to-maturity de um zero-coupon bond com
  maturidade na data t ?

• R(t,?) Taxa continuamente composta com
  maturidade em t ?

• Equivalentemente,

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Hedging

• O valor na data t (Vt) de um bond que paga fluxos
  de caixa F(i) é dado por

• Exemplo 100 bond com 5 coupon

• Logo, o valor é função do tempo e das taxas de
  juros
• Valor muda quando as taxas de juros oscilam

5
Risco de Taxas de Juros

• Exemplo
• Assuma uma estrutura a termo constante
• Ra(0,?) 10 para todo ?
• Bond de 10 anos, taxa de coupon 10
• Price 100
• Se a ET sobe para 12 (parallel shift)
• Preço do Bond 88.7
• Perda de Capital 11.3, or 11.3
• Implicações
• Hedging do risco de taxas de juros é
  economicamente importante
• Tarefa é complexa há 10 fatores de risco nesse
  exemplo

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Precificação e Hedging Princípios

• Princípio básico tentar reduzir a
  dimensionalidade do problema
• Primeiro passo duration hedging
• Considera apenas 1 fator de risco
• Assume uma ET constante
• Assume pequenas mudanças no fator de risco
• Outros passos além de duration
• Relaxar a hipótese de pequenas mudanças nas taxas
• Relaxar a hipótese de curva constante
• Relaxar a hipótese de mudanças paralelas

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Duration HedgingDuration

• Use uma proxy para a ET o yield to maturity do
  bond
• É uma média das taxas da ET
• Se a ET for constantes, valores são idênticos
• Vamos verificar a sensibilidade do preço do bond
  a mudanças na YTM
• Mudança na ET significa mudança nas taxas
• Preço do bond

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Duration Hedging Sensibilidade

• Risco de taxas de juros
• Taxas mudam de y para ydy
• dy é pequeno, digamos 1 basis point (e.g., de 5
  para 5.01)
• Mudança no valor do bond dV devido a uma mudança
  na taxa dy

• Para pequenas mudanças, pode ser aproximado por

• Variação relativa

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Duration Hedging Duration

• A sensibilidade relativa, denotada por Sens, é a
  derivada parcial do preço do bond com respeito a
  taxa, dividido pelo preço do bond
• Formalmente

• Dado em valores relativos (percentuais)
• Sempre um número negativo
• Taxa cai, preço sobe.
• Taxa sobe, preço cai

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Duration Hedging Terminologia

• O negativo da sensibilidade Sens é chamado de
   Modified Duration 
• A sensibilidade absoluta V(y) Sens x V(y) é
  chamada de Duration
• Exemplo
• Bond com 10 anos p/ maturidade
• Coupon rate 6
• Cotado a 5 yield ou equivalentemente por 107.72
• A Duration desse bond é -809.67 e a duration
  modificada é 7.52.
• Interpretação
• Se a taxa subir 0.1 (10 basis points)
• Absoluto PL -809.67x.0.1 -0.80967
• Relativo PL -7.52x0.1 -0.752

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Duration Hedging Duration

• Definição de Duration D

• Também conhecido como Macaulay duration
• É uma medida da maturidade média

• Relação entre a sensibilidade e a modified
  duration

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Duration Hedging Exemplo
Exemplo m 10, c 5.34, y 5.34
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Duration Hedging Propriedades da Duration

• Duration de um zero coupon bond é
• Igual a maturidade
• Fixada a maturidade e o yield, a duration aumenta
  quando a taxa de cupom
• Diminui
• Fixada a taxa de cupom e o yield, a duration
  aumenta quando a maturidade
• Aumenta
• Fixada a maturidade e a taxa de cupom, a duration
  aumenta quando o yield
• Diminui

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Duration Hedging Propriedades da Duration -
Exemplo
15
Duration Hedging Propriedades da Duration -
Linearidade

• Duration de um portfolio de n bonds

onde wi é o peso do bond i no portfolio

• Isso é verdade apenas se todos os bonds tiverem a
  mesma taxa, i.e., se a ET for constante

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Duration Hedging Hedging

• Princípio imunizar o valor de um portfolio de
  bonds com respeito a mudanças nas taxas
• Denote por P o valor do portfolio
• Denote por H o valor do instrumento de hedging
• Instrumento de Hedging pode ser
• Bond
• Swap
• Futuro
• Opção
• Assuma uma ET constante

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Duration Hedging Hedging

• Mudança no valor
• Portfolio

• Hedging instrument

• Estratégia manter q unidades do instrumento

• Solução

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Duration Hedging Hedging

• Exemplo
• Na data t, um portfolio P tem preço igual a
  328635, yield de 5.143 e 7.108 MDur
• Instrumento de hedging, um bond, tem preço de
  118.786, yield de 4.779 e 5.748 MDur
• Estratégia de Hedging involve a venda de q bonds
• q -(328635x7.108)/(118.786x5.748) - 3421

19

• Hedge
• Além de Duration

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Resumo

• Considerar mudanças maiores na taxa
• Considerar ETs não constantes
• Considerar mudanças não paralelas na ET

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Além de Duration Limites da Duration

• Duration hedging é
• Muito simples
• Construido sobre hipóteses muito restritivas
• Hipótese 1 pequenas mudanças na ET
• O valor do Portfolio pode ser aproximado por uma
  expansão de Taylor de primeira ordem
• OK para mudanças pequenas, mas ruim para mudanças
  maiores
• Por isso o portfolio de hedging precisa ser
  reajustado frequentemente
• Hipótese 2 a curva de juros é constante em t0
• Em particular supomos que todos os bonds tenham a
  mesma yield
• Em outras palavras, o risco de taxas de juros é
  visto simplesmente como o risco do nível das
  taxas
• Hipótese 3 a curva de juros é constante para
  todo tempo t
• Assumimos apenas mudanças paralelas da curva de
  juros

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Considerar Mudanças Maiores na TaxaDuration e
Risco de Taxas de Juros
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Considerar Mudanças Maiores na Taxa - Erro de
Hedging

• Considere um bond de 10 anos, com coupon anual de
  6, 7.36 de modified duration, negociado a par
• O que acontece se
• Caso 1 yield aumenta de 6 para 6.10
• Caso 2 yield aumenta de 6 to 8
• Caso 1
• Desconte os fluxos de caixa com a nova taxa e
  obtenha 99.267
• Variação absoluta - 0.733 (99.267-100)
• Use modified duration e calcule a variação
  aproximada
• -100x7.36x0.001 - 0.736
• Ótima aproximação
• Caso 2
• Desconte os fluxos de caixa com a nova taxa e
  obtenha 86.58
• Variação absoluta - 13.42 (86.58 -100)
• Use modified duration e calcule a variação
  aproximada
• -100x7.36x0.02 - 14.72
• Aproximação ruim

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Considerar Mudanças Maiores na Taxa Convexity

• Relação entre o preço e a taxa é convexa

• Aproximação de Taylor

• Variação relativa

• C é a convexidade relativa

See exercise 6.3
25
Convexity and Convexity

• Convexity V(y) Conv x V(y)
• Exemplo anterior
• Bond de 10 anos, com coupon anual de, 7.36
  modified duration, 6974 convexity negociado a
  par
• Caso 2 taxa sobe de 6 para 8
• Aproximação de segunda ordem
• Calcule -14.72 (6974.(0.02)²/2) -13.33
• Solução exata é -13.42, e a aproximação de
  primeira ordem é 14.72

• A Convexidade Relativa é

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Propriedades da Convexidade

• Convexidade é sempre positiva
• Fixada a maturidade e o yield, a convexidade
  aumenta quando a taxa de coupon
• Diminui
• Fixada a taxa de coupon e o yield, a convexidade
  aumenta quando a maturidade
• Aumenta
• Fixada a maturidade e a taxa de coupon, a
  convexidade aumenta quando o yield
• Diminui

27
Considerar Mudanças Maiores na Taxa
Propriedades da Convexidade
28
Considerar Mudanças Maiores na Taxa - Linearidade

• Convexity de um portfolio de n bonds

onde wi é o peso do bond i no portfolio

• Isso é verdade apenas se todos os bonds tiverem a
  mesma taxa, i.e., se a ET for constante

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Considerar Mudanças Maiores na Taxa
Duration-Convexity Hedging

• Princípio imunizar o valor de um portfolio de
  bonds com respeito a mudanças nas taxas
• Denote por P o valor do portfolio
• Denote por H1 e H2 os valores dos instrumentos de
  hedging
• Precisamos de 2 instrumentos, pois faremos o
  hedging de 1 fator de risco até segunda ordem
• Mudança no Valor
• Portfolio

• Instrumentos de Hedging

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Duration-Convexity Hedging

• Estratégia manter q1 (resp. q2) unidades do
  primeiro (resp. segundo) instrumentos de hedging,
  tal que

• Solução (sob a hipótese de um único shift
  paralelo)

• Ou (assumindo uma mesma curva constante y )

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Considerar uma ET Arbitrária

• Problema com método anterior assumimos uma mesma
  taxa para todos os instrumentos, i.e., uma ET
  constante.
• Relaxaremos essa hipótese considerando 3 taxas
  distintas y, y1, y2
• Manteremos a hipótese de mudanças paralelas
  dessas curvas, i.e., assumiremos dy dy1 dy2
• Ainda buscamos q1 e q2 tais que

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Considerar uma ET Arbitrária

• Solução (sob a hipótese de mesma mudança paralela
  dy)

• ou (relaxando a hipótese de ET constante)

• Substitua a (Macaulay) duration pela
  sensibilidade ou modified duration na primeira
  equação

33
Considerar uma ET não constante Vejamos um
exemplo!

• Portfolio na data t
• Preço P 32863.5
• Yield y 5.143
• Sens 6.76
• Conv 85.329
• Instrumento de Hedging 1
• Preço H1 97.962
• Yield y1 5.232
• Sens1 8.813
• Conv1 99.081
• Instrumento de Hedging 2
• Preço H2 108.039
• Yield y2 4.097
• Sens2 2.704
• Conv2 10.168

34
Considerar uma ET não constante Vejamos um
exemplo!

• Quantidades ótimas q1 e q2 dos instrumentos de
  hedge são dados por

• Ou q1 -305 e q2 140
• Se estiver comprado no portfolio, deve vender 305
  unidades de H1 e comprar 140 unidades de H2

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Considerar Movimentos não Paralelos da ET

• Má notícia não apenas a ET é não constante, como
  também muda de forma!
• Métodos descritos até agora não consideram essas
  deformações
• Fatores de risco Adicionais
• Devemos reagrupar os diferentes fatores de risco
  para reduzir a dimensionalidade ie., um fator de
  curto, médio e longo prazo
• Abordagem sistemática análise de fatores no
  histórico de dados elucida a dinâmica da ET
• 3 fatores respondem por mais de 90 das
  oscilações
• Fator nível
• Fator inclinação
• Fator curvatura

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Além de Duration Comentários Gerais

• Qualquer o método usado, duration, modified
  duration, convexidade ou sensibilidade aos
  parâmentros de Nelson-Siegel, são quantidades que
  variam no tempo
• Desde que seus valores impactem diretamente na
  quantidade dos instrumentos de hedging, a
  estratégia é dinâmica
• Rebalanceamentos precisam ser feitos para ajustar
  o portfolio de hedging
• No contexto de Nelson e Siegel, podemos eleger
  para quais parâmetros desejamos hedging
• Assim podemos especular em alguns fatores,
  ficando protegido aos demais
• Estratégias de  semi-hedging 
• Exemplo aposta de inclinação com proteção ao
  nível 

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Hedge de mínima variância

• Suponha uma carteira com valor de mercado P(y(p))
  e YTM y(p)
• e um instrumento de hedge com valor de mercado
  H(y(h)) e YTM y(h)
• Risco de base
• Mininizando o risco de base encontro g
• Regressão linear

38
Bucket hedge

• Alocar para cada título da carteira um
  instrumento de hedge com a duration mais próxima.

39
Covariance Key interest hedge

• Combinação de instrumentos de hedge que
  simultaneamente
• Minimiza a variância do risco de base da carteira
  
• Incorpora a relação entre taxas de juros
  selecionadas via sua matriz de covariância
• Em média BPV(m,B) gamaBPV(m,H)

40
Covariance Key interest hedge

• Passos
• (1) Escolha um conjunto de m taxas chave que
  adequadamente explicam a curva de juros. Estas
  taxas podem ser forwards ou zeros
• (2) Estimar a matriz de covariância O de mudanças
  nas m taxas chave
• (3) Computar o vetor de valores de pontos base
  parciais (BPVs) para a carteira original,
  BPV(m,B). Em que representa a variação no valor
  presente da carteira original devido a mudança de
  1 bps na taxa chave m.

41
Covariance Key interest hedge

• (4) Computar a matriz MxN de BPVs parciais para
  os N instrumentos de hedge, BPV(m,H(n)) . Em que
  representa a representa a variação no valor
  presente do instrumento de hedge n devido a
  mudança de 1 bps na taxa chave m.
• Truque (cov(n,m)/var(m))
• (5) Encontre vetor N-dimensional de razões de
  hedge ß que minimiza a variância do risco de
  base

42
Key interest hedge ResultadoFalkenstein e
Hanweck (1996)

• Hedge via taxas chave é superior aos hedges
  bucket, barbell e baseado em componentes
  principais (Valor absoluto médio da mudança no
  valor de base como do valor de face).

43
Considerar Movimentos não Paralelos da ET

• Para considerarmos mudanças na ET, precisamos das
  taxas de zero coupon

• Ou, usando taxas continuamente compostas

44
Considerar Movimentos não Paralelos da ET -
Modelo Nelson Siegel

• O problema agora é que lidamos com m fatores de
  risco
• Reduzir a dimensionalidade do problema escrevendo
  a ET como função de 3 parâmetros
• Uma abordagem clássica é o modelo de Nelson e
  Siegels

• R(0,?) taxa de desconto com maturidade ?
• ?0 fator nível
• ?1 fator inclinação
• ?2 fator curvatura
• ? parâmetro de escala fixo
• Princípio do Hedging imunize o portfolio com
  respeito a mudanças nesses 3 parâmetros

45
Considerar Movimentos não Paralelos da ET -
Modelo Nelson Siegel

• Mecânica do modelo mudanças nos parâmetros betas
  implicam em mudanças nas taxas de desconto e
  consequentemente nos preços
• Pode-se facilmente calcular as sensibilidades
  (derivadas parciais) de R(0,?) com respeito a
  cada beta
• Consistente com análise de fatores no sentido que
  os parâmentros representam nível, inclinação e
  curvatura da ET

46
Considerar Movimentos não Paralelos da ET -
Modelo Nelson Siegel
47
Considerar Movimentos não Paralelos da ET- Modelo
Nelson Siegel

• Considere na data t0 um bond com preço P e fluxo
  de caixa Fi
• O preço é dado por

• Sensibilidades do preço do bond com repeito a
  cada beta é

48
Considerar Movimentos não Paralelos da ET -
Exemplo

• Na data t0, parâmetros são estimados em

• Sensibilidades de 3 bonds com respeito aos betas
  e também de um portfolio cum 1 unidade de cada
  bond

49
Considerar Movimentos não Paralelos da ET -
Nelson Siegel

• Princípio imunizar o valor do portfolio com
  respeito a mudanças nos betas
• Denote por P o valor do portfolio
• Denote por H1, H2 e H3 o valor dos 3 instrumentos
  de hedging
• Precisamos de 3 instrumentos de hedging
  instruments pois há 3 fatores de risco
  (considerados até primeira ordem)
• Podemos impor, também restrição de neutralidade
  monetária q0H0 q1H1 q2H2 q3H3 q4H4 - P
  (adicionando um 4o instrumento)
• Formalmente encontre q1, q2 e q3 tal que

50
Previsão e Simulação da ETTJ

• Parte 4

51
Previsão

• Previsão é a arte de se prever o estado da
  economia no futuro (que é incerto), dado o estado
  hoje.
• Modelos paramétricos
• Matriz de covar de taxas chave.
• Taxas ou fatores de modelo paramétrico apresentam
  persistência ou relação com o passado
• Utilizar persistência para prever ETTJ.

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Fatores e previsão

• Supomos que os fatores seguem algum processo. Ex
  AR(1) ou VAR(1)
• Suponha um modelo paramétrico com N fatores.
• Fatores são os coeficientes estimados de um
  modelo paramétrico
• Ou componentes principais estatísticos
• Ou cada uma das taxas selecionadas

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AR(1)

• Cada um dos N fatores evolui de acordo
• Estimador média condicional
• Média
• 70 das vezes IC

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MonteCarlo

• análise de cenários
• distribuição empírica de Perdas e Ganhos de uma
  carteira de renda fixa
• Modelo paramétrico
• Matriz de covar de taxas selecionadas
• MC colocar o modelo para rodar (choques)
  construir diversas trajetórias possíveis para o
  estado futuro da economia (fatores).

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MonteCarlo Matriz de Var Random Walk

• (1) Construir matriz de Var (V) da diferença das
  taxas.
• (2) Decomposição de Cholesky em V
• Output matriz P triangular
• (3) Gerar vetor de choques N(0,I)
• dim(choque) dim(taxas)
• (4) Multiplicar vetor de choques por P para
  construir um cenário de variação de taxa.
• (5) Voltar ao passo 3 (S-1) vezes para construir
  S cenários.

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MonteCarlo Modelo Paramétrico

• (1) Simular uma trajetória para os choques a
  partir da distribuição
• (2) Construir trajetória para fatores utilizando
  o modelo
• (3) Retornar ao passo 1 (S-1) vezes para obter S
  trajetórias simuladas.