BOUNDARY LAYER (LAPISAN BATAS)

1
BOUNDARY LAYER (LAPISAN BATAS)
2

• Sub-chapters
• 11.1. Prandtls boundary layer
  equations
• 11.2. The steady-flow laminar boundary layer
  on a flat plate parallel to the flow
• 11.3. Turbulent boundary layers
• 11.4. Turbulent flow in pipes
• 11.5. The steady, turbulent boundary layer
  on a flat plate

3

• 1. Prandtls Boundary Layer Equations
• Simplifikasi boundary layer oleh Ludwig Prandtl
• Permukaan padatan dipakai sebagai sumbu x, lihat
  Gambar 1.
• Gravitasi tidak penting dibanding gaya-gaya lain
• Aliran 2-dimensi dalam arah x dan y. Karena itu
  Vz 0, dVx/dz, dVy/dz dan dVz/dz 0.
• Aliran pada arah y sangat lambat dibanding arah x
  (Vy ltlt Vx) sehingga ?P/ ?y ? 0
• ?(?2Vx/?x2) dalam neraca momentum ltlt ?(?2Vx/?y2)
  sehingga ?(?2Vx/?y2) diabaikan. Gradien Vx arah y
  sangat besar.

4

• .
• Dengan simplifikasi ini, persamaan neraca
  momentum menjadi
• (11.1)
• Neraca massa dengan densitas konstan
• (11.2)
• Pers (11.1) dan (11.2) ini dinamakan
  boundary-layer eqns atau Prandtls boundary-layer
  equations.

5

• Aliran dalam pipa mungkin laminar atau turbulen.
  Pers (11.1) dan (11.2) berlaku pada aliran
  laminar.
• .

6
2. Boundary-layer laminar pada pelat datar
sejajar aliran

• Pada boundary-layer laminar (lihat Gambar 2)
• Vx and Vy 0 pada y 0
• Vx V pada y jauh dari dinding V?
• Vy 0 pada seluruh x dan y
• ?P/?x 0 di dalam boundary-layer. P di dalam
  boundary layer ? P di luar boundary layer
• Maka Pers 11.1 menjadi
• (11.4)

7

• Jika ujung pelat digerakkan dalam fluida diam
• (11.5)
• dan
• di mana erf adalah Gauss error function
• Maka Vx f(?t) atau f(?x/V?)
• Gambar 11.3 menunjukkan korelasi di pelat tipis

8
(No Transcript)
9

• 2.1. Boundary Layer Thickness ?
• Gambar 3 menunjukkan distribusi Vx sebagai fungsi
  dari y. Pada posisi di mana Vx/V? ? 1,
• ? ? 5 (11.9)
• ? adalah boundary layer thickness, yang besarnya
  fungsi dari jarak x. Maka boundary layer tumbuh
  sebanding dengan akar jarak dari ujung pelat.
• Pers 11.9 dinamakan Blasius solution. Rumus ini
  berlaku pada pelat datar maupun pelat sedikit
  berkurva seperti permukaan sayap pesawat.

10

• Contoh 1. Hitunglah ?
• Pada titik di sayap pesawat 2ft dari leading edge
  ketika pesawat terbang 200 mi/jam di udara.
• Pada titik 2 ft dari hidung kapal ketika bergerak
  10 mi/jam di air
• Jawaban
• Untuk udara,
• ? 5
• Untuk air,
• ? 5

11

• Gaya gesek (drag force) pada pelat bisa diperoleh
  dari
• ? ? (1.5)
• Diferensial absis di Gambar 3 terhadap Vx pada x
  konstan menghasilkan
• (11.10)
• atau
• (11.11)

12

• Suku kiri Pers (11.11) disubstitusi ke Pers (1.5)
  untuk mendapatkan shear stress. Kemudian shear
  stress digunakan untuk menghitung gaya gesek.
• Pada y0 atau ? 0 (di permukaan),
• di Gambar 3
• 0,332. Maka, shear stress di sebarang titik di
  permukaan adalah
• ?0 0,332 ? V? (V?/(?x))0.5 (11.12)
• Koefisien gesek setempat (local drag
  coefficient), dengan tanda apostrop ()
• (11.13)

13

• maka
• (11.14)
• (11.15)
• maka
• (11.16)

14

• Gambar 4 menunjukkan plot untuk local drag
  coefficient. Plot untuk aliran laminar memenuhi
  Pers 11.16.
• Pada leading edge pelat (x0) Rex 0 ? ?
  Secara fisik tidak realistis sehingga Pers 11.16
  tidak benar pada daerah dekat leading edge.
• memberikan drag force local, yang mana tidak
  praktis. Data drag force keseluruhan pelat lebih
  berguna. Gaya pada pelat dengan lebar W adalah
• . (11.17)

15
(No Transcript)
16

• Drag coefficient untuk keseluruhan pelat adalah
• (11.18)
• Substitusi Pers 11.16 ke Pers 11.18
• (11.19)

17

• Contoh 2. Pelat 1 m2 ditarik di belakang kapal
  menggunakan kawat tipis dan panjang sehingga tak
  mengganggu aliran. Boundary layer pada kedua sisi
  pelat adalah laminar. Kecepatan kapal 15
  km/jam. Berapa gaya yang diperlukan untuk menarik
  pelat?
• Jawab
• Reynolds number

18

• Maka
• dan
• 11,3 N2,54 lbf

19

• 2.2. Displacement Thickness ?
• Gambar 5 memberikan penjelasan untuk ? untuk
  system pelat dengan lebar W (? gambar).
  Streamlines di sebelah kanan ujung pelat
  menggambarkan seolah-olah terjadi kenaikan tebal
  aliran sebesar ? karena boundary layer. Neraca
  materialnya adalah

20

• . (11.20)
• Dengan membagi Pers 11.20 dengan ?W dan
  mengurangi V?? pada kedua sisi, maka
• (11.21)
• atau (11.22)
• . (11.22a)
• Pengertian fisik displacement thickness ?
  ditunjukkan oleh Pers (11.22a) dan Gambar 6.
  Besarnya ? adalah ketebalan boundary layer yang
  seolah-olah mempunyai kecepatan uniform sebesar
  V?. Pers 11.22 berlaku baik aliran laminar maupun
  turbulen.

21

• .
• Dengan mengalikan kedua sisi Pers 11.22 dengan
  maka diperoleh
• (11.23)

22

• Karena adanya boundary layer, aliran melalui
  suatu titik pada permukaan berkurang oleh volume
  ekivalen area hitam di Gambar 6 kanan.
• Pengurangan volume ini diberikan oleh integral
  .
• Kalau area disamakan dengan area hitam di gambar
  6 tengah, yang volumenya ?V?, maka ?
  didefinisikan sebagai jarak di mana permukaan
  harus bergerak dalam arah y untuk mengurangi
  volume yang ekivalen dengan volume karena efek
  boundary layer.

23

• Integrasi Pers 11.23 dengan menggunakan daerah
  sebelah kiri di atas kurva Gambar 3 akan
  diperoleh nilai sebesar 1,72, sehingga Pers 11.23
  menjadi
• (11.24)
• Perbandingan Pers 11.24 dan Pers 11.9 menunjukkan
  bahwa ?/? 1,72/5 atau ? 1/3.

24

• 2.3. Momentum Thickness ?
• Gambar 7 menunjukkan system untuk neraca
  momentum.
• Neraca momentum
• Momentum masuk momentum keluar gaya gesek 0

25

• Bila gaya gesek diberikan ke fluida yang
  seolah-olah mengalir dengan kecepatan uniform V?,
  maka perubahan momentum fluida karena perubahan
  ketebalan sebesar ? ?W?V?.V? dan dari Pers
  (11.17)
• (11.25)
• atau
• (11.26)
• Dengan nilai ?0 yang diketahui dari Pers 11.12,
  maka
• (11.27)

26

• Perbandingan Pers 11.27 dan Pers 11.9 menunjukkan
  bahwa ?/? 0,664/5 ? 1/8.
• Dengan neraca momentum di Gambar 7 maka
• (11.28)
• atau
• . (11.28a)
• Pers (11.28a) menunjukkan ?momentum ekivalen oleh
  kecepatan uniform V? karena ? ketebalan ?
  ?momentum karena ? kecepatan.
• Pers (11.28) berlaku juga untuk aliran turbulen.

27
3. Turbulent Boundary Layers

• Aliran di boundary layer mungkin laminar atau
  turbulen. Di pipa transisi terjadi pada Re ? 2000
  atau lebih tinggi bila dinding pipa sangat halus
  atau vibrasi ? 0.
• Pada pelat datar, transisi terjadi pada Re dari
  3,5x105 hingga 2,8x106.
• Transisi sangat dipengaruhi oleh kekasaran
  permukaan dan turbulensi aliran utama.
• Gambar 8 menunjukkan boundary layer pada
  permukaan halus yang cukup panjang. Pada boundary
  layer turbulen terdapat laminar sublayer.

28

• Aliran laminar mudah diprediksi. Aliran turbulen
  sulit diprediksi dan memerlukan percobaan.
• Pada aliran turbulen kecepatan pada suatu titik
  berfluktuasi terhadap waktu, maka berlaku
• . (11.29)
• di mana
• (11.30)

29
(No Transcript)
30
4. Turbulent Flow in Pipes

• Ada shear stress karena friksi antara dinding
  pipa dan fluida dan Reynolds stress karena friksi
  antar fluida yang mempunyai velocity yang
  berbeda.
• Terdapat perbedaan profil velocity sebagai fungsi
  radius dalam pipa (lihat Gambar 9). Aliran
  laminar berbentuk parabolic, aliran turbulen
  berbentuk plug-flow (velocity uniform pada
  penampang pipa).
• Baik aliran laminar maupun turbulen, eddy pada
  dinding pipa hilang dan memenuhi ?0 ?. Gradien
  aliran turbulen lebih besar.

31

• Aliran turbulen memenuhi
• (11.31)
• di mana nilai n bervariasi dari 1/10 pada Re
  tertinggi ke 1/6 pada Re terendah.
• Gambar 10 adalah distribusi kecepatan universal
  untuk aliran turbulen untuk pipa halus. Terdapat
  dua variable, u dan y.
• dan di mana x rwall r

32
(No Transcript)
33
(No Transcript)
34

• Di Gambar 10 terdapat variabel yang disebut
  friction velocity u, yang besarnya
• (11.32)
• Gambar 10 menunjukkan 3 zone dari dinding pipa
  hingga sumbu pipa, yaitu laminar sublayer,
  buffer layer dan turbulent core.
• Laminar sublayer shear stress karena viscous
  shear.
• Turbulent core shear stress karena turbulent Re
  stress.
• Buffer layer viscous and Re stress punya order
  of magnitude yang sama. Sulit mengukur di laminar
  sublayer dan buffer layer.

35

• Contoh 3. Air mengalir dalam pipa halus 3 in ID
  dengan velocity rata-rata 10ft/s. Berapa jarak
  tepi laminar sublayer dan buffer layer dari
  dinding pipa? Berapa kecepatan rata-rata di
  titik-
• titik tsb?
• Jawab
• Dari Gambar 10 untuk pipa halus, f 0,0037
• Dari Gambar 10 batas laminar sublayer u?
• 5 dan y?5, maka
• 1,2x10-4ft 0,037mm
• Pada tepi buffer layer u? 12 dan y? 26, maka

36

• .
• 1,2x10-4ft0,037mm
• Pada tepi buffer layer u? 12 dan y? 26, maka
• Vx 5,2 ft/s1,59 m/s, rwall- r 7 x 10-3 in
  0,18 mm.

37
5. Steady, Turbulent Boundary Layer on A Flat
Plate

• Tidak ada solusi analitis untuk boundary layer
  turbulen pada pelat datar. Asumsi-asumsi Prandtl
• Kecepatan rata-rata dalam arah x pada suatu titk
  memenuhi Pers 11.31 dengan pangkat 1/7 (Prandtls
  1/7 power rule) dalam bentuk
• (11.33)
• Pada Re antara 3 x 103 dan 3 x 105, plot faktor
  friksi untuk pipa halus bisa digunakan
• (11.34)

38

• Kombinasi Pers 11.33 dan 11.34 menghasilkan
• (11.35)
• Pers 11.35 dan persamaan2 lain menghasilkan
• (11.36)
• (11.37)
• Contoh 4.
• Speedboat menarik pelat halus dengan lebar 1 ft
  and panjang 20 ft melalui air diam dengan
  kecepatan 50 ft/s.
• Tentukan tebal boundary layer pada ujung pelat
  dan drag pada pelat!

39

• Jawab
• Pada ujung pelat,
• Dari Pers 11.35,
• Sebagai pendekatan pertama, seluruh boundary
  layer turbulen, maka dengan Pers 11.37
• 178 lbf 790 N

40

• Untuk menentukan besarnya kesalahan dengan asumsi
  seluruh pelat turbulen, kita asumsikan bahwa
  transisi dari laminar ke turbulen terjadi pada
  Rex 106. Ini berkaitan dengan jarak 1/100
  panjang pelat (106/108) maka boundary layer
  untuk jarak 0,2 ft diasumsikan laminar. Untuk
  daerah ini drag karena laminar boundary layer
  diberikan oleh Pers 11.19
• .
• 1,3 lbf 5,8 N

41

• Pada perhitungan yang mengasumsikan seluruh pelat
  pada kondisi turbulen, maka
• 4,4 lbf 19,5 N
• Dari 0 hingga 0,2 ft, perbedaan F antara laminar
  dan turbulen 19,5 5,8 13,7 N, sangat kecil
  dibanding 790 N.

42
Corrections for Chap 11.

• Four corrections in deNeverss book
• Eq. 11.27. ? 0.664 x/Rex0.5.
• Eq. 11.34. f 0.00791/Re0.25
• Problem 11.14. ?0 0.5 ? Vx,avg2.f
• Problem 11.14. ?0/? 0.225.V?2 (?/(V?.?))1/4