Expected Shortfall e Misure Spettrali di Rischio:

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Expected Shortfall e Misure Spettrali di
Rischio Un indagine critica sul concetto di
rischio finanziario
PASSEPARTOUT Milano Bicocca 18 Giugno 2002
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Schema della presentazione

• Definire una Misura di Rischio
• Value at Risk (VaR)
• Expected Shortfall (ES)
• Misure Coerenti di Rischio
• Definizione Coerente di ES alcune sottigliezze
  matematiche
• Misure Spettrali di Rischio
• Subjective Risk Aversion e Misure Coerenti.
• La Risk Aversion Function ?

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Argomento solo finanza (e un po di statistica)
Le domande del Risk Manager Le domande del Risk Manager Le domande del Risk Manager Le domande del Risk Manager
Finanziarie Statistiche Probabilistiche Computazionali
Che cosa misuro ? Come stimo la misura ? Che ipotesi devo fare ? Che computer mi serve ?
La nostra indagine è dedicata solo a temi
finanziari e statistici. I risultati saranno
peraltro assolutamente generali
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Parte 1 Definire una Misura di Rischio
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Value at Risk (VaR) come funziona

• Per calcolare il VaR di un portafoglio si deve
  fissare
• Un orizzonte temporale ad esempio un giorno.
  Rappresenta il periodo futuro di osservazione.
• Un livello di confidenza ad esempio una
  probabilità del 5. Rappresenta la frazione
  scelta di casi peggiori per il portafoglio.

Il VaR è definito da Il VaR di un portafoglio è
la perdita minima che esso può subire in un
giorno nel 5 di casi peggiori O
analogamente, Il VaR di un portafoglio è la
perdita massima che esso può subire in un giorno
nel 95 di casi migliori
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Value at Risk (VaR) come funziona
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LExpected Shortfall come evoluzione del VaR
Definizione di Expected Shortfall L ES di un
portafoglio è la perdita media che esso può
subire in un giorno nel 5 di casi
peggiori Mentre Il VaR di un portafoglio è la
perdita minima che esso può subire in un giorno
nel 5 di casi peggiori
ES la media dei casi peggiori VaR il migliore
dei casi peggiori
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Expected Shortfall come funziona
... ma cambia poi così tanto ?
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Rischi diversi ma stesso VaR
Il VaR non si preoccupa di che cosa succeda
oltre la soglia. Io invece mi preoccupo !
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Protection Selling ...

• Possiamo classificare gli strumenti o portafogli
  finanziari in due categorie
• Protection Seller Position è una posizione
  finanziaria tipicamente soggetta a rischi molto
  elevati ma di probabilità molto bassa, con
  profitti relativamente modesti ma molto
  probabili.
• es una compagnia di assicurazione che percepisce
  una polizza annua ma garantisce lindennizzo dei
  danni derivanti da una catastrofe.
• es un investitore che compra un bond soggetto a
  rischio di default, scommettendo in interessi
  vantaggiosi ma incorrendo nel rischio che
  lemittente fallisca.
• es una posizione corta in opzioni (Put o Call
  che siano).
• es tutte le posizioni in derivati cosiddette
  corte di volatilità

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... e Protection Buying

• Il viceversa è costituito da ...
• Protection Buying Position è una posizione
  finanziaria tipicamente soggetta a rischi
  limitati ma di probabilità relativamente alta,
  con profitti molto elevati o anche potenzialmente
  illimitati ma dalleventualità remota.
• es il sottoscrittore della polizza assicurativa
  a protezione di un rischio da catastrofe
• es un giocatore di totocalcio che compri una
  schedina a due colonne.
• es un investitore che compri un Warrant (Call o
  Put che sia ...)
• es tutte le posizioni in derivati lunghe di
  volatilità

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Un confronto tra VaR ed ES rischi estremi
Il Protection Seller rischia sempre più del
Protection Buyer se hanno lo stesso VaR !!!!
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1997 qualcuno comincia a sollevare pesanti
critiche al VaR
() The basic reasons to reject the value at
risk measure of risks are the following (a)
value at risk does not behave nicely with respect
to addition of risks () creating severe
aggregation problems. (b) the use of value at
risk does not encourage and, indeed, sometimes
prohibits diversification, because value at risk
does not take into account the economic
consequences of the events the probabilities of
which it controls P. Artzner, F. Delbaen, et al,
1999, Coherent Measures of Risk, see
http//www.math.ethz.ch/delbaen
Can VaR be used to allocate capital? This
question is much related to the non-subadditivity
of VaR () VaR is more than questionable P.
Embrechts, Extreme Value Theory potential and
limitations as an integrated Risk Management
Tool, 1999, see http//www.math.ethz.ch/embrecht
s
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Il principio di diversificazione dei rischi
L aggregazione di due portafogli ha sempre
leffetto di ridurre o al più di lasciare
inalterato il rischio complessivo.
Il rischio di ( A B ) è inferiore o uguale a
rischio di (A) rischio di (B)
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Misure Coerenti di Rischio
In un celebre articolo Coherent measures of
Risk (Artzner, Delbaen, Eber, Heath
Mathematical Finance, Luglio 1999) venne
proposto un insieme di assiomi per definire i
requisiti fondamentali di una misura coerente di
rischio.
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Ma che cosa significa misura coerente di
rischio ?
Una misura è coerente se attribuisce
sempre valori maggiori a rischi più elevati
Una misura che non sia coerente può quindi
aumentare al diminuire del rischio e viceversa.
Quindi ....
... una misura non coerente non è una misura di
rischio
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Una violazione di subadditività del VaR
Consideriamo un Bond A e supponiamo che, a
maturità, ci siano tre possibilità 1) No
default rimborsa il nominale (100 Euro) e la
cedola (8 Euro) 2) Soft default rimborsa solo
il nominale (100 Euro) 3) Hard Default non
rimborsa nulla
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Una violazione di subadditività del VaR
Consideriamo un altro Bond B identico ad A, ma di
diverso emittente Supponiamo inoltre che i rischi
di default dei due bond siano mutuamente
esclusivi e cioè che i due emittenti A e B non
facciano mai default assieme.
Caso tipico RISCHI ANTICORRELATI RIDUZIONE
DEL RISCHIO IN CASO DI DIVERSIFICAZIONE
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Misura del Rischio
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Non-coerenza del VaR

• Lesempio precedente mette in luce i tipici
  problemi del VaR
• Il VaR può scoraggiare la diversificazione (non
  è subadditivo)
• Il VaR, fornisce un valore inferiore (44) per un
  portafoglio più rischioso (1000 Euro di bond A) e
  un valore maggiore (484) per un portafoglio meno
  rischioso (1000 Euro di AB diversificati).
• Il VaR non è coerente

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Un portafoglio prototipo
Si consideri un portafoglio di n bonds rischiosi
tutti con probabilità di default del 2 e si
supponga per semplicità che tutte le probabilità
di default siano tra loro indipendenti. Portfolio
100 Euro investiti in n Bonds indipendenti
ugualmente rischiosi Bond payoff Nominale (o
0 con probabilità del 2) Domanda si scelga n
in modo da minimizzare il rischio del
portafoglio Proviamo a vedere come rispondono a
questa domanda il VaR, lES e TCE con livello di
confidenza al 5 e orizzonte temporale uguale
alla maturità del bond.
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Il rischio come funzione del numero di bonds
del portafoglio
La superficie di rischio dellES ha un solo
minimo globale a n? e nessun minimo
locale. LES ti dice semplicemente compra più
bonds che puoi
VaR suggerisce di NON COMPRARE il 6o, 36o o 83o
bond perché aumenta il rischio del portafoglio
.... (!!! ???)
Forse le cose migliorano per n maggiore ???...
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Portafogli grandi ... il problema permane !
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...forse cè davvero qualche problema nel 36o
bond ?!
Se usiamo un VaR al 3 invece che al 5 il bond
pericoloso non è più il 36o bensì il 28o....
(!?... Nonsense !)
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Subadditività e allocazione del capitale
Lassenza di subadditività rende il VaR inadatto
per allocare capitale. In una banca costituita da
più centri di rischio, è comune (o inevitabile
per ragioni pratiche) misurare i rischi in
ciascuna entità separata, riportando i valori ad
un ufficio centrale di gestione dei rischi
Riserve come se VaR 10 ?
VaR 5
VaR 3
VaR 2
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Subadditività e vigilanza bancaria
Disponendo dei singoli valori di VaR per le
diverse Business Units, è consuetudine provvedere
ad accantonamenti ai fini della Vigilanza
bancaria per ciascuno di questi Valori di
VaR. Ma questo equivale a credere che il VaR sia
SUBADDITIVO !

• VaR Equity 5
• VaR Forex 3
• VaR Bonds 2

Riserve per un VaR 10 ?
... ma il VaR della banca può essere anche molto
superiore a 10
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E lExpected Shortfall è coerente ?
La definizione originale di Expected Shortfall
(anche nota come TCE, CVaR o Expected Loss) è
Anche questa misura NON è SUBADDITIVA in generale
e quindi NON è COERENTE. Si può mostrare che è
subadditiva se la distribuzione delle perdite è
continua. Nel caso di distribuzioni generali
tuttavia essa non gode di subadditività.
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2001 una definizione coerente di Expected
Shortfall
Dimostrazione generale di coerenza C.Acerbi,
C.Nordio and C.Sirtori, Expected Shortfall as
a Tool of Financial Risk Management http//www.ai
firm.com/archivio/Pubblicazioni/Expected20Shortfa
ll20as.pdf
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Stimare lExpected Shortfall
Si può dimostrare (Acerbi, Tasche 2001) che lES
è effettivamente stimabile in modo consistente
tramite il semplice stimatore Media dei 100?
casi peggiori.
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Parte 2 Misure Spettrali di Rischio
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Una domanda naturale
L Expected Shortfall è un caso isolato o esiste
una classe più ampia di misure coerenti di
rischio ? E possibile costruire nuove misure
coerenti a partire da misure coerenti note ? La
risposta è semplice e consente di generare
unintera CLASSE di misure coerenti. Date n
misure di rischio coerenti ?1, ?2,...
?n qualsiasi combinazione lineare convessa ?
?1 ?1 ?2 ?2 ... ?n ?n ( con ?k ?k 1 e
?kgt0 ) è una MISURA COERENTE
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Interpretazione Geometrica
Date n misure coerenti note, la loro combinazione
convessa più generale, è uno qualsiasi dei punti
dello spazio di misure di rischio racchiuse nel
poligono convesso generato.
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La nostra strategia ....
Ma noi conosciamo già infinite misure coerenti di
rischio, date da tutte le possibili ?-Expected
Shortfalls per ogni valore di ? compreso tra 0 e
1 Perciò possiamo generare un nuovo spazio di
misure coerenti.
Questa classe verrà definita Misure Spettrali
di Rischio
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Misure Spettrali

• La classe di Misure Spettrali di Rischio può
  essere facilmente parametrizzata come
• imponendo opportune condizioni sullo Spettro di
  Rischio definito sullintervallo
  0,1.
• Si noti che questa parametrizzazione contiene sia
  il VaR che lES
• ES Funzione a Gradino di Heaviside
• VaR Delta di Dirac

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Misure Spettrali di Rischio

• Teorema (Acerbi 2001) la Misura Spettrale di
  Rischio
• è coerente se e solo se il suo Spettro di Rischio
  soddisfa
• è positivo
• è decrescente

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La Risk Aversion Function ?(p)
Ogni ammissibile ?(p) rappresenta un possibile
legittimo atteggiamento razionale verso il
rischio Un investitore razionale può esprimere la
propria soggettiva avversione verso il rischio
mediante la sua soggettiva ?(p) ottenendo la sua
misura coerente spettrale M?
?(p) decrescente spiega lessenza di
coerenza ...una misura è coerente solo se
assegna pesi maggiori ai casi via via peggiori
?(p) Risk Aversion Function
Può essere pensata come una funzione che pesa
tutti i casi dal peggiore al migliore
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La Risk Aversion Function ?(p) per lES e il VaR
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Stimare le Misure Spettrali di Rischio
Si può dimostrare (Acerbi 2001) che ogni misura
spettrale ha il seguente stimatore consistente
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Se in un certo senso X è peggiore di Y in
probabilità, allora il suo rischio devessere
più elevato.
La misura di rischio dipende SOLO dalla
distribuzione di probabilità di X e ciò consente
di stimarla da dati empirici di X.
Se X e Y sono perfettamente correlati, allora
il rischio della somma XY devessere esattamente
pari alla somma dei rischi di X e Y. ?(XY)
?(X) ?(Y)
Ci vuole un quinto e un sesto assioma ?
Si può mostrare che le misure spettrali M? sono
tutte e sole le misure coerenti che soddisfano
due ulteriori assiomi (Kusuoka 2001 e Acerbi,
Tasche, working paper) La prima condizione può
essere espressa in due modi equivalenti

• (First Stochastic Dominance)
• Se Prob(X ?a) ? Prob(Y ?a), ?a?R allora ?(Y)
  ? ?(X)

• (Stimabilità da dati empirici o law
  invariance)
• Devessere possibile stimare ?(X) da estrazioni
  empiriche di X

• La seconda condizione è data da
• (Additività Comonotona)
• Se X e Y sono rischi comonotoni, allora ?(XY)
  ?(X) ?(Y)

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Conclusioni

• Lo spazio delle Misure Spettrali M? fornisce la
  rappresentazione di tutte le misure coerenti di
  rischio che si prestano ad applicazioni concrete.
• Ogni misura coerente di questo spazio è in
  corrispondenza biunivoca con ogni forma razionale
  di avversione al rischio di un investitore.
• Per ogni misura spettrale M? è disponibile uno
  stimatore empirico consistente.
• Lapplicazione concreta di qualsiasi misura
  spettrale è elementare.
• LES non gioca alcun ruolo privilegiato
  allinterno delle Misure Spettrali.
• Il Value at Risk da questo punto di vista risulta
  del tutto inadeguato per la descrizione e
  misurazione dei rischi di un portafoglio. E
  associabile ad un atteggiamento al rischio non
  razionale.

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Riferimenti
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Riferimenti