REPREZENTAREA DATELOR AUDIO DIGITALE

1
REPREZENTAREA DATELOR AUDIO DIGITALE
2
Cuprins Unde audio PCM si digitizarea audio Rata
de esantionare si aliasing Cuantizarea si eroarea
de cuantizare Dithering audio Formarea
zgomotului Cuantizare neliniara Analiza de
frecventa Analiza statistica
3
Unde audio Intelegerea undelor de sunet ?
studiul actiunii acestora asupra
microfoanelor. Doua categorii de
microfoane -microfoanele electrodinamice
(dinamice) opereaza pe baza unei spirale sau
benzi mobile -microfoanele electrostatice
(microfoane cu condensatoare) se bazeaza pe
capacitoare care necesita o sursa externa de
tensiune. Ambele modificarile de presiune a
aerului actioneaza asupra componentelor
microfonului si sunt transformate in unde
electrice.
4
PCM si digitizarea audio PCM (pulse code
modulation) introdus in 1937 de Alec Reeves de
la Intenational Telephone and Telegraph, atunci
orientat pe transmiterea semnalelor audio ?
alternativa la modularea analogica in frecventa
si amplitudine semnalele audio erau esantionate
in puncte discrete in timp, fiecare esantion
cuantizat si codificat in binar, iar bitii erau
transmisi ca impulsuri reprezentand 0 si
1. Fisierele PCM contin date audio digitizate,
dar necomprimate. S-au dezvoltat si o serie de
alternative cu reducerea cantitatii de informatie
(in special in domeniul telefoniei pentru
pastrarea largimii de banda). Deoarece
amplitudinea vorbirii umane nu se modifica
dramatic de la un moment la momentul urmator, se
poate reduce dimensiunea fisierului memorand
diferentele dintre esantioanele succesive (DPCM
differential pulse code modulation). Algoritmul
poate fi imbunatatit nivelul de cuantizare
varieaza in concordanta cu caracteristicile de
schimbare dinamica a sablonului de vorbire,
furnizand rate mai bune de compresie (ADPCM
adaptive differential pulse code modulation).
5
Pentru memorarea datelor audio digitale este
necesar sa se specifice rata de esantionare si
adancimea de biti. Rata de esantionare se
specifica in Hz, rate obisnuite -8 kHz mono,
pentru telefonie voce -44.1 kHz stereo doua
canale pe 16 biti fiecare canal, pentru sunet de
calitate CD -48 kHz banda audio digitala (DAT
digital audio tape) -96 sau 192 kHz stereo doua
canale DVD cu 24 de biti per canal. Se poate
utiliza o acuratete mai mare la digitizare
(exemplu esantioane pe 32 de biti) pentru
prelucrare ulterioara prin program, iar apoi se
reduce rezolutia inainte de compresie (exemplu
se pastreaza esantioane pe 16 biti).
6
Cel mai simplu format de fisier audio PCM, fara
compresie este formatul WAVE, un subset al
specificatiei RIFF (Resource Interchange File
Format) de la Microsoft. Un fisier RIFF incepe
cu un header de fisier urmat de o secventa de
bucati (chanks) de date. Un fisier WAVE este
adesea un fisier RIFF cu o singura bucata WAVE
continand doua sub-chunks fmt specificand
formatul datelor si data cu esantioanele (forma
canonica).
7
(No Transcript)
8
Semnificatiile campurilor sunt Header RIFF
Offset Dim Nume Descriere
0 4 ChunkID Contine literele RIFF in ASCII 0x52494646 big-endian.
4 4 ChunkSize 36 SubChunk2Size, sau mai exact 4 (8 SubChunk1Size) (8 SubChunk2Size). Este dimensiunea fisierului 8 octeti, campurile ChunkID si ChunkSize.
8 4 Format Contine literele WAVE 0x57415645 big-endian.
9
Subchunk fmt
Offset Dim Nume Descriere
12 4 Subchunk1ID Contine literele fmt 0x666d7420 big-endian.
16 4 Subchunk1Size 16 pentru PCM, dimensiunea restului subchunk-ului.
20 2 AudioFormat PCM1 (cuantizare liniara), pentru ?1 anumita compresie.
22 2 NumChannels Mono 1, Stereo 2, etc.
24 4 SampleRate 8000, 44100, etc.
28 4 ByteRate SampleRate NumChannels BitsPerSample/8
32 2 BlockAlign NumChannels BitsPerSample/8, numarul de octeti pentru un esantion incluzand toate canalele.
34 2 BitsPerSample 8 bits 8, 16 bits 16, etc.
2 ExtraParamSize Pentru PCM nu exista.
X ExtraParams Parametri suplimentari.
10
Subchunk data
Offset Dim Nume Descriere
36 4 Subchunk2ID Contine literele data, 0x64617461 big-endian
40 4 Subchunk2Size NumSamples NumChannels BitsPerSample/8, numar de octeti de date.
44 X Data Datele
11
Exemplu primii 72 de octeti dintr-un fisier WAVE
(in hexa) 52 49 46 46 24 08 00 00 57 41 56 45
66 6d 74 20 10 00 00 00 01 00 02 00 22 56 00 00
88 58 01 00 04 00 10 00 64 61 74 61 00 08 00 00
00 00 00 00 24 17 1e f3 3c 13 3c 14 16 f9 18 f9
34 e7 23 a6 3c f2 24 f2 11 ce 1a
0d Interpretarea
12
(No Transcript)
13
Observatii -Ordonarea implicita este
little-endian, fisierele cu ordonare big-endian
au identificatorul RIFX. -Esatioanele de 8 biti
sunt memorate fara semn, cu valori 0-gt255, iar
cele de 16 biti ca intregi cu semn in complement
fata de 2, cu valori -32768 -gt 32767. -Pot
exista subchunk-uri aditionale in stream-ul de
date Wave, caz in care exista SubChunkID char4,
SubChunkSize unsigned long si datele.
14
Rata de esantionare si aliasing Legate de
teorema lui Nyquist doua marimi importante
frecventa Nyquist si rata Nyquist. Fiind data o
rata de esantionare, frecventa Nyquist
componenta de fecventa cea mai inalta care poate
fi esantionata la acea rata fara aliasing. Pe
baza teoremei lui Nyquist, frecenta Nyquist este
jumatate din rata de esantionare fnf ½
fesant Fiind data o frecventa de esantionat,
rata Nyquist rata cea mai mica de esantionare
care va permite reconstructia fidela a
semnalului. De asemenea pe baza teoremei lui
Nyquist rezulta ca rata Nyquist este dublul
frecventei celei mai inalte din semnalul
esantionat fnr 2 fmax Consecinta importanta
daca un semnal audio este esantionat la o rata
inferioara ratei Nyquist, apare fenomenul de
aliasing audio gt la redare frecventele sunetului
original vor fi translatate in alte frecvente si
deci nu se va mai auzi la fel cu sunetul
original. Practic exista prea putine puncte de
esantionare, care prin interpolare sa furnizeze
corect forma sinusoidala a undei originale.
15
Cateva exemple de semnale audio esantionate la
diferite frecvente Semnal de 637 Hz esantionat
la 1490 Hz (rata Nyquist fiind 1274 Hz). Nu apare
fenomenul de aliasing, iar semnalul este refacut
corect.
16
Semnal de 637 Hz esantionat exact la 1274 Hz,
esantioanele fiind plasate exact in punctele de
minim si de maxim semnalul poate fi refacut
corect. Daca esantioanele sunt plasate in alte
puncte decat maxim si minim, frecventa este
refacuta perfect, dar amplitudinea semnalului nu
(in caz extrem, cand esantioanele sunt plasate in
punctele de 0, se obtine un semnal constant 0).
17
(Figura 1) Semnal de 637 Hz esantionat la 1000
Hz, furnizeaza o unda aliasing de 363 Hz.
18
(Figura 2) Semnal de 637 Hz esantionat la 500 Hz,
furnizeaza o frecventa aliasing de 137 Hz.
19
Semnal de 637 Hz esantionat la 400 Hz, furnizeaza
o frecventa aliasing de 163 Hz.
20
Se poate stabili un algoritm pentru calcularea
frecvetei de aliasing.
algoritm get_frequency /Input frecventa undei
audio analogice (un singur ton) de esantionat, f
_act si frecventa de esantionare, f_samp Output
frecventa undei audio digitizate, f_obs/ f_
nf ½ f _ samp / f _ nf este frecventa
Nyquist/ /CASE 1/ if ( f _ act f _ nf )
then f _ obs f _ act /CASE 2/ else if ( f
_ nf lt f _ act f _ samp ) then f _ obs f _
samp - f _ act
21
else INT f _ act / f _ nf / impartire
intreaga / REM f_act mod f _ nf /CASE
3/ if (INT par) then f _obs REM /CASE
4/ else if (INT impar) then f _ obs f _
nf - REM
22
Schema de calcul
23
Exemple de calcule Case 2 f _ act 637 Hz f
_ samp 1000 Hz gt f _ nf 500 Hz f _ nf lt f
_ act f _ samp gt f _ obs f _ samp - f _
act 363Hz (Figura 1) Case 3 f _ act 637 Hz
f _ samp 500 Hz gt f _ nf 250 Hz f _ act
gt f _ samp INT f _ act / f _ nf 637 / 250
2 (impartire intreaga) INT par REM f _ act mod
f _ nf 137 (preia restul impartirii) gt f _
obs REM 137 Hz (Figura 2)
24
Case 4 f _ act 637 Hz f _ samp 400 Hz gt
f _ nf 200 Hz f _ act gt f _ samp INT f _ act
/ f _ nf 637 / 200 3 INT impar REM f _ act
mod f _ nf 37 gt f _ obs f _ nf - REM 200
- 37 163Hz
25
O reprezentare intuitiva a modului in care
functioneaza algoritmul este reprezentata in
figura urmatoare, unde f_samp 1490 Hz este
constanta, f_act este intrare (pe abscisa) si
f_obs este iesire (pe ordonata).
26
O reprezentare grafica diferita se poate obtine
prin fixarea frecventei sunetului f_act 1000
Hz, considerand frecventa observata f_obs ca o
functie de frecventa de esantionare f_samp.
Cat timp f_samp lt fNyquist (rata Nyquist
2xf_act) gt f_obs lt f_act.
27
Cuantizarea si eroarea de cuantizare Decibeli.
Interval dinamic. Amplitudinea sunetului
determinata la cuantizare si indica intensitatea
acestuia. Fenomenul fizic corespunzator este
modificarea presiunii aerului prin care se
propaga sunetul. Presiunea masurata in pascali
(Pa) sau newton/m2 (N/m2). Presiunea atmosferica
normala la nivelul marii aprox. 105 Pa. Pragul
de auzire a sunetului (la 1000 Hz) variatia
fata de presiunea atosferica cu 210-5 Pa. Pentru
a masura schimbarile de presiune a aerului se
poate utiliza decibelul nu este o unitate
absoluta de masura, trebuie sa se precizezez un
punct de referinta pentru marimea masurata
(decibelul se poate utiliza si in alte domenii,
nu numai presiune). Pentru sunet punctul de
referinta presiunea aerului pentru pragul de
auzire gt se numeste dB_SPL (decibels-sound-pressu
re-level). Definitie. Fie E amplitudinea
presiunii sunetului ce trebuie masurata si E0
nivelul presiunii sunetului la pragul de auzire.
Atunci dB_SPL se defineste ca
(este esential ca la o marime in dB sa se
specifice nivelul punctului de referinta).
28
Exemplu. Se doreste sa se calculezez in dB
nivelul pragului de durere (30 Pa). Se
inlocuieste in formula de mai sus
Deci pragul de durere este aprox. 123 dB. Se
poate utiliza dB pentru a specifica intensitatea
sunetului, utilizand dB_SIL (decibels-sound-intens
ity-level), definit prin relatia
unde I este intensitatea sunetului de masurat si
I0 este intensitatea corespunzatoare pragului de
auzire (10-12 W/m2).
29
Utilizarea dB_SPL este o solutie naturala pentru
masurarea amplitudinii sunetului, deoarece scara
logaritmica este adaptata auzului uman. In tabela
urmatoare sunt date cateva din valorile
corespunzatoare unor sunete
Sunet dB_SPL
Pragul de auzire 0
Frunze in vant 20
Conversatie 60-70
Ciocan pneumatic 100
Pragul de durere 130
Distrugerea auzului 160
30
Rata de esantionare insuficienta ?
aliasing. Utilizarea unui numar prea mic de biti
pentru cuantificare ? distorsiuni(zgomot de
cuantificare). Definitia pentru SQNR
(signal-to-quantization-noise-ratio)
Acest concept este legat de cel de domeniu
dinamic (dynamic range), definit ca raportul
dintre cea mai mica valoare nenula (1) si cea mai
mare (2n). Rezulta
Exemplu un fisier audio digital pe 16 biti are
un domeniu dinamic de 96 dB. Domeniul dinamic
specifica gama de amplitudini ale sunetului
digitizat, diferenta relativa dintre sunetul cel
mai puternic si cel mai slab (nu specifica
amplitudinile absolute).
31
O alta definitie pentru decibeli este
reprezentata de dBFS (decibels-full-scale). Se
considera ca punct de referinta amplitudinea
audio maxima generata de sistem (acelasi pentru
toate fisierele audio). Se atribuie maximului
valoarea 0. O unda audio are axa orizontala
corespunzatoare - 8 dBFS, iar deasupra si
dedesubtul acesteia valorile progreseaza pana la
maxim 0 dBFS.
32
Definitia dBFS se bazeaza pe masurarea valorilor
de amplitudine relative la valoarea maxima
posibila. Pentru esantioane de n
biti Definitie. Fie x un esantion audio de n
biti in plaja -2n-1 x 2n-1 -1. Valoarea lui
x ca dBFS este
Facand cateva calcule pentru, de exemplu, n16
se obtin maparile -32768 -gt 0 10000 -gt -10.3 1
-gt -90.3 0.5 -gt -96.3298. Astfel, consistent cu
domeniul dinamic, orice amplitudine dintr-un
fisier pe 16 biti care este cu mai mult decat 96
dB sub amplitudinea maxima posibila este
considerata liniste.
33
Dithering audio Dithering (tremur, freamat)
este o solutie de compensare a erorii de
cuantizare, prin adunarea de valori mici
aleatoare la esantioane. In procesul de
cuantizare se face o rotunjire, cand anumite
esantioane de amplitudine mica sunt aproximate cu
zero, rezultand intreruperi in cadrul sunetului.
Adaugand la fiecare esantion o valoare mica
aleatoare (intre 0 si ½ din valoarea minima
posibila) se obtine ca unele esantioane mici sa
aibe in final valori diferite de zero acest
zgomot este preferat zonelor de discontinuitate a
sunetului. Dithering se realizeaza de catre
convertoarele A/D inainte de etapa de cuantizare.
34
In graficul urmator se prezinta semnalul initial,
semnalul cuantizat (cu 16 niveluri) si eroarea de
cuantizare. De remarcat suma dintre semnalul
cuantizat si semnalul eroare de cuantizare este
chiar semnalul initial.
Semnalul de eroare este periodic (are perioada
semnalului initial) si se aude la redarea
sunetului digital ca distorsiune (mai suparatoare
chiar decat un zgomot aleator).
35
La fiecare esantion se aduna o valoare cuprinsa
intre -1 si 1, pe baza unei functii de densitate
de probabilitate triunghiulara (TPDF
triangular probability density function).
Evident 0 are cea mai mare probabilitate sa fie
adunat la un esantion.
36
Semnalul cuantificat, semnalul cuantificat cu
dithering si semnalul de eroare
Alte functii de dithering sunt -RPDF
(rectangular probability density function)
genereaza aleator valori in intervalul -1 la
1 -PDF Gaussian (functia de densitate de
probabilitate este o Gaussiana) creaza un zgomot
de fond asemanator de exemplu histerezisului
benzii -dithering colorat produce zgomot de
frecvente mai inalte decat poate distinge urechea
umana.
37
Formarea zgomotului Formarea zgomotului (noise
shaping) o alta metoda de compensare a erorii
de cuantizare. Nu este chiar dithering, dar se
utilizeaza cu acesta. Ideea redistribuirea
erorii de cuantizare astfel incat zgomotul sa fie
concentrat in frecventele mai inalte, unde
urechea umana este mai putin sensibila. In
algoritmii de formare a zgomotului (dezvoltati
prima data de Utler in anii 1950) este necesar sa
se adune eroarea de cuantizare de la esantionul
curent la esantionul urmator inainte ca acesta sa
fie cuantizat. Se considera un tablou F de
esantioane audio. Se defineste bucla de feedback
de ordinul intai pentru formarea zgomotului
38
Fie F_in un vector de N esantioane audio pentru
care se executa cuantizare, dithering si formarea
zgomotului gt F_out. Pentru 0i N-1 se
defineste F_ini valoarea esantionului i
necuantizata Di este valoarea aleatoare de
dithering adunata la esantionul i Atribuirea
F_ini F_ini Di cEi-1 executa dithering si
formare zgomot pentru esantionul i Atribuirea
F_outi F_ini executa cuantizarea
esantionului Ei este eroarea rezultata din
cuantizarea esantionului i dupa dithering si
formarea zgomotului. Daca i-1 atunci Ei0 altfel
EiF_ini F_outi.
39
Exemplu. Codificarea pe 8 biti, amplitudinile
sunetului fiind in interalul -128 la 128 (dupa
cuantizare valorile devin intregi intre -128 la
127). Fie
40
Termenul de formare este utilizat deoarece se
poate manevra forma zgomotului prin modificarea
ecuatiei de calcul, eventual adaugandu-se noi
termeni de eroare si modificand coeficientii
termenilor de eroare. Ecuatia generala de ordinul
n este
De exemplu algoritmul POW-r pentru
recuantificarea audio de la 24 biti la 16 biti
utilizeaza formula de ordinul 9.
41
In programele de prelucrare audio optiunea de a
utiliza formarea zgomotului dithering gt reduc
efectul negativ al zgomotului, dar in moduri
diferite. Distinctie intre zgomot si
distorsiune! Distorsiunea este tot un zgmot, dar
corelat cu frecventa semnalului. Formarea
zgomotului nu face nimic pentru a disocia
frecventa zgomotului de semnal, de aceea este
bine ca formarea zgomotului sa se utilizeze
impreuna cu dithering. Exemplu semnalul de
eroare de cuantizare a) fara dithering, b) cu
dithering si c) cu dithering si formarea
zgomotului.


(a)
(b)
(c) Se observa ca ultima solutie duce zgomotul la
frecvente inalte. Optiunile de utilizare a
dithering-ului si de formare a zgomotului sunt
legate de frecventa de esantionare f lt 32 kHz
formarea zgomotului s-ar putea sa nu functioneze
prea bine (frecventa Nyquist este prea scazuta si
chiar in cazul obtinerii unor frecvente mai mari
pentru zgomot, acestea vor fi in domeniul
audibilitatii umane).
42
Cuantizare neliniara Codificarea neliniara sau
companding (schema de codificare necesita
compresie si apoi expandare) a rezultat din
necesitatea de compresie a semnalelor telefonice
pe linii de banda joasa. Etape principale -semna
lul digital pe n biti este recuantizat pe m biti
(mltn) printr-o metoda de cuantizare
neliniara -se transmite semnalul -expandeaza
semnalul la n biti la receptie (anumite
informatii sunt pierdute, cuantizare cu pierderi)
gt micsoreaza eroarea pentru semnale de
amplitudine mica, in comparatie cu cuantizarea
liniara. Baza codificarii neliniare sistemul
auditiv uman percepe mici diferente intre sunete
slabe, dar pe masura ce nivelul creste scade
abilitatea de percepere a diferentelor gt mai
multe niveluri de cuantizare pentru nivelurile
mici si mai putine pentru niveluri mari gt metode
de codificare neliniara µ-law si A-law pentru
transmisiile telefonice. Schemele de codificare
neliniara utilizate si standardizate de CCITT
(Comité Consulatif Internationale de
Télégraphique et Téléphonique). In USA si
Japonia se utilizeaza µ-law (se citeste
mu-law), cu rata de esantionare de 8000 Hz, pe
8 biti, dar atingand 12 biti de domeniu dinamic.
In restul lumii se utilizeaza A-law.
43
Metoda de codificare µ-law este definita de
functia
pentru µ255, x valoarea normalizata a
esantionului -1xlt1 si sign(x)-1 daca x negativ
si sign(x)1 altfel. Graficul functie µ-law este
44
Exemplu. Aplicarea practica a metodei de
codificare esantioane initiale pe 16 biti, in
plaja de -32768 -gt 32767, iar transmisia
semnalului se face pe 8 biti. La receptie se
trece din nou pe 16 biti. Etape -se
normalizeaza valorile de intrare, prin impartire
la 32768 -se aplica functia m(x) de codificare
neliniara (cea din grafic) -calculeaza
128m(x), pentru scalare la 8 biti. Astfel
val.init 16 (pe 16 biti) este scalata 16/32768 si
se aplica m(x) gt m(16/32768)0.02, apoi se
scaleaza la 8 biti 1280.02)2. Sau, o alta
valoare initiala 30037 gt 30037/32768
gtm(30037/32768)0.9844 gt 1280.9844)125.
45
Valorile pozitive codificate neliniar, in
comparatie cu tehnica de codificare liniara
(valorile negative se codifica la fel)
Codificare liniara Codificare liniara Codificare neliniara Codificare neliniara Codificare neliniara
Valori esantioane originale 16 biti Valori 8 biti dupa recuantizare liniara (impartire la 256 si rotunjire la c.m.apropiat intreg) Valori esantioane originale 16 biti Valori 8 biti dupa recuantizare neliniara Numar de valori care se mapeaza in aceeasi valoare
0-255 0 0-5 0 6
256-511 1 6-11 1 6
512-767 2 12-17 2 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32,000-32,255 125 28,759-30,037 125 1,279
32,256-32,511 126 30,038-31,373 126 1,336
32,512-32,767 127 31,374-32,767 127 1,394
46
La receptie valorile pe 8 biti sunt decomprimate
la 16 biti utilizand functia inversa
pentru µ255, x valoarea normalizata a
esantionului codificat µ-law -1xlt1 si
sign(x)-1 daca x negativ si sign(x)1
altfel. Exemplu. Se considera valorile din
calculul precedent, unde 16 -gt 2 si 30037 -gt 125.
Astfel d(2/128)0.00035, scalare la 16 biti
327680.0003511. Cealalta valoare
d(125/128)0.8776, scalare la 16 biti
327680.877628758. In concluzie valoarea 16
afost receptionata 11, cu eroare de 31, iar
valoarea 30037 a fost receptionata 28758 cu
eroare de 4. Chiar daca erorile la valori mici
sunt inca mari, totusi acestea sunt mult mai
acceptabile decat daca s-ar fi utilizat o
codificare liniara. In tabela urmatoare sunt
prezentate erorile rezultate la cuantizarea
neliniara in comparatie cu cea liniara pentru
diferite valori de amplitudine
47
Codificare liniara Codificare liniara Codificare liniara Codificare neliniara Codificare neliniara Codificare neliniara
Esantion initial 16 biti Esantion 8 biti dupa compresie Esantion 16 biti dupa decompresie eroarea Esantion 8 biti dupa compresie Esantion 16 biti dupa decompresie eroarea
1-5 0 0 100 0 0 100
6-11 0 0 100 1 6 26
12-17 0 0 100 2 12 16
18-24 0 0 100 3 18 13
25-31 0 0 100 4 25 10
127 0 0 100 15 118 7
128 1 256 100 25 118 7.8
383 1 256 33 31 364 4.9
30,038 117 29,952 0.29 126 30,038 0
31,373 122 31,232 0.45 126 30,038 4.2
48
Se pot reprezenta erorile in procente pentru
codificarea neliniara (a) si pentru cea liniara
(b)
(a)
(b)
49
ANALIZA DE FRECVENTA Domeniile timp si
frecventa Un semnal audio poate fi reprezentat
atat in domeniul timp, cat si in domeniul
frecventa. In domeniul timp variatia
amplitudinii semnalului in timp (pe axa
orizontala este timpul, iar pe axa verticala
amplitudinea seamnalului) gt cea mai intuitiva
solutie de reprezentare a unui semnal
unidimensional. In domeniul frecventa
componentele de frecventa ale semnalului
(frecventa fundamentala si multipli intregi ai
acesteia, frecventele armonice). Exista doua
solutii de baza 1) In reprezentarea analizei de
frecventa (analiza de spectru) pe axa orizontala
se plaseaza valorile de frecventa, iar pe axa
verticala amplitudinile componentelor de
frecventele respective. Se ia in considerare un
anumit interval de timp pentru care se face
analiza de frecventa. Se mai utilizeaza si
termenul de energie (reprezentat de aria de sub
graficul frecventei). 2) In reprezentarea
spectrala (spectrul) pe axa orizontala se
plaseaza timpul , pe cea verticala frecventele,
iar amplitudinile diferitelor componente
spectrale se reprezinta prin culori diferite (de
exemplu de la albastru la rosu si chiar pana la
alb, pe masura ce amplitudinile cresc).
50
Seria Fourier Seria Fourier este o reprezentare
a unei functii periodice sub forma unei sume
infinite de sinusoide
unde ?2pf, f fiind frecventa fundamentala a
semnalului (a nu se confunda cu f(t)). Relatia se
mai poate scrie si sub forma
unde a0 este componenta continua (DC direct
component), data de relatia
cu T1/f. fiecare componenta alternativa (AC
alternating component) este o sinusoida pura.
51
Coeficientii acestor componente sunt date de
relatiile
pentru -8 lt n lt 8. O alta forma echivalenta de
reprezentare a seriei Fourier se bazeaza pe
relatia lui Euler
unde e 2.71828...
iar
52
Transformarea Fourier discreta (DFT) Pentru un
semnal audio digitizat fk reprezentat prin N
esantioane, se poate defini transformarea Fourier
inversa
Deoarece ?2pf, rezulta ca frecventa fundamentala
f este 1/N. Cunoscand amplitudinea fiecarei
componente an si bn pentru 0 n N-1 se poate
reconstitui semnalul initial.
53
Componenta continua este definita de

(amplitudinea medie), iar componentele AC sunt
date de
cu 1 n N-1.
54
Transformarea Fourier directa prelucreaza un
vector de esantioane audio si furnizeaza
coeficientii sin si cos reprezentand datele din
domeniul frecventa, pe baza relatiei
cu 0 n N-1.
55
Se poate defini in continuare magnitudinea
componentei n de frecventa
pentru 0 n N-1 si faza
Pe baza acestor marimi se poate reprezenta DFT
inversa
56
Faza este importanta in perceptia
sunetului! Legea lui Ohm (1800) faza nu are
niciun efect in modul de perceptie a sunetului gt
un sunet sinusoidal este identic perceput de
urechea umana indiferent de faza initiala cu care
este transmis. Dar daca se transmit simultan
doua sunete de aceeasi frecventa, dar de faze
diferite, sunetul perceput va depinde de
diferenta de faza. Exemplu in auditia stereo,
doua difuzoare defazate pot genera un sunet
suparator. In analiza de imagini, faza este
chiar si mai importanta decat in analiza
sunetelor, componenta de faza dominand perceptia
unei imagini!
57
Transformarea Fourie rapida (FFT) Transformarea
Fourier rapida, FFT Fast Fourier Transform
(1965 Cooley si Tukey) reduce complexitatea de
calcul de la O(N2) ? O(Nlog2N). Castigul de
timp folosind FFT fata de DFT este foarte
important! Un fisier de sunet calitate CD stereo
44100 esantioane / secunda gt N foarte
mare! Exemple N256 gt N2/(Nlog2N)
N/(log2N)256/( log2256)32 N1024 gt
N2/(Nlog2N) N/(log2N)1024/( log21024)102 N65
536 gt N2/(Nlog2N) N/(log2N)65536(
log265536)4096
58
In anumite programe de prelucrare audio este
necesar sa se aleaga dimensiunea ferestrei
FFT. Se considera urmatoarea situatie -semnalu
l audio f440 Hz -achizitia 8000
esantioane/s -fereastra FFT 1024 esantioane gt
56.32 cicluri. Sfarsitul unei ferestre se va
situa in interiorul unei perioade a semnalului,
iar la punerea cap-la-cap a doua perioade
succesive apare o discontinuitate gt unda care se
presupune ca este analizata de FFT nu reprezinta
exact frecventa audio reala. FFT interpreteaza
aceasta discontinuitate drept componente de
frecventa aditionale. Fenomenul se numeste
scurgere spectrala (spectral leakage). Pe
masura ce FFT parcurge intreaga forma de unda, de
fiecare data cand se face calculul pe o fereastra
de 1024 de esantioane, se detecteaza frecvente
false (apar in reprezentarea grafica).
59
Semnal perodic de 440 Hz

Analiza de frecventa.
60
Discontinuitate generata de o fereastra FFT care
nu acopera un numar intreg de cicluri.
De exemplu, pentru un semnal de 512 Hz,
esantionat la rata de 1024 Hz si cu fereastra FFT
de 1024 de esantioane, acoperind exact doua
cicluri, nu apare fenomenul de scurgere spectrala.
61
Fenomenul de scurgere spectrala controlat
intr-un program de prelucrare audio prin
selectarea unei functii de ferestra (windowing
function). Cele mai utilizate triangular,
Hanning, Hamming si Blackman. Deoarece
discontinuitatile de faza apar la inceputul si
sfarsitul unei ferestre, functia reduce
amplitudinea semnalului in aceste doua zone. gt
frecventele false vor fi mai mici in amplitudine!
Aplicarea functiei fereastra inmultirea
semnalului cu functia fereastra.
62
Cateva functii fereastra
63
Graficele functiilor fereastra
Functia fereastra Hanning aplicata unui semnal
sinusoidal.
64
Analiza statistica Analiza statistica a unui
fisier audio prelucrarea valorilor esantioanelor
in domeniul timp ? valorile minima si maxima,
amplitudinea de varf din fisier, offset-ul DC,
amplitudinea radacina patratica medie (RMS
root-mean-square), histograma. Chiar daca
offset-ul continuu (DC) nu este perceput la
redarea fisierului audio, acesta poate influenta
anumite etape de prelucrare, in particular
prelucrarile bazate pe trecerile prin zero. Un
program de prelucrare audio contine o facilitate
de ajustare a offset-ului DC. Amplitudinea
radacina patratica medie (referita ca putere RMS
sau nivel RMS) este o masura a amplitudinii medii
a sunetului pe o perioada data (toata durata sau
o parte). Se calculeaza astfel
unde xi este amplitudinea esantionului i si N
este numarul de esantioane.
65
Se poate vedea ecuatia RMS sub forma
unde max este valoarea esantionului maxim.
Aceasta rezulta din versiunea continua a ecuatiei
de mai sus
care aplicata unui sinus pentru k cicluri
complete furnizeaza
Puterea RMS minima sau maxima se defineste doar
in situatia in care a fost setata dimensiunea
unei ferestre de analiza. De exemplu pentru o
fereastra de 50 ms, puterea RMS minima este
amplitudinea RMS minima pentru toate ferestrele
de 50 ms din forma de unda. Amplitudinea RMS
medie este media tuturor ferestrelor de
dimensiunea specificata.
66
Histograma audio indica numarul de esantioane de
fiecare amplitudine (valoare). Un exemplu de
histograma
Exemple de programe de prelucrare a fisierelor
audio de esantioane Audition, Logic, Audacity,
si Sound Forge.