Math

1
Mathématiques SN

• Les CONIQUES

Réalisé par Sébastien Lachance
2
Mathématiques SN- Les CONIQUES -

• ? Les 4 coniques

? Cercle
? Ellipse
Proviennent de la coupe du cône. ? Cest la forme
de la section.
? Parabole
? Hyperbole
3
Mathématiques SN- Les CONIQUES -

• ? Le cercle

A) Définition
Lieu dun point situé à une même distance (r)
dun autre point fixe (O), appelé centre.
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
O
r
r
r
4
B) Équation
Par Pythagore
x2 y2 r2
(x, y)
y
r
O
x
5
C) Inéquations
x2 y2 ? r2
x2 y2 ? r2
r
r
6
C) Inéquations
x2 y2 ? r2
x2 y2 ? r2
r
r
7
D) Recherche de léquation
Ex. 1
Trouver léquation dun cercle centré à lorigine
dont le point A(-2, -3) appartient au cercle.
x2 y2 r2
(-2)2 (-3)2 r2
4 9 r2
13 r2
x2 y2 13
A(-2, -3)
8
D) Recherche de léquation
Ex. 2
a) Quelle est léquation dun cercle centré à
lorigine dont le diamètre est de 16 unités ?
Le rayon est de 8 unités.
x2 y2 82
x2 y2 64
b) Est-ce que le point P(5, 7) fait partie de
la région intérieure de ce cercle ?
Il faut que linégalité 52 72 ? 64 soit
VRAIE.
25 49 ? 64
74 ? 64
FAUX !
Le point P(5, 7) ne fait pas partie de la région
intérieure de ce cercle.
9
E) Équation de la tangente
Ex.
Léquation dun cercle est x2 y2 289 . Si
une droite est tangente à ce cercle au point
P(15, 8), quelle est léquation de cette droite ?
Pente du rayon
8 0
?y
mrayon

8

15 0
15
?x
P(15, 8)
r
Équation de la tangente
O
mtangente
-15
8
y x b
-15
8
8 (15) b
-15
avec le point (15, 8)
8
b
289
-225
64
b
Réponse
y x
289
-15
8
8
8
8
8
10
Mathématiques SN- Les CONIQUES -

• ? Lellipse

A) Définition
Lieu dun point dont la somme des distances à
deux points fixes (foyers F et F) est constante
(k).
11

• ? Lellipse

A) Définition
Lieu dun point dont la somme des distances à
deux points fixes (foyers F et F) est constante
(k).
d(P, F) d(P, F) k
P
P
P
F
F
P
P
P
12

• ? Lellipse

A) Définition
Lieu dun point dont la somme des distances à
deux points fixes (foyers F et F) est constante
(k).
Sommet
Petit axe
Foyer (F)
Foyer (F)
Centre
Sommet
Sommet
Distance focale
Grand axe
Sommet
13
B) Relations entre a, b et c.
a distance entre le centre et un sommet
horizontal.
b distance entre le centre et un sommet
vertical.
c distance entre le centre et un foyer.
? Avec a ? b
a2 b2 c2
(0, b)
b
c
(c, 0)
(-c, 0)
(-a, 0)
(a, 0)
a
(0, -b)
14
B) Relations entre a, b et c.
a distance entre le centre et un sommet
horizontal.
b distance entre le centre et un sommet
vertical.
c distance entre le centre et un foyer.
? Avec b ? a
(0, b)
b2 a2 c2
(0, c)
b
c
(-a, 0)
(a, 0)
a
(0, -c)
(0, -b)
15
Ex.
Le grand axe dune ellipse mesure 24 unités et le
petit axe 10 unités. Quelle est la distance
focale ?
(0, 5)
b
10 unités
Distance focale 2c
(c, 0)
(-c, 0)
(-12, 0)
(12, 0)
a
24 unités
(0, -5)
a 12
122 52 c2
a2 b2 c2
b 5
10,9 c
Réponse
La distance focale est denviron 21,8 unités.
16
C) Équation
x2
y2
1


a2
b2
D) Inéquations
x2
y2
x2
y2
?
?
1
1


a2
b2
a2
b2
17
C) Équation
x2
y2
1


a2
b2
D) Inéquations
x2
y2
x2
y2
?
?
1
1


a2
b2
a2
b2
18

• ? Lhyperbole

A) Définition
Lieu dun point dont la différence des distances
(en valeur absolue) à deux points fixes (foyers F
et F) est constante (k).
d(P, F) d(P, F) k
P
P
P
F
F
P
P
19

• ? Lhyperbole

A) Définition
Lieu dun point dont la différence des distances
(en valeur absolue) à deux points fixes (foyers F
et F) est constante (k).
Asymptote
Asymptote
Centre
Foyer (F)
Foyer (F)
Sommet
Sommet
20
B) Équations et relations entre a, b et c.
c2 a2 b2
? Axe focal horizontal
x2
y2

1

a2
b2
(0, b)
b
(c, 0)
(-a, 0)
(-c, 0)
(a, 0)
c
a
(0, -b)
21
B) Équations et relations entre a, b et c.
c2 a2 b2
? Axe focal horizontal
Équation de lasymptote
? Pente
a ? y ? x
b a
? Ordonnée à lorigine (b) 0
(a, b)
b
(0, 0)
a
22
B) Équations et relations entre a, b et c.
c2 a2 b2
? Axe focal horizontal
Équation de lasymptote
y ? b x
a
y b x
y - b x
a
a
23
B) Équations et relations entre a, b et c.
c2 a2 b2
? Axe focal vertical
(0, c)
x2
y2

- 1

(0, b)
a2
b2
c
b
(a, 0)
(-a, 0)
a
(0, -b)
(0, -c)
24
C) Inéquations
x2
y2
x2
y2
?
?


1
1
a2
b2
a2
b2
25
C) Inéquations
x2
y2
x2
y2
?
?


-1
-1
a2
b2
a2
b2
26
C) Inéquations
x2
y2
?

1
a2
b2
x2
y2
?

1
Même ensembles-solutions que précédemment, mais
avec des hyperboles formées de lignes pointillées.
a2
b2
x2
y2
?

-1
a2
b2
x2
y2
?

-1
a2
b2
27
C) Inéquations
Ex.
La distance entre deux sommets dune hyperbole
est de 12 unités et lun de ses foyers a pour
coordonnées (0, 9). Le point P(10, 8) fait-il
partie de la région extérieure de cette hyperbole
?
? Équation
(0, 9)
c2 a2 b2
F
92 a2 62
(0, 6)
c
b
45 a2
12 unités
x2
y2

- 1

a2
b2
F
x2
y2

- 1

45
36
28
C) Inéquations
Ex.
La distance entre deux sommets dune hyperbole
est de 12 unités et lun de ses foyers a pour
coordonnées (0, 9). Le point P(10, 8) fait-il
partie de la région extérieure de cette hyperbole
?
? Est-ce que P(10, 8) fait partie de la région
extérieure ?
(0, 9)
F
x2
y2
?

-1
(0, 6)
c
a2
b2
b
12 unités
Il faut que
102
82
?

- 1
45
36
F
4
?
- 1
9
VRAI
Réponse
Le point P(10, 8) fait partie de la région
extérieure de lhyperbole.
29

• ? La parabole (centrée à lorigine)

A) Définition
Lieu dun point situé à une même distance dun
point fixe (foyer F) et dune droite fixe, appelé
directrice (d).
d(P, F) d(P, d)
P
P
P
Foyer (F)
(0, c)
P
c
Sommet
Directrice (d)
30
B) Équations (centrées à lorigine)
x2 4cy
d
d
x2 - 4cy
31
B) Équations (centrées à lorigine)
d
y2 4cx
d
y2 - 4cx
32
B) Équations (centrées à lorigine)
Ex.
Une parabole centrée à lorigine a pour foyer le
point F(0, -6). Cette parabole passe-t-elle par
le point P(-12, -6) ?
d
Réponse
La parabole passe par le point P(-12, -6).
c
(0, -6)
? Équation
? Est-ce que la parabole passe par le point
P(-12, -6) ?
x2 - 4cy
(-12)2 - 24(-6)
x2 - 4(6)y
144 144
x2 - 24y
VRAI
33
C) Inéquations (centrées à lorigine)
x2 ? 4cy
d
d
x2 ? - 4cy
34
C) Inéquations (centrées à lorigine)
x2 ? 4cy
d
d
x2 ? - 4cy
35
C) Inéquations (centrées à lorigine)
d
y2 ? 4cx
d
y2 ? - 4cx
36
C) Inéquations (centrées à lorigine)
d
y2 ? 4cx
d
y2 ? - 4cx
37
C) Inéquations (centrées à lorigine)
En résumé
y2 ?
Ensemble-solutions à lintérieur de la parabole
ou
x2 ?
y2 ?
Ensemble-solutions à lextérieur de la parabole
ou
x2 ?
y2 ?
ou
x2 ?
Même ensemble-solutions que ci-haut, mais la
parabole est pointillée (ne fait pas partie de
lens.-solutions)
ou
y2 ?
ou
x2 ?
38
D) Équations translatées
Centrée à lorigine
Translatée
x2 4cy
(x h)2 4c(y k)
F
(0, 0)
d
(h, k)
d
39
D) Équations translatées
Ex.
F
(0, 0)
d
(4, -2)
d
(x 4)2 4c(y 2)
(x h)2 4c(y k)
40
D) Équations translatées
(x h)2 4c(y k)
(h, k)
d
d
(h, k)
(x h)2 -4c(y k)
41
D) Équations translatées
d
(y k)2 4c(x h)
(h, k)
d
(h, k)
(y k)2 -4c(x h)
42
? Intersection de coniques
Ex. 1
Résoudre le système déquations suivant
y x 0
x2
y2
1


9
4
? Représentation graphique
y x 0
Droite y x
x2
y2
1
Ellipse où a ? b


9
4
(x1, y1)
(x2, y2)
43
? Résolution pour trouver (x1, y1) et (x2, y2)
y x
(1)
y2
x2
1


(2)
9
4
x2
x2
y1 1,66
(1) dans (2)
(3) dans (1)
1


9
4
y2 - 1,66
(4) dans (1)
9x2
4x2
1


36
36
13x2
1

Réponse
(1,66 1,66) et (-1,66 -1,66)
36
2,77

x2
1,66
x1

(3)
- 1,66

x2
(4)
44
Ex. 2
Résoudre le système déquations suivant
x2 y2 25
y2 -16(x 7)
? Représentation graphique
Cercle de rayon 5
x2 y2 25
Parabole de sommet (7, 0)
y2 -16(x 7)
d
(7, 0)
45
? Résolution pour trouver (x1, y1) et (x2, y2)
x2 y2 25
(1)
y2 -16(x 7)
(2)
x2 -16(x 7) 25
(2) dans (1)
x2 16x 112 25
x2 -16x 87 0
x ? ?
Réponse
Il n'y a aucun solution.