Title: C
1CÁLCULO VISUAL
2Como todos los grandes descubrimientos, se basa
en una idea simple
- Los cuatro problemas clásicos que a continuación
se presentan así como también muchos más del
cálculo se pueden también solucionar por un nuevo
método que confíe en la intuición geométrica y
sea entendido fácilmente por los estudiantes muy
jóvenes. - Por otra parte, el nuevo método también soluciona
algunos problemas que al parecer no tienen
solución por cálculo y permite muchas
generalizaciones.
3Encuentre el área de un segmento parabólico .
- El cuadro 1 demuestra un segmento parabólico, la
región sombreada debajo del gráfico de la
parábola y x2 y sobre el intervalo a
partir de la 0 al x.
4Area de la región debajo de una curva exponencial
- En la gráfica se muestra la función exponencial.
- Deseamos el área de la región sombreada debajo
del gráfico a cualquier punto x.
5Area de la región debajo de un arco de una
cicloide.
- Una cicloide es la trayectoria remontada hacia
fuera por un punto fijo en el límite de un disco
circular que ruede a lo largo de una línea
horizontal, y deseamos el área de la región
sombreada. Este problema se puede también hacer
por cálculo pero es más difícil que los primeros
dos. Primero, tienes que encontrar una ecuación
para la cicloide, que no es exactamente trivial.
Entonces usted tiene que integrar esto para
conseguir el área requerida.
6Cicloide
7Area de la región bajo tractriz.
- Cuando un niño arrastra un juguete a lo largo del
piso con una secuencia de la longitud constante,
el juguete remonta fuera de una tractriz mientras
que el niño camina a lo largo del eje de x toda
la manera al infinito. Deseamos encontrar el área
de la región entre el tractriz y el eje de x.
Para solucionar esto por el método normal del
cálculo, tenemos que encontrar la ecuación de la
tractriz. - Una vez que tenga la ecuación del tractriz tiene
que integrarlo para conseguir el área. Puede ser
hecha, pero el cálculo está exigiendo dificultad.
8TRACTRIZ
9Trayectoria de la bicicleta
- El problema que demuestra la trayectoria
remontada hacia fuera por la rueda delantera de
una bicicleta en el movimiento. La rueda
posterior remonta fuera de otra curva, y el
problema es encontrar el área de la región entre
estas dos curvas pues la bicicleta se mueve desde
una posición inicial a una posición final. - Para hacer esto con cálculo usted necesitaría las
ecuaciones para las curvas. - Con Mamikon no necesitamos ecuación alguna!
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11Aplicaciones del teorema de Mamikon
12Teorema de Mamikon para los anillos ovales
El círculo interno tiene radio r su área es ?r2,
y si el círculo externo tiene su área del radio R
es ?R2 Así que el área del anillo es igual al
?(R2 - r2).
- Encuentre el área del anillo anular.
-
13- Pero los dos radios y la tangente forman un
triángulo recto con los catetos r y a/2 y la
hipotenusa R. Y por el teorema de Pitágoras,
sabemos que cada anillo tiene área ?a2/4.
14- Tome la mitad del acorde y piense en ella como
vector de la tangente de la longitud a/2 al
círculo interno. Moviendo este vector de la
tangente alrededor del círculo interno, vemos que
barre fuera del anillo anular entre los dos
círculos. - Ahora, traduzca cada vector de la tangente
paralelo a sí mismo así que el punto de la
tangencia se trae a un punto común. Mientras que
el vector de la tangente se mueve alrededor del
círculo interno, el vector traducido rota una vez
alrededor de este punto común y remonta fuera de
un disco circular del radio a/2.
15Los vectores de la tangente barren tan fuera de
un disco circular, como si todos fueron centrados
en el mismo punto, este disco tiene la misma área
que el anillo.
16- Mamikon realizó que este acercamiento dinámico
también trabajaría si el círculo interno es
substituido por una curva oval arbitraria.
Mientras que el segmento de la tangente de la
longitud constante se mueve una vez alrededor de
cada elipse, barre fuera de una forma anular más
general que llamamos un anillo oval.
17- Podemos traducir otra vez cada segmento de la
tangente paralelo a sí mismo así que el punto de
la tangencia se trae a un punto común. Mientras
que la tangente se mueve alrededor del óvalo, los
segmentos traducidos remontan fuera de un disco
circular que radio sea esa longitud constante.
Así pues, el área del anillo oval debe ser el
área del disco circular.
18- El teorema de pitagoras no puede ayudarle a
encontrar las áreas para estos anillos ovales. Si
el óvalo interno es una elipse usted puede
calcular las áreas por el cálculo integral - pero si usted hace este cálculo usted encuentra
todos estos anillos ovales para tener áreas
iguales dependiendo solamente de la longitud del
segmento de la tangente!
19- Mientras que el segmento de la tangente se mueve
a lo largo de un borde, no cambia la dirección
así que no barre fuera de cualquier área.
Mientras que se mueve alrededor de una cima a
partir de un borde al siguiente, barre fuera de
parte de un sector circular. Y como circunda el
triángulo entero que barre fuera de tres sectores
circulares que, juntos, llenen hacia fuera un
disco circular , según lo demostrado en el
cuadro. - Igual es verdad para cualquier polígono convexo.
20- El área de la región barrida hacia fuera por un
segmento de la tangente de la longitud dada que
se mueve alrededor de cualquier polígono convexo
es igual al área de un disco circular que radio
sea esa longitud. Por lo tanto igual es verdad
para cualquier curva convexa que sea un límite de
polígonos convexos.
21- TEOREMA DE MAMIKON PARA LOS ANILLOS OVALES
- Todos los anillos ovales barridos hacia fuera por
un segmento de recta de la longitud dada con una
tangente de punto final a una curva lisa cerrada
plana tienen áreas iguales, sin tener en cuenta
el tamaño o la forma de la curva interior.
Además, el área depende sólo de la longitud L de
la tangente segmentan y es igual a ¼ L2, el área
de un disco de radio L, como si el segmento de
tangente fue hecho girar sobre su punto final.
22- El área del anillo oval es también igual a ¼ L2,
donde L es la longitud constante de los segmentos
de tangente. - Por áreas igualadoras encontramos R2 r2 L2,
- de cual conseguimos
- R2 r2 L2,
- el Teorema de Pitágoras (para el triángulo
rectángulo R r L).
23(No Transcript)
24(No Transcript)
25La Bicicleta
- El área de un barrido de tangente es igual al
área de su racimo de tangente, sin tener en
cuenta la forma de la curva original - El área del barrido de tangente es igual al área
de un sector circular que depende sólo de la
longitud de la bicicleta y el cambio del ángulo
de su posición inicial a su posición final - La forma del camino de la moto no importa!
26El Tractriz y los anillos ovales son casos
particulares de la trayectoria de la bicicleta
27- La única diferencia es que los segmentos de
tangente a la curva inferior no tienen que tener
la longitud constante. - El barrido de segmentos de tangente hacia fuera
una región son llamados el barrido de tangente - El racimo de tangente es la región obtenida
traduciendo cada tangente segmentan la paralela a
sí de modo que cada punto de la tangencia sea
movido a un punto común.
28- El teorema de Mamikon, por ahora, es que el área
del racimo de tangente es igual al área del
barrido de tangente.
29- La forma del barrido de tangente depende de como
las longitudes y las direcciones de la tangente
segmentan el cambio a lo largo de la curva.
Cuando cada segmento de tangente es traducido
paralela a sí así el punto de tangencia es traído
a un punto común, llaman el juego de segmentos
traducidos el racimo de tangente esto miente
sobre una superficie cónica con el vértice en
este punto común.
30El teorema general de Mamikon compara el área del
barrido de tangente con el de su racimo de
tangente
31CURVAS EXPONENCIALES
32CURVAS EXPONENCIALES
- Geométricamente, significa que la cuesta de la
línea de tangente en cada punto de una curva
exponencial es proporcional a la altura de la
curva en aquel punto. Las curvas exponenciales
pueden ser también descritas por sus
subtangentes. - La cuesta de la tangente es la altura dividida en
la longitud de la subtangente. De este modo, la
cuesta es proporcional a la altura si y sólo si
la subtangente es constante
33CURVAS EXPONENCIALES
- Explotando el hecho que las curvas exponenciales
tienen subtangentes constantes, podemos usar el
teorema de Mamikon para encontrar el área de la
región bajo una curva exponencial sin usar el
integral.
34- El racimo de tangente correspondiente es obtenido
traduciendo cada segmento de tangente a la
derecha entonces el punto final sobre el eje x es
traído a un punto común, en este caso, el vértice
inferior del triángulo rectángulo de base b y
altitud ex/b. El racimo de tangente que resulta
es el triángulo de base b y altitud ex/b. - Por lo tanto el área de esta región es igual al
área de este triángulo rectángulo, entonces el
área de la región entre la curva exponencial y el
intervalo (ƒ, x es igual a dos veces el área de
este triángulo rectángulo.
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36SEGMENTO PARABOLICO
37AREA DEL SEGMENTO PARABOLICO
- Arquímedes hizo el descubrimiento que el área es
exactamente un tercero esto del rectángulo - Ahora usaremos el teorema de Mamikon para obtener
el mismo resultado por un método que no es sólo
mas sencillo que el original tratamiento de
Arquímedes, sino que es también más poderoso
porque puede ser generalizado a poderes de número
entero más altos, y a poderes arbitrarios también.
38- La parábola tiene la ecuación y x2, pero no
necesitaremos esta fórmula en nuestro análisis.
Usamos sólo el hecho que la línea de tangente
encima de cualquier punto x corta una subtangente
de longitud x/2. La cuesta de la tangente es x2
dividido en x/2, o 2x. - El área del segmento parabólico es formado
bisecando cada segmento horizontal. Las dos
parábolas dividen el rectángulo en tres regiones,
y nuestra estrategia es mostrar que tres regiones
tienen el área igual. Si hacemos este, entonces
cada uno tiene el área un tercero que del
rectángulo que circunscribe, como requerido.
39(No Transcript)
40Las dos regiones sombreadas formada por la
parábola de bisegmentación obviamente tienen
áreas iguales Los dos triángulos rectángulos en
esta figura tienen el área igual (ellos tienen la
misma altitud e igualan bases). Por lo tanto el
problema reduce a la exposición que las dos
regiones sombreadas en este diagrama tienen áreas
iguales. Aquí está donde usamos el teorema de
Mamikon.
41- La parte sombreada bajo la parábola y x2 es el
barrido de tangente obtenido dibujando todas las
líneas de tangente a la parábola y cortándolos en
el eje x. Y la otra parte sombreada es su racimo
de tangente, con cada segmento de tangente
traducido entonces su punto de la intersección
con el eje x es traído a un punto común, el
origen. -
- En un punto típico (t, t2) sobre la parábola
inferior, la tangente cruza el eje x en t/2. - Por lo tanto, si el segmento de tangente (de
t/2, 0) (a t, t2) es traducido dejado por la
cantidad t/2, el segmento traducido une el origen
y el punto (t/2, t2) sobre la curva y (2x) 2.
42- Entonces por el teorema de Mamikon las dos
regiones sombreadas tienen áreas iguales, como
requerido, y así hemos mostrado que el área de
segmento parabólico es exactamente un tercero que
del rectángulo que circunscribe, el mismo
resultado obtenido por Arquímedes.
43AREA DE UN SEGMENTO PARABOLICO
- La figura muestra los gráficos de
- y x3 , y (3x)3, que dividen el
rectángulo del área x4 en tres regiones - Mostraremos que el área de la región encima del
cúbico es igual a esto debajo del original
cúbico, el que significa que cada región tiene el
área un cuarto que del rectángulo que
circunscribe
44- Para hacer esto usamos el hecho que la
subtangente al cúbico es un tercero la longitud
de la base. Una región sombreada en la Figura es
el barrido de tangente del original cúbico, y el
otro es el racimo de tangente correspondiente,
entonces ellos tienen áreas iguales. - Los dos triángulos rectángulos son congruentes,
entonces ellos tienen áreas iguales. Por lo tanto
la región encima del cúbico tiene la misma área
que el segmento cúbico debajo de la curva y
x3, y cada uno es un cuarto que del rectángulo,
o x4/4.
45- En el caso cuadrico usamos las dos curvas
- y x4 y y (4x)4 para dividir el
rectángulo del área x5 en tres regiones. Usando
el hecho que la subtangente al cuadrico en x
tiene la longitud x/4, podemos usar el mismo
argumento para mostrar que el área de la región
entre dos cuadricos es tres veces que de cada uno
de los otros dos pedazos, entonces los cuadricos
segmentan debajo de y x4 tiene el área un
quinto que del rectángulo, o x5/5. - El argumento también se extiende a todos los
poderes más altos, una propiedad no compartida
por el tratamiento de Arquímedes del segmento
parabólico. Para la curva y xn usamos el hecho
la subtangente en x tiene la longitud x/n
46CICLOIDE
47CICLOIDE
- La curva remontada hacia fuera por un punto sobre
el perímetro de un disco circular que rueda sin
resbalar a lo largo de una línea horizontal. - Un problema clásico es mostrar que el área de la
región entre un arco del cIcloide y la línea
horizontal es tres veces el área del disco
rodante. -
48- El método de cálculo estándar de solucionar este
problema es determinar primero ecuaciones
paramétricas para el cicloide, luego calcular el
área por la integración. - El mismo resultado puede ser obtenido del teorema
de Mamikon sin la necesidad de integrales. - La figura muestra un arco cicloidal inscrito
dentro de un rectángulo cuya altitud es el
diámetro d del disco rodante y cuya base es la
circunferencia del disco, ¼ d. El área del
rectángulo que circunscribe es ¼ D2, que es
cuatro veces el área del disco. Entonces esto
basta para mostrar que la región sin sombra
encima del arco y dentro del rectángulo tiene el
área igual a esto del disco.
49- Para hacer este mostramos que la región sin
sombra es el barrido de tangente del cicloide, y
el racimo de tangente correspondiente es un disco
circular del diámetro d. - Por el teorema de Mamikon, este disco tiene la
misma área que el barrido de tangente. Como el
área del disco es un cuarto el área del
rectángulo, el área de la región debajo del arco
debe ser de tres cuartos que del rectángulo, o
tres veces que del disco rodante. - Cuando el disco rueda a lo largo de la base esto
es siempre la tangente a los límites superiores e
inferiores del rectángulo que circunscribe.
50El diámetro el PPo divide el círculo rodante en
dos semicírculos, y cualquier triángulo inscrito
en estos semicírculos debe ser un triángulo
rectángulo. El disco experimenta la rotación
instantánea sobre P0, entonces la tangente al
cicloide en cualquier punto X es perpendicular al
radio instantáneo de la rotación y por lo tanto
debe ser el vértice de un triángulo rectángulo
inscrito en el semicírculo con el diámetro PPo.
Por consiguiente La cuerda XP del disco rodante
es siempre la tangente al cicloide. Amplíe el
límite superior del rectángulo que circunscribe
más allá del arco y elija un punto fijo O sobre
este límite ampliado. Traduzca cada paralela de
cuerda a sí así señale P es movido
horizontalmente al punto fijo O. Entonces el otro
extremo X mueve a un punto Y tal que segmento el
OY es igual en longitud y paralela a PX. Por lo
tanto el racimo de tangente es un disco circular
del mismo diámetro que el disco rodante, y el
teorema de Mamikon nos dice que su área es igual
a la del disco
51Conclusion
- Los métodos también se aplican al descubrimiento
de volúmenes de figuras tridimensionales y
sólidos de revolución. - Newton y Leibniz son generalmente considerados
como los descubridores de integral. Mamikon
relaciona segmentos de tangente móviles con las
áreas de las regiones barridas hacia fuera por
estos segmentos de tangente, es decir unifica los
conocimientos adquiridos en antaño. - Y algunas de las figuras siguientes han sido
tratadas con éxito por este método elipse,
hipérbola, catenaria, logaritmo, cardioide,
uni-cicloide, hi-cicloide, espirales, Bernoulli
lemniscata, seno y coseno, etc. -
52FIN