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C LCULO VISUAL Teorema de Mamikon Los cuatro problemas cl sicos que a continuaci n se presentan as como tambi n muchos m s del c lculo se pueden tambi n ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: C


1
CÁLCULO VISUAL
  • Teorema de Mamikon

2
Como todos los grandes descubrimientos, se basa
en una idea simple
  • Los cuatro problemas clásicos que a continuación
    se presentan así como también muchos más del
    cálculo se pueden también solucionar por un nuevo
    método que confíe en la intuición geométrica y
    sea entendido fácilmente por los estudiantes muy
    jóvenes.
  • Por otra parte, el nuevo método también soluciona
    algunos problemas que al parecer no tienen
    solución por cálculo y permite muchas
    generalizaciones.

3
Encuentre el área de un segmento parabólico .
  • El cuadro 1 demuestra un segmento parabólico, la
    región sombreada debajo del gráfico de la
    parábola y x2 y sobre el intervalo a
    partir de la 0 al x.  

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Area de la región debajo de una curva exponencial
  • En la gráfica se muestra la función exponencial.
  • Deseamos el área de la región sombreada debajo
    del gráfico a cualquier punto x.

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Area de la región debajo de un arco de una
cicloide.
  • Una cicloide es la trayectoria remontada hacia
    fuera por un punto fijo en el límite de un disco
    circular que ruede a lo largo de una línea
    horizontal, y deseamos el área de la región
    sombreada. Este problema se puede también hacer
    por cálculo pero es más difícil que los primeros
    dos. Primero, tienes que encontrar una ecuación
    para la cicloide, que no es exactamente trivial.
    Entonces usted tiene que integrar esto para
    conseguir el área requerida.

6
Cicloide
7
Area de la región bajo tractriz.
  • Cuando un niño arrastra un juguete a lo largo del
    piso con una secuencia de la longitud constante,
    el juguete remonta fuera de una tractriz mientras
    que el niño camina a lo largo del eje de x toda
    la manera al infinito. Deseamos encontrar el área
    de la región entre el tractriz y el eje de x.
    Para solucionar esto por el método normal del
    cálculo, tenemos que encontrar la ecuación de la
    tractriz.
  • Una vez que tenga la ecuación del tractriz tiene
    que integrarlo para conseguir el área. Puede ser
    hecha, pero el cálculo está exigiendo dificultad.

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TRACTRIZ
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Trayectoria de la bicicleta
  • El problema que demuestra la trayectoria
    remontada hacia fuera por la rueda delantera de
    una bicicleta en el movimiento. La rueda
    posterior remonta fuera de otra curva, y el
    problema es encontrar el área de la región entre
    estas dos curvas pues la bicicleta se mueve desde
    una posición inicial a una posición final.
  • Para hacer esto con cálculo usted necesitaría las
    ecuaciones para las curvas.
  • Con Mamikon no necesitamos ecuación alguna!

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(No Transcript)
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Aplicaciones del teorema de Mamikon
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Teorema de Mamikon para los anillos ovales
El círculo interno tiene radio r su área es ?r2,
y si el círculo externo tiene su área del radio R
es ?R2 Así que el área del anillo es igual al
?(R2 - r2).
  • Encuentre el área del anillo anular.

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  • Pero los dos radios y la tangente forman un
    triángulo recto con los catetos r y a/2 y la
    hipotenusa R. Y por el teorema de Pitágoras,
    sabemos que cada anillo tiene área ?a2/4.

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  • Tome la mitad del acorde y piense en ella como
    vector de la tangente de la longitud a/2 al
    círculo interno. Moviendo este vector de la
    tangente alrededor del círculo interno, vemos que
    barre fuera del anillo anular entre los dos
    círculos.
  • Ahora, traduzca cada vector de la tangente
    paralelo a sí mismo así que el punto de la
    tangencia se trae a un punto común. Mientras que
    el vector de la tangente se mueve alrededor del
    círculo interno, el vector traducido rota una vez
    alrededor de este punto común y remonta fuera de
    un disco circular del radio a/2.

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Los vectores de la tangente barren tan fuera de
un disco circular, como si todos fueron centrados
en el mismo punto, este disco tiene la misma área
que el anillo.
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  • Mamikon realizó que este acercamiento dinámico
    también trabajaría si el círculo interno es
    substituido por una curva oval arbitraria.
    Mientras que el segmento de la tangente de la
    longitud constante se mueve una vez alrededor de
    cada elipse, barre fuera de una forma anular más
    general que llamamos un anillo oval.

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  • Podemos traducir otra vez cada segmento de la
    tangente paralelo a sí mismo así que el punto de
    la tangencia se trae a un punto común. Mientras
    que la tangente se mueve alrededor del óvalo, los
    segmentos traducidos remontan fuera de un disco
    circular que radio sea esa longitud constante.
    Así pues, el área del anillo oval debe ser el
    área del disco circular.

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  • El teorema de pitagoras no puede ayudarle a
    encontrar las áreas para estos anillos ovales. Si
    el óvalo interno es una elipse usted puede
    calcular las áreas por el cálculo integral
  • pero si usted hace este cálculo usted encuentra
    todos estos anillos ovales para tener áreas
    iguales dependiendo solamente de la longitud del
    segmento de la tangente!

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  • Mientras que el segmento de la tangente se mueve
    a lo largo de un borde, no cambia la dirección
    así que no barre fuera de cualquier área.
    Mientras que se mueve alrededor de una cima a
    partir de un borde al siguiente, barre fuera de
    parte de un sector circular. Y como circunda el
    triángulo entero que barre fuera de tres sectores
    circulares que, juntos, llenen hacia fuera un
    disco circular , según lo demostrado en el
    cuadro.
  • Igual es verdad para cualquier polígono convexo.

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  • El área de la región barrida hacia fuera por un
    segmento de la tangente de la longitud dada que
    se mueve alrededor de cualquier polígono convexo
    es igual al área de un disco circular que radio
    sea esa longitud. Por lo tanto igual es verdad
    para cualquier curva convexa que sea un límite de
    polígonos convexos.

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  • TEOREMA DE MAMIKON PARA LOS ANILLOS OVALES
  • Todos los anillos ovales barridos hacia fuera por
    un segmento de recta de la longitud dada con una
    tangente de punto final a una curva lisa cerrada
    plana tienen áreas iguales, sin tener en cuenta
    el tamaño o la forma de la curva interior.
    Además, el área depende sólo de la longitud L de
    la tangente segmentan y es igual a ¼ L2, el área
    de un disco de radio L, como si el segmento de
    tangente fue hecho girar sobre su punto final.

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  • El área del anillo oval es también igual a ¼ L2,
    donde L es la longitud constante de los segmentos
    de tangente.
  • Por áreas igualadoras encontramos R2 r2 L2,
  • de cual conseguimos
  • R2 r2 L2,
  • el Teorema de Pitágoras (para el triángulo
    rectángulo R r L).

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(No Transcript)
24
(No Transcript)
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La Bicicleta
  • El área de un barrido de tangente es igual al
    área de su racimo de tangente, sin tener en
    cuenta la forma de la curva original
  • El área del barrido de tangente es igual al área
    de un sector circular que depende sólo de la
    longitud de la bicicleta y el cambio del ángulo
    de su posición inicial a su posición final
  • La forma del camino de la moto no importa!

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El Tractriz y los anillos ovales son casos
particulares de la trayectoria de la bicicleta
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  • La única diferencia es que los segmentos de
    tangente a la curva inferior no tienen que tener
    la longitud constante.
  • El barrido de segmentos de tangente hacia fuera
    una región son llamados el barrido de tangente
  • El racimo de tangente es la región obtenida
    traduciendo cada tangente segmentan la paralela a
    sí de modo que cada punto de la tangencia sea
    movido a un punto común.

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  • El teorema de Mamikon, por ahora, es que el área
    del racimo de tangente es igual al área del
    barrido de tangente.

29
  • La forma del barrido de tangente depende de como
    las longitudes y las direcciones de la tangente
    segmentan el cambio a lo largo de la curva.
    Cuando cada segmento de tangente es traducido
    paralela a sí así el punto de tangencia es traído
    a un punto común, llaman el juego de segmentos
    traducidos el racimo de tangente esto miente
    sobre una superficie cónica con el vértice en
    este punto común.

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El teorema general de Mamikon compara el área del
barrido de tangente con el de su racimo de
tangente
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CURVAS EXPONENCIALES
32
CURVAS EXPONENCIALES
  • Geométricamente, significa que la cuesta de la
    línea de tangente en cada punto de una curva
    exponencial es proporcional a la altura de la
    curva en aquel punto. Las curvas exponenciales
    pueden ser también descritas por sus
    subtangentes.
  • La cuesta de la tangente es la altura dividida en
    la longitud de la subtangente. De este modo, la
    cuesta es proporcional a la altura si y sólo si
    la subtangente es constante

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CURVAS EXPONENCIALES
  • Explotando el hecho que las curvas exponenciales
    tienen subtangentes constantes, podemos usar el
    teorema de Mamikon para encontrar el área de la
    región bajo una curva exponencial sin usar el
    integral.

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  • El racimo de tangente correspondiente es obtenido
    traduciendo cada segmento de tangente a la
    derecha entonces el punto final sobre el eje x es
    traído a un punto común, en este caso, el vértice
    inferior del triángulo rectángulo de base b y
    altitud ex/b. El racimo de tangente que resulta
    es el triángulo de base b y altitud ex/b.
  • Por lo tanto el área de esta región es igual al
    área de este triángulo rectángulo, entonces el
    área de la región entre la curva exponencial y el
    intervalo (ƒ, x es igual a dos veces el área de
    este triángulo rectángulo.

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(No Transcript)
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SEGMENTO PARABOLICO
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AREA DEL SEGMENTO PARABOLICO
  • Arquímedes hizo el descubrimiento que el área es
    exactamente un tercero esto del rectángulo
  • Ahora usaremos el teorema de Mamikon para obtener
    el mismo resultado por un método que no es sólo
    mas sencillo que el original tratamiento de
    Arquímedes, sino que es también más poderoso
    porque puede ser generalizado a poderes de número
    entero más altos, y a poderes arbitrarios también.

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  • La parábola tiene la ecuación y x2, pero no
    necesitaremos esta fórmula en nuestro análisis.
    Usamos sólo el hecho que la línea de tangente
    encima de cualquier punto x corta una subtangente
    de longitud x/2. La cuesta de la tangente es x2
    dividido en x/2, o 2x.
  • El área del segmento parabólico es formado
    bisecando cada segmento horizontal. Las dos
    parábolas dividen el rectángulo en tres regiones,
    y nuestra estrategia es mostrar que tres regiones
    tienen el área igual. Si hacemos este, entonces
    cada uno tiene el área un tercero que del
    rectángulo que circunscribe, como requerido.

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(No Transcript)
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Las dos regiones sombreadas formada por la
parábola de bisegmentación obviamente tienen
áreas iguales Los dos triángulos rectángulos en
esta figura tienen el área igual (ellos tienen la
misma altitud e igualan bases). Por lo tanto el
problema reduce a la exposición que las dos
regiones sombreadas en este diagrama tienen áreas
iguales. Aquí está donde usamos el teorema de
Mamikon.
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  • La parte sombreada bajo la parábola y x2 es el
    barrido de tangente obtenido dibujando todas las
    líneas de tangente a la parábola y cortándolos en
    el eje x. Y la otra parte sombreada es su racimo
    de tangente, con cada segmento de tangente
    traducido entonces su punto de la intersección
    con el eje x es traído a un punto común, el
    origen.
  •  En un punto típico (t, t2) sobre la parábola
    inferior, la tangente cruza el eje x en t/2.
  • Por lo tanto, si el segmento de tangente (de
    t/2, 0) (a t, t2) es traducido dejado por la
    cantidad t/2, el segmento traducido une el origen
    y el punto (t/2, t2) sobre la curva y (2x) 2.

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  • Entonces por el teorema de Mamikon las dos
    regiones sombreadas tienen áreas iguales, como
    requerido, y así hemos mostrado que el área de
    segmento parabólico es exactamente un tercero que
    del rectángulo que circunscribe, el mismo
    resultado obtenido por Arquímedes.

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AREA DE UN SEGMENTO PARABOLICO
  • La figura muestra los gráficos de
  • y x3 , y (3x)3, que dividen el
    rectángulo del área x4 en tres regiones
  • Mostraremos que el área de la región encima del
    cúbico es igual a esto debajo del original
    cúbico, el que significa que cada región tiene el
    área un cuarto que del rectángulo que
    circunscribe

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  • Para hacer esto usamos el hecho que la
    subtangente al cúbico es un tercero la longitud
    de la base. Una región sombreada en la Figura es
    el barrido de tangente del original cúbico, y el
    otro es el racimo de tangente correspondiente,
    entonces ellos tienen áreas iguales.
  • Los dos triángulos rectángulos son congruentes,
    entonces ellos tienen áreas iguales. Por lo tanto
    la región encima del cúbico tiene la misma área
    que el segmento cúbico debajo de la curva y
    x3, y cada uno es un cuarto que del rectángulo,
    o x4/4.

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  • En el caso cuadrico usamos las dos curvas
  • y x4 y y (4x)4 para dividir el
    rectángulo del área x5 en tres regiones. Usando
    el hecho que la subtangente al cuadrico en x
    tiene la longitud x/4, podemos usar el mismo
    argumento para mostrar que el área de la región
    entre dos cuadricos es tres veces que de cada uno
    de los otros dos pedazos, entonces los cuadricos
    segmentan debajo de y x4 tiene el área un
    quinto que del rectángulo, o x5/5.
  • El argumento también se extiende a todos los
    poderes más altos, una propiedad no compartida
    por el tratamiento de Arquímedes del segmento
    parabólico. Para la curva y xn usamos el hecho
    la subtangente en x tiene la longitud x/n

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CICLOIDE
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CICLOIDE
  • La curva remontada hacia fuera por un punto sobre
    el perímetro de un disco circular que rueda sin
    resbalar a lo largo de una línea horizontal.
  • Un problema clásico es mostrar que el área de la
    región entre un arco del cIcloide y la línea
    horizontal es tres veces el área del disco
    rodante.

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  • El método de cálculo estándar de solucionar este
    problema es determinar primero ecuaciones
    paramétricas para el cicloide, luego calcular el
    área por la integración.
  • El mismo resultado puede ser obtenido del teorema
    de Mamikon sin la necesidad de integrales.
  • La figura muestra un arco cicloidal inscrito
    dentro de un rectángulo cuya altitud es el
    diámetro d del disco rodante y cuya base es la
    circunferencia del disco, ¼ d. El área del
    rectángulo que circunscribe es ¼ D2, que es
    cuatro veces el área del disco. Entonces esto
    basta para mostrar que la región sin sombra
    encima del arco y dentro del rectángulo tiene el
    área igual a esto del disco.

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  • Para hacer este mostramos que la región sin
    sombra es el barrido de tangente del cicloide, y
    el racimo de tangente correspondiente es un disco
    circular del diámetro d.
  • Por el teorema de Mamikon, este disco tiene la
    misma área que el barrido de tangente. Como el
    área del disco es un cuarto el área del
    rectángulo, el área de la región debajo del arco
    debe ser de tres cuartos que del rectángulo, o
    tres veces que del disco rodante.
  • Cuando el disco rueda a lo largo de la base esto
    es siempre la tangente a los límites superiores e
    inferiores del rectángulo que circunscribe.

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El diámetro el PPo divide el círculo rodante en
dos semicírculos, y cualquier triángulo inscrito
en estos semicírculos debe ser un triángulo
rectángulo. El disco experimenta la rotación
instantánea sobre P0, entonces la tangente al
cicloide en cualquier punto X es perpendicular al
radio instantáneo de la rotación y por lo tanto
debe ser el vértice de un triángulo rectángulo
inscrito en el semicírculo con el diámetro PPo.
Por consiguiente La cuerda XP del disco rodante
es siempre la tangente al cicloide. Amplíe el
límite superior del rectángulo que circunscribe
más allá del arco y elija un punto fijo O sobre
este límite ampliado. Traduzca cada paralela de
cuerda a sí así señale P es movido
horizontalmente al punto fijo O. Entonces el otro
extremo X mueve a un punto Y tal que segmento el
OY es igual en longitud y paralela a PX. Por lo
tanto el racimo de tangente es un disco circular
del mismo diámetro que el disco rodante, y el
teorema de Mamikon nos dice que su área es igual
a la del disco
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Conclusion
  • Los métodos también se aplican al descubrimiento
    de volúmenes de figuras tridimensionales y
    sólidos de revolución.
  • Newton y Leibniz son generalmente considerados
    como los descubridores de integral. Mamikon
    relaciona segmentos de tangente móviles con las
    áreas de las regiones barridas hacia fuera por
    estos segmentos de tangente, es decir unifica los
    conocimientos adquiridos en antaño.
  • Y algunas de las figuras siguientes han sido
    tratadas con éxito por este método elipse,
    hipérbola, catenaria, logaritmo, cardioide,
    uni-cicloide, hi-cicloide, espirales, Bernoulli
    lemniscata, seno y coseno, etc.

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FIN
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