Mod

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Modèles de files dattente

Modèle général de files dattente, étude des lois
darrivées et de service du système, distribution
exponentielle, propriétés dun système de file
dattente. Processus de naissance et de mort.
Étude de cas particuliers  une ou
plusieurs files, une ou plusieurs stations, un
nombre limité ou non de clients,
distributions non exponentielles, etc. Politiques
de service. Aspect économique des phénomènes
dattente. Applications.
2
Généralités

Nous sommes souvent en présence dun phénomène de
files dattente.
CONGESTION
Lorsque la demande de service dépasse la capacité
de service, il y a formation de files dattente.
Caractéristiques dun tel phénomène
Arrivées dunités à des intervalles de temps
irréguliers ou non, à un centre de service.
Exemple
arrivée de camions à un poste de
chargement, entrée de clients dans un
magasin, arrivée de bateaux dans un port, etc.
Un ou plusieurs canaux de service ou stations.
guichet, vendeur, etc.
Exemple
Les unités doivent éventuellement attendre quune
station soit disponible pour être servies.
Les intervalles de temps de service des unités
sont irréguliers ou non.
3
Généralités

Cas non intéressant
Des intervalles constants des entrées et des
temps de service, avec une durée de service plus
élevée que lintervalle entre 2 entrées,
La file dattente augmente régulièrement et
indéfiniment.
Schéma de file dattente
Système dattente
Source 1
Station 1
Processus de service des unités (durée et ordre
de service, )
File dattente 1
Source 2
Station 2
Processus darrivée dunités
File dattente 2
File dattente F
Source U
Station S
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Modèle général de file dattente

Posons
M ? nombre dunités dans lensemble du phénomène
(peut être infini) (dans les sources, les files
et les stations),
N ? nombre dunités dans le système (dans les
files et les stations),
Q ? nombre dunités dans les files dattente,
Qmax ? nombre maximum dunités dans les files
dattente,
R ? nombre dunités en cours de service,
S ? nombre de stations,
SI ? nombre de stations inoccupées,
SO ? nombre de stations occupées,
F ? nombre de files dattente,
5
Quelques résultats préliminaires .

R si N S
Trivialement, N
S Q sinon.
En général, N ? N(t), Q ? Q(t) et R ? R(t)
varient en fonction du temps et sont aléatoires
suivant une loi de probabilité que nous
chercherons à connaître.
Posons maintenant
pn Prob(N n) ? la probabilité quil y ait n
unités dans le système.
En général, pn ? pn(t) varient aussi en fonction
du temps.
M EN ? k pk k 0
le nombre moyen dunités dans le système.
On obtient alors
M EQ ? (k S) pk k S1
Dans le cas dune seule file dattente (F 1),
désigne le nombre moyen dunités dans la file.
6
Quelques résultats préliminaires .

S ESI ? (S k) pk k 0
désigne le nombre moyen de stations inoccupées.
On peut vérifier assez facilement que
(en exercice)
EN EQ S ESI
Afin de poursuivre plus avant notre étude dun
phénomène dattente, il nous faut connaître les
probabilités pn quil y ait n unités dans le
système.
Pour y arriver, il nous faut étudier les lois
darrivées et de service du système.
7
Arrivée dune unité dans le système

Considérons un intervalle de temps de durée t et
n le nombre dunités qui arrivent dans le système
dans cet intervalle, n est une variable
aléatoire.
Hypothèses
La probabilité quil y ait n arrivées dans
lintervalle de durée t ne dépend que de t et non
de linstant initial à partir duquel on a
comptabilisé les arrivées dans le système.
Homogénéité ou stationnarité dans le temps.
La probabilité quune arrivée se produise plus
dune fois dans un intervalle de temps
infinitésimal dt est infiniment petite par
rapport à dt.
Il ny a pas darrivées en groupe (plusieurs
arrivées simultanées).
La probabilité quune arrivée se produise une
fois exactement dans un intervalle de temps
infinitésimal dt est proportionnelle à dt, disons
? dt.
Il ny a pas dheures de pointe (répartition
uniforme).
8
Arrivée dune unité dans le système

Nous pouvons poser
pn(t) ? la probabilité quil y ait n arrivées
dans lintervalle de durée t.
Sous les hypothèses précédentes, on peut montrer
que le nombre darrivées dans un intervalle de
temps t, soit N(t), suit une distribution de
Poisson de paramètre ?t égal au nombre moyen
darrivées pendant un temps t i.e.
pn(t) ? (? t)n e-?t n!
n 0, 1, 2,
On a aussi que
EN ?t et VarN ?t.
La loi des arrivées est entièrement déterminée
par le nombre moyen ? des arrivées par unité de
temps.
9
Temps de service dune unité dans le système

Après une période dattente, les entités dans le
système reçoivent le service.
Le service est aléatoire il est donc décrit par
une distribution de probabilité.
Si le nombre darrivées dans un intervalle de
temps obéit à une loi de Poisson, alors la durée
séparant deux arrivées est exponentielle.
Nous considérerons donc que la durée de service
suit une loi exponentielle de paramètre ? dont la
fonction de densité est
f(t) ? e-?t
t ? 0, ?), ? gt 0.
La loi des services est entièrement déterminée
par le taux moyen ? des services égal à linverse
de la durée moyenne dun service.
Note
Nous supposons que ? lt ? sans quoi la file va
augmenter indéfiniment.
À moins davis contraire, les premiers arrivés
sont les premiers servis.
10
Processus de naissance et de mort

Une arrivée une naissance, un départ une mort.
Hypothèses
Soit N n, le temps écoulé jusquà la prochaine
naissance suit une loi exponentielle de
paramètre ?n, le temps écoulé jusquà la
prochaine mortalité suit une loi exponentielle
de paramètre ?n, seul une naissance ou une mort
arrive à la fois, ?n taux darrivée lorsquil
y a n clients dans le système, ?n taux de
service lorsquil y a n clients dans le système.
Problème
Trouver une formule pour unités dans le système
au temps t.
pn(t) Prob(N(t) n) ? la probabilité quil y
ait n
11
Processus de naissance et de mort résolution

Régime transitoire
pn(t) dépend de t (résolution difficile).
Régime stationnaire
pn(t) est indépendant de t.
En supposant le régime transitoire très court,
notre intérêt va porter sur le régime stationnaire
.
PRINCIPE PERMETTANT DÉCRIRE UNE ÉQUATION
DÉQUILIBRE POUR TOUT ÉTAT n pour tout état n
0, 1, 2, , le taux dentrée moyen de clients
doit être égal au taux de départ moyen.
diagramme détats
12
Calcul de Pn ? pn(t)

13
Calcul de Pn ? pn(t)

14
1er cas modèle S/F/M/Qmax ? modèle 1/1/?/?

Une file dattente de capacité illimitée, une
station, une source illimitée.
Intensité de trafic
diapositive suivante
15
Modèle 1/1/?/? calcul de P0

Vous jouez à pile-ou-face. Vous décidez de jouer
jusqu'à ce qu'apparaisse "Pile"  pour la première
fois. Le nombre L de lancers nécessaires est donc
une variable aléatoire dont la distribution est
géométrique.
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Modèle 1/1/?/? intensité de trafic

Max Pn correspond à ? n . ? n 1
Exemple
La probabilité la plus élevée de rencontrer 3
unités dans le système a lieu lorsque ? 3 / 4
et a pour valeur 27 / 256 ? 0.1054.
Pour calculer Prob(N n), on a
n
n

• Pi (1 - ?) ?
• i 0 i 0

?n
1 - ?n1
Par conséquent, Prob(N gt n) ?n1 et la
probabilité quil y ait au moins une unité dans
le système est Prob(N gt 0) ? intensité de
trafic 1 probabilité de ne pas attendre.
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Modèle 1/1/?/? nombre moyen dunités dans le
système

N
N ? / (1 - ?)
Note
Si ? ? ?, alors ? ? 1 et N ? ?.
La quantité ? est lessence même du problème
cela reflète un compromis entre le gain issu de
la réduction de N et le coût associé des
installations et du personnel constituant le
service.
18
Modèle 1/1/?/? nombre moyen dunités dans la
file dattente

Q
19
Modèle 1/1/?/? temps moyen passé dans le système

Formule de Little
Temps moyen passé dans le système (temps de
service inclus)
N / ? ? / (1 - ?) / ? 1 / (? - ?) 1
/ (1 - ?) / ?
Temps dattente moyen dans la file
Q / ? ?2 / (1 - ?) / ? ? / ?(? - ?)
? / (1 - ?) / ? N / ?
Note
N / ? - Q / ? 1 / ? ce qui représente
bien le temps moyen de service.
20
Modèle 1/1/?/? exemple I

Dans une usine de fabrication de meubles, on
peint 20 unités à lheure.
Celles-ci arrivent à la salle de peinture à un
rythme moyen de 12 à lheure.
Nombre moyen de meubles dans la salle de peinture
? 12
N ? / (1 - ?) (12 / 20) / (1 12 / 20)
1.5 meuble.
? 20
Temps moyen passé dans la salle de peinture
N / ? 1.5 / 12 1/8 heure 7.5 minutes.
Temps moyen dattente avant dêtre peint
N / ? 1.5 / 20 3/40 heure 4.5 minutes.
21
Modèle 1/1/?/? exemple II

Dans un grand magasin, on a observé les arrivées
suivantes de clients
Arrivées pendant une période de 5 min. (n)
Fréquences observées (fn)
0 1 2 3 4 5 6
29 34 24 8 4 1 0
Total sur 100
Nombre moyen darrivées par période de 5 minutes

6 1 ? n fn 1.27 100 n0
22
Le paramètre 1.27 est-il admissible comme celui
de la loi de Poisson associée aux arrivées ?

Effectuons donc un test du ?2.
Règle à suivre
On doit retrouver 4 à 5 éléments par classe
au minimum pour un échantillon de taille 100.
Regroupons les 3 dernières classes en une.
Arrivées pendant une période de 5 min. (n)
Fréquences théoriques (100 pn(t) ) où ? t 1.27
Fréquences observées (fn)
Différence fn 100 pn(t) 2 (fd)
fd
100 pn
0 1 2 3 4
29 34 24 8 5
28 36 23 9 4
1 4 1 1 1
.0357 .1111 .0435 .1111 .2500
100 ce qui précède
23
Le paramètre 1.27 est-il admissible comme celui
de la loi de Poisson associée aux arrivées ?

Nous avons alors ?exp2 0.0357 0.1111 0.0435
0.1111 0.2500 0.5514.
Étant donné que nous avons estimé un paramètre et
que nous possédons 5 classes, nous sommes en
présence dune ?2 à 3 degrés de liberté.
À un niveau ? 5 , on obtient ?t2 7.8147 et
vu que ?t2 gt ?exp2 on accepte lhypothèse que
? 1.27 / 5 minutes 0.254 / minute.
24
Durée des services

La durée des services sest répartie comme suit
Durée Fréquence 0, 1) 23 1, 2)
20 2, 3) 14 3, 4) 12 4, 5)
9 5, 6) 5 6, 7) 4 7, 8)
5 8, 9) 3 9, 10) 2 10, 11)
2 11, 12) 1 12, ?) 0
Durée moyenne de service (1 / ? )
(0.5 x 23 1.5 x 20 11.5 x 1) / 100 3.27
valeur médiane de lintervalle
? 1 / 3.27 ? 0.3 / minute
Vérifions par un test de ?2 si cette
hypothèse est fondée.
25
Durée des services

Regroupons quelques classes
Durée Fréquences Fréquences observées théoriq
ues (fn) (100 pn) où ? ? 0.3 0,
1) 23 26 9
.3962 1, 2) 20 19 1
.0526 2, 3) 14 14 0
0 3, 4) 12 11
1 .0909 4, 6) 14 14
0 0 6, 8) 9
7.5 2.25 .3000 8, ?)
8 9 1 .1111
Différence fn 100 pn 2 (fd)
fd
100 pn
?exp2 0.9008
qui correspond à un ?2 à 5 degrés de liberté. À 5
, on a ?t2 11.1 on accepte donc lhypothèse.
26
Caractéristiques de la file dattente

S 1
? ? / ? 0.8467
N ? / (1 - ?) 5.52
Nombre moyen dunités dans le système
N / ? 5.52 / 0.3 18.4 min.
Temps moyen dattente
0.254 x 8 x 60 121.92
Nombre moyen de clients
une journée de 8 h.
Durée moyenne de service
Temps perdu en attente
121.92 x 18.4 min.
121.92 x 3.27 min.
Temps pendant lequel le caissier est occupé
27
Modèle S/1/?/?

Arrivée dune unité
Les S stations sont occupées.
non
oui
Lunité est servie immédiatement
Lunité attend.
28
Modèle S/1/?/? nombre moyen dunités dans la
file

Q
Temps dattente moyen
Q / ?
Q
29
Modèle S/1/?/? nombre moyen de stations
inoccupées

SI
SI
30
Modèle S/1/?/? nombre moyen dunités dans le
système

N Q S SI
N Q ? / ?
Modèle S/1/?/? temps moyen passé dans le système
Q / ? 1 / ?
Note
S ? ? ? P0 ? e -? / ?
La probabilité quil y ait 0 unité dans la file
lorsque S ? ? est égale à 1.
31
Modèle S/1/?/? probabilité quune unité attende
dans la file

? Prob(N S) ? pn n S
? p0 SS ? ?n S! n S
p0 (? / ?)S S! (1 - ?)
32
Exemple salle durgence dun hôpital

Arrivées de patients suivent un processus de
Poisson.
Durée de traitement par patient obéit à une loi
exponentielle.
? 2 patients / heure
? 3 patients / heure
Question
Doit-on affecter un ou deux médecins ?
S 1 S 2
?
? / ? 2/3 lt 1
? / 2? 2/6 1/3 lt 1
1/2
P0
1/3
P1
2/9
1/3
(1/3)n n 2
Pn
(2/3)n/3
Q
4/3
1 / 12
Nombre moyen dunités dans la file
N
2
3/4
Nombre moyen dunités dans le système
1/24
2/3
Nette amélioration ?
Temps moyen dattente dans la file
33
3ième cas modèle S/F/M/Qmax ? modèle 1/1/?/q

Une file dattente de capacité limitée q, une
station, une source illimitée.
Lorsquil y a q 1 unités dans le système, les
nouveaux arrivants partent sans recevoir de
service.
Ex. Salle dattente de capacité limitée.
? si n 0, 1, 2, , q
Taux darrivée
?n
0 si n gt q
Taux de service
?n ? pour tout n.
(?/?)n ?n si n 0, 1, 2, , q, q 1
Cn
0 si n gt q 1
P0
1 - ? / 1 - ?q2
et
(1 - ?) ?n / 1 - ?q2 ?n q 1
Pn
34
3ième cas modèle S/F/M/Qmax ? modèle 1/1/?/q

? N ? n Pn n 0
q1 (1 - ?) / 1 - ?q2 ? n ?n n 0
? / (1 - ?) - (q 2) ?q2 / (1 - ?q2)
Q N (1 P0).
q ? ?n Pn n 0
? taux darrivée moyen
? (1 Pq1)
Temps passé dans le système N / ?.
Temps dattente dans la file Q / ?.
35
4ième cas modèle S/F/M/Qmax ? modèle s/1/?/q

Une file dattente de capacité limitée q, s
stations, une source illimitée.
Lorsquil y a q s unités dans le système, les
nouveaux arrivants partent sans recevoir de
service.
Ex. Salle dattente de capacité limitée.
? si n 0, 1, 2, , q s - 1
Taux darrivée
?n
0 si n q s
Taux de service
?n n? si n s s? si n gt s
(?/?)n / n! si n 0, 1, 2, , s
Cn
(?/?)s (?/s?)n-s / s! si n s 1, s 2, ,
q s
0 si n gt q s
On peut alors calculer P0 et, ensuite, Pn pour
tout n 1, 2, , q s.
etc.
36
5ième cas modèle S/F/M/Qmax ? modèle 1/1/m/?

Une file dattente de capacité illimitée, une
station, une source limitée m.
Exemple

• Considérons un atelier dans lequel sont utilisées
  m machines identiques qui
• fonctionnent indépendamment les unes des autres.
  Des pannes se produisent
• sur ces machines, dune façon aléatoire selon une
  loi de Poisson avec un taux
• pour chacune.
• Pour les réparer, on dispose dun mécanicien qui
  constitue ainsi la station par
• où doivent passer les machines. La durée des
  réparations est distribuée selon
• la loi exponentielle avec un taux ?.

(m - n) ? si n 0, 1, 2, , m
Taux darrivée
?n
0 si n m
Taux de service
?n ? si n 1, 2, , m.
où n désigne le nombre de machines dans le
système (n m).
?/? désigne le facteur de service ou facteur
dentretien.
37
5ième cas modèle S/F/M/Qmax ? modèle 1/1/m/?

Cn
m!(?/?)n / (m n)! si n 1, 2, , m.
Pn Cn P0 si n 1, 2, , m.
Pour calculer P0, on se sert du fait que P0 1
- P1 - - Pm.
m Le nombre moyen dunités dans la file est
? (n 1) Pn m - (1 P0) (1 ? / ?) n
2
m Le nombre moyen dunités dans le système
est ? n Pn m - ? (1 P0) / ? n 0
m ? Pn 1 P0 n 1
La probabilité dune attente de durée quelconque
est
38
5ième cas modèle S/F/M/Qmax ? modèle 1/1/m/?

Le temps moyen dattente dans la file est
nombre moyen dunités dans la file taux
moyen des arrivées
cest-à-dire, moyen dunités dans la
file ? (m - moyen dunités dans le système)
m / (1 P0) (1 ? / ?) / ?
Le temps moyen dattente dans le système est
moyen dunités dans le système ? (m - moyen
dunités dans le système)
m / (1 P0) - ? / ? / ?
39
6ième cas modèle S/F/M/Qmax ? modèle s/1/m/?

Généralisation du cas précédent s mécaniciens
au lieu dun seul.
(m - n) ? si n 0, 1, 2, , m
Taux darrivée
?n
0 si n m
Taux de service
?n n ? si n 1, 2, , s. s ? si n s1, s
2, , m.
où n désigne le nombre de machines dans le
système (n m).
Pn m ? n P0 si n 1, 2, , s n
?
Pn n! m ? n P0 si n s 1, s
2, , m s! sn-s n ?
etc.
40
Conclusion

Il existe plusieurs autres types de phénomènes
dattente avec des lois darrivées et/ou de
service différentes. Mais les principes généraux
demeurent les mêmes.
Exemples
Un taux de service qui dépend de létat du
système (n).
Des durées de services non exponentielles.
etc.