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Exemple 2 PGCD(210126)
Exercice 1 PGCD(1085837)
Exercice 2 Les billes
Exercice 3 Le patchwork
Exercice 4 Nombres premiers entre eux
Exercice 5 Vrai ou Faux ?
1.
2.
3.
Exercice 6 La collection
Exercice 7 Le coffret de CD
Exercice 8 Les palindromes
2
Exercice Déterminer le PGCD de 210 et 126 avec
lalgorithme des différences.
a - b
Plus grand a
Plus petit b
210
126
84
126
84
42
84
42
42
42
42
0
42
Donc PGCD (210  126)
3
Exercice 1 Déterminer le PGCD de 1085 et 837 par
la méthode de votre choix.
- Algorithme des différences
- Algorithme dEuclide
4
a - b
Plus grand a
Plus petit b
1085
837
248
837
248
589
589
248
341
341
248
93
248
93
155
155
93
62
93
62
31
62
31
31
31
31
0
Donc PGCD (1085  837)
31
5
PGCD de 1085 et 837
Reste
Plus grand a
Plus petit b
1085
837
248
837
248
93
248
93
62
93
62
31
62
31
0
Donc PGCD (1085  837)
31
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Exercice 2 Marc a 108 billes rouges et 135 billes
noires. Il veut faire des paquets tels que

• tous les paquets contiennent le
• même nombre de billes rouges

• tous les paquets contiennent le
• même nombre de billes noires

• toutes les billes rouges et toutes les
• billes noires soient utilisées.

Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il
réaliser ?
7
108 billes rouges et 135 billes noires.
Il faut que

• tous les paquets contiennent le
• même nombre de billes rouges,

• toutes les billes rouges et toutes les
• billes noires soient utilisées.

Le nombre de paquets doit être
un diviseur
de 108.
8
108 billes rouges et 135 billes noires.
Il faut que

• tous les paquets contiennent le
• même nombre de billes noires,

• toutes les billes rouges et toutes les
• billes noires soient utilisées.

Le nombre de paquets doit être
un diviseur
de 135.
9
108 billes rouges et 135 billes noires.
Le nombre de paquets doit être
un diviseur
commun
135.
à 108 et
Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il
réaliser ?
Il faut que
le diviseur commun à
108 et 135
soit
le plus grand
possible cest PGCD (108 135)
10
Déterminons le PGCD(108 135) avec lalgorithme
des différences
Donc PGCD (108  135)
27
Marc pourra réaliser au maximum 27 paquets.
11
108 billes rouges et 135 billes noires.
Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de
billes noires dans chaque paquet ?
Nombre de billes rouges par paquet
108
4
?
27
Nombre de billes noires par paquet
135
5
?
27
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Exercice 3 Sophie veut faire une couverture en
patchwork en cousant ensemble des carrés de tissu
de grandeurs identiques, mais de motifs
différents. Les dimensions de la couverture
doivent être 210 cm sur 135 cm. 1. Sachant que le
côté des carrés doit être le plus grand possible,
combien doit il mesurer ? Expliquer votre
démarche.
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Sophie veut faire une couverture en patchwork en
cousant ensemble des carrés de tissu de grandeurs
identiques, mais de motifs différents. Les
dimensions de la couverture doivent être 210 cm
sur 135 cm. 2. Combien de carrés
devra-t-elle utiliser ?
14
1. Sachant que le côté des carrés doit être le
plus grand possible, combien doit il mesurer ?
Expliquer votre démarche.
210 cm
135 cm
15
Pour que les carrés soient tous entiers, il faut
que le côté soit un diviseur de la longueur 210
cm et de la largeur 135 cm.
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De plus, il faut que le côté des carrés soit le
plus grand possible. On cherche donc le plus
grand diviseur commun de 210 et 135.
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Déterminons le PGCD de 210 et 135 avec
lalgorithme dEuclide.
15
Donc PGCD (210  135)
La dimension de chaque carré devra être 15 cm.
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2. Combien de carrés devra-t-elle utiliser ?
210 ? 15 14
Il y aura 14 carrés sur la longueur.
135 ? 15 9
Il y aura 9 carrés sur la largeur.
14 9 126
Elle devra utiliser 126 carrés.
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Exercice 4 1. Les nombres 682 et 496 sont-ils
premiers entre eux ? Justifier. 2. Rendre
irréductible la fraction la fraction .
682 496
20
1. Les nombres 682 et 496 sont-ils premiers
entre eux ?
682 et 496 sont divisibles par 2 donc ils ne sont
pas premiers entre eux.
2. Rendre irréductible la fraction la fraction
.
682 496
Pour rendre irréductible la fraction on la
simplifie par le PGCD de 682 et 496.
21
Recherche du PGCD de 682 et 496
62
Donc PGCD (682  496)
22
2. Rendre irréductible la fraction la fraction
.
682 496
11
62 ?
11


62 ?
8
8
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Exercice 5 Vrai ou Faux ? Préciser si les
affirmationssuivantes sont vraies ou fausses.
Justifier. 1. est un nombre décimal. 2.
Les nombres 570 et 795 sont premiers entre
eux. 3. La somme de deux multiples de 5 est
toujours un multiple de 5.
3 25
24
1. est un nombre décimal.
3 25
VRAI
0,12
La partie décimale de 0,12 contient un nombre
fini de chiffres après la virgule donc
est un nombre décimal.
25
2. Les nombres 570 et 795 sont premiers entre
eux.
570 et 795 sont divisibles par 5 donc ils ne sont
pas premiers entre eux.
FAUX
26
3. La somme de deux multiples de 5 est toujours
un multiple de 5.
- Preuve arithmétique
- Preuve algébrique
27
3. La somme de deux multiples de 5 est toujours
un multiple de 5.
Preuve arithmétique
Les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5.
1er cas avec deux multiples de 5 se terminant
par 0
0 .0 0
Donc la somme est aussi un multiple de 5.
28
3. La somme de deux multiples de 5 est toujours
un multiple de 5.
Preuve arithmétique
Les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5.
2ème cas avec un multiples de 5 se terminant
par 0 et lautre par 5.
0 .5 5
Donc la somme est aussi un multiple de 5.
29
3. La somme de deux multiples de 5 est toujours
un multiple de 5.
Preuve arithmétique
Les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5.
3ème cas avec deux multiples de 5 se terminant
par 5.
5 .5 0 (avec une retenue)
Donc la somme est aussi un multiple de 5.
VRAI
30
3. La somme de deux multiples de 5 est toujours
un multiple de 5.
Preuve algébrique
Un multiple de 5 sécrit sous la forme 5
1er multiple de 5 5 a 5a
2ème multiple de 5 5 b 5b
Somme des 2 multiples de 5 5a 5b
31
3. La somme de deux multiples de 5 est toujours
un multiple de 5.
Preuve algébrique
Somme des 2 multiples de 5 5a 5b
Pour montrer que la somme est un multiple de 5,
on factorise par 5
5a 5b 5 (a b)
La somme est bien un multiple de 5.
VRAI
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• Exercice 6 La collection
• Otto, le fils de M. Coland, collectionne les
  autocollants.
• Il demande à ses copains de deviner combien il en
  possède et leur donne les informations suivantes
  
• - Mon nombre dautocollants est
• inférieur à 100 

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• - Mon nombre dautocollants
• est impair 
• Mon nombre dautocollants est
• divisible par 9 
• Si je les mettais par paquets de 5,
• il men resterait 3.
• A vous de trouver combien Otto possède
  d'autocollants. Expliquez la réponse.

34

• - Mon nombre dautocollants est
• inférieur à 100 

On cherche un nombre de deux chiffres
- Mon nombre dautocollants est impair 
Le chiffre des unités est 1 3 5 7 ou 9.
1 - 3 - 5 - 7 - 9
35
1 - 3 - 5 - 7 - 9

• Mon nombre dautocollants est
• divisible par 9 

• La somme des chiffres doit être
• divisible par 9 

1 - 3 - 5 - 7 - 9
8
6
4
- 9
2
0
9
36
81 - 63 - 45 - 27 9 - 99

• Si je les mettais par paquets de 5, il men
  resterait 3.

81 16 5 1
63 12 5 3
45 9 5 0
27 5 5 2
Donc Otto Colland possède 63 autocollants.
9 1 5 4
99 19 5 4
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Exercice 7 Le coffret de CD Pour les fêtes de
fin dannée, la maison de disque  Cool music 
veut lancer un coffret de CD dartistes variés.
Pour approvisionner tous les magasins, la
maison de disque livrera ses coffrets dans des
caisses de 80 cm de longueur, 60 cm de largeur,
40 cm de hauteur.
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La maison de disque veut réaliser des coffrets
cubiques, les plus grands possibles, qui
permettent de remplir entièrement la
caisse. Quelle doit être larête de ces coffrets
et combien de tels coffrets pourra-t-on placer
dans chaque caisse ?
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Les coffrets doivent remplir entièrement la
caisse.
Donc larête dun coffret doit être un diviseur
de la longueur, de la largeur et de la hauteur de
la caisse.
40
Les coffrets doivent être les plus grands
possibles donc il faut trouver le plus grand
diviseur commun à 80, 60 et 40. Il faut donc
calculer PGCD (80  60  40) avec la méthode de
votre choix.
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Diviseurs de 80  124581016204080
Diviseurs de 60  123456101215203060
Diviseurs de 80  12458102040
Diviseurs communs à 20, 60 et 80  124581020
Donc PGCD (80  60  40) 20
42
80 ? 20 4 coffrets sur la longueur
60 ? 20 3 coffrets sur la largeur
40 ? 20 2 coffrets sur la hauteur
4 3 2 24
On pourra placer 24 coffrets dans chaque caisse.
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Exercice 8 Les palindromes Les nombres 272 ou 19
591 sont des palindromes. Cela signifie quen
les lisant de gauche à droite ou de droite à
gauche, on a le même nombre. Déterminer tous les
palindromes des nombres de 4 chiffres divisibles
par 9.
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Solutions  1881 2772 3663 4554 5445 6336 7227
8117
45
(No Transcript)