A Box-Jenkins f

1
A Box-Jenkins féle modellek

• Statisztika II.
• VEGTGAM22S

2
ARIMA-modellek
A legárnyaltabb, legösszetettebb elemzés a Box és
Jenkins által kidolgozott ARIMA-modellekben
lehetséges. Az ARIMA-modellek feltételeznek az
idosor adatai között meglévo, valamilyen belso
sztochasztikus koherenciát, ami tartósan megvan,
kimutatható, és feltehetoleg a jövobeni lefolyás
során is jelen lesz.
3
ARIMA-modellek

• Az ARIMA betuszó egy rövidítés
• ARIMA AutoRegressive Integrated Moving Averages
  
• Az AR (AutoRegressive) modell szerint az Xt
  idosor t idopontbeli értékét a múltbeli idosor
  értékek súlyozott összege (lineáris kombinációja)
  és egy korrelálatlan hibatag összege adja meg.
• Az MA (Moving Averages) modell szerint az Xt
  idosor t idopontbeli értéke a múltbeli fehérzaj
  értékek súlyozott összegeként (lineáris
  kombinációjaként) állítható elo.
• Az I (Integrated) modellt akkor alkalmazzuk, ha
  az Xt idosor nem stacioner, de véges számú
  deriválással azzá teheto. Tipikusan ez a helyzet,
  ha az idosor kummulatív hatásokat tükröz. Pl. a
  raktárkészletet nem határozzák meg egyetlen
  idoszak beszerzései és eladásai, ezek csupán a
  raktárkészlet változásait határozzák meg.

4
ARIMA-modellek
Az ARIMA modellek beazonosításához tanulmányozni
kell az Xt idosor belso strukturális
kapcsolatait jól leíró autókorrelációs és
parciális autókorrelációs méroszámokat.
5
Autokovariancia függvény (AVF)
Autokorrelációs függvény (ACF)
Parciális autokorrelációs függvény (PACF)
6
ARIMA(0,0,q)MA(q) modellek
fehérzaj folyamat, azaz teljesen független,
normális eloszlású változók sorozata
ahol
A mozgóátlag a folyamat egy fehérzaj folyamat
elemeinek lineáris kombinációjaként áll elo. Xt
és Xt-1 q-1 változóban közös. Az MA(q) folyamat
együtthatói a b0 ,b1 ,,bq .
7
Mozgóátlag modellek, MA(q)
Az együtthatók meghatározása
A megoldhatóság feltétele
A komplex egységkörben csak páros multiplicitású
gyöke legyen
8
Autoregresszív folyamatok ARIMA(p,0,0)AR(p)
Az autoregresszív folyamat a megelozo p
megfigyelt érték lineáris kombinációja és egy
független et hiba összegeként regresszálódik. Az
AR(p) folyamat együtthatói az a1 ,,ap , ? .
9
Autoregresszív folyamatok AR(p)
Az együtthatók meghatározása Yule-Walker
egyenletrendszerrel
autókovarianciák
10
Általános autoregresszív és mozgóátlag
folyamatok, ARIMA(p,0,q)ARMA(p,q)
Integrált autoregresszív és mozgóátlag
folyamatok, ARIMA(p,d,q) modellek
deriváltsor
második deriváltsor
Stb.
11
Autoregresszív és mozgóátlag folyamatokARMA(p,q)
Az együtthatók meghatározása
ahol
és
12
Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF)
és parciális autoregressziós (PACF) függvényei
ARIMA(0,0,1)MA(1) modellek
13
Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF)
és parciális autoregressziós (PACF) függvényei
ARIMA(0,0,2)MA(2) modell
14
Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF)
és parciális autoregressziós (PACF) függvényei
ARIMA(1,0,0)AR(1) modellek
15
Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF)
és parciális autoregressziós (PACF) függvényei
ARIMA(1,0,1) modell
16
Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF)
és parciális autoregressziós (PACF) függvényei
ARIMA(2,0,0)AR(2) modell
17
Modellezés ARMA folyamatokkal
1. lépés Modell identifikáció
Kiválasztjuk az idosorhoz leginkább illeszkedni
tudó modellt. Ehhez az empirikus idosor
autokorrelációit, parciális autokorrelációithaszn
áljuk fel.
2. lépés A modell paramétereinek kiszámolása
Az együtthatók és a sor statisztikáinak az
összefüggésébol kiszámoljuka modell paramétereit.
3. lépés A modell illeszkedésének ellenorzése
A modell paraméterekre vonatkozó teszteket
elemzünk, és a maradéktagot vizsgáljuk, mennyire
hasonlít a fehér zajhoz. A portmanteau-próba
végrehajtása
18
Célunk az, hogy a Magyarország 1975-1994 közötti
villamosenergia termelését jellemzo alábbi idosor
alapján elorejelzést adjunk a termelés 2003-ig
várható alakulásáról.
PÉLDA 1.
19
Az idosor növekedo trendet mutat és szemre úgy
tunik, az emelkedés töretlen. Illesszünk ARIMA
modellt az idosorra, és becsüljük elore a menetét
2003-ig! Ehhez rajzoltassuk ki az idosor ACF és
PACF grafikonjait! Analyze / Forecasting /
Autocorrelations... Variables villener,
Display ? Autocorrelations ? Partial
autocorrelations (OK).
PÉLDA 1.
20
Az ábra alapján megtippelhetjük az ARIMA(0,1,0)
modellt. Nézzük meg, mit ad ki a
Analyze/Forecasting/Create Models parancs Expert
Modeller funkciója! Ez a beállítás az összes
szóbajöheto modell közül kiválasztja a leheto
legjobbat. Adjuk ki még a következo parancsokat
is Dependent Variables villener, Criteria ?
All Models, Save Predicted values ?, Options ?
First case after end of estimation period through
a specified date Observation 30. (OK).
PÉLDA 1.
21
A legjobbnak ítélt modell az ARIMA(0,1,0) , azaz
villener deriváltsora! Az illeszkedés igen jó, R
squard 0,912 és a Ljung-Box próba is sikeres!
PÉLDA 1.
22
Az elorejelzett idosor jól illeszkedik az
megfigyelt adatokra, amint azt a következo két
grafikonon is láthatjuk. Az elorejelzés szerint a
villamosenergia fogyasztásban eros emelkedés
várható.
PÉLDA 1.
A Magyarország 1975-1994 közötti villamosenergia
termelését jellemzo idosor (villener) és az annak
alapján az ARIMA(0,1,0) modell segítségével
kapott elorejelzo függvény.