PODOBNOST TROJUHOLN

1
PODOBNOST TROJUHOLNÍKOV

• Základná škola
• 9. rocník

Ing. Peter Greguš ?
2
Obsah
Opakovanie (netreba opisovat)
Nové ucivo (treba opisaovat)

• Zhodnost trojuholníkov
• Veta sss
• Veta sus
• Veta usu
• Desatinné císlo a zlomok
• Pomer
• Príklad na pomer
• Podobnost geometr. útvarov
• Podobnost trojuholníkov
• Veta sss
• Príklad na vetu sss
• Veta sus
• Príklad na vetu sus
• Veta uu
• Príklad na vetu uu

• Príklady na podobnost
• Príklad 1 (zistit podobnost)
• Príklad 2 (zmenit trojuholník)
• Príklad 3 (obvod, obsah)
• Koeficient pri obvode a obsahu
• Príklad 4 (obvod, obsah)
• Príklad 5 (obvod, obsah)
• Príklad 6 (strom)
• Príklad 7 (rybník)
• Príklad 8 (komíny)
• Príklad 9 (obdlžnik)
• Príklad 10 (štvorec)
• Geom.útvary jedným údajom
• Test
• Úoha

3
Definícia Zhodnosti trojuholníkov
Dva trojuhoníky sa zhodujú, ak sa zhodujú - vo
všetkých odpovedajúcich si stránach - vo
všetkých odpovedajúcich si uhlov.
4

• VETA (sss)

Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú vo
všetkých troch stranách sú zhodné.
C
C
a
b
a
b
c
A
B
c
B
A
5

• VETA (sus)

Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch
stranách a v uhle nimi urcenom sú zhodné.
C
C
b
b
a
a
c
A
B
c
B
A
6

• VETA (usu)

Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v jednej
strane a dvoch uhloch k nej prilahlých sú zhodné.
C
C
a
ß
a
ß
c
A
B
c
B
A
7
Desatinné císlo a zlomok
0,2 0,8 0,12 0,93
Desatinné císla lt1Desatinné císla gt1Desatinné
císla 1
1,4 2,5 18,1 20,0
1 1,0 1,00 1,000
Zlomky lt1Zlomky gt1Zlomky 1
citatel lt menovatel
citatel gt menovatel
citatel menovatel
8
Pomer
Zmenšenieklt1
Zväcšeniekgt1
9
k 2 3
Pocet dielov novejvelkosti
Pocet dielovpôvodnejvelkosti
10
Príklad na pomer
1.) Úsecku AB 24 cm zmente v pomere k 34
2.) Úsecku KL 35 cm zmente v pomere k 65
4 diely...pôvodná úsecka 24 cm
5 diely...pôvodná úsecka 35 cm
1 diely...24 4 6 cm
1 diely...35 5 7 cm
3 diely...nová úsecka 3.618 cm
6 diely...nová úsecka 6.742 cm
alebo
alebo
AB 18 cm
KL 42 cm
11
Podobnost geometr.útvarov
Vzor
Obraz
zväcšenie
Q
B
c5cm
r10cm
a3cm
p6cm
b4cm
C
A
R
P
q8cm
zmenšenie
Porovnávame strany
najdlhšiu (c) z ?ABC s najdlhšou (r) z ?PQR
strednú (b) z ?ABC so strednou (q) z ?PQR
najkratšiu (a) z ?ABC s najkratšou (p) z ?PQR
12
Každá strana musí byt rovnako krát zväcšená
(zmenšená).
k koeficient podobnosti
Podobnost je zväcšenie alebo zmenšenie.
Ak kgt1, potom ide o zväcšenie.Ak klt1, potom ide
o zmenšenie.Ak k1, potom ide o zhodnost.
13
Definícia Podobnosti trojuholníkov
B
B
c
Znak podobnosti
c
a
a
b
C
A
C
b
A
Dva trojuholníky sa podobné, ak majú rovnaký
pomer dlžok odpovedajúcich si strán a zhodné
odpovedajúce si uhly.
Znak zhodnosti
14

• VETA (sss)

Dva trojuholníky sú podobné, ak pomery dlžok
každých dvoch odpovedajúcich si strán sa rovnajú.
C
C
a
b
a
b
B
c
A
c
B
A
15
Príklad na vetu (sss)
P
T
15 cm
5 cm
3 cm
9 cm
S
U
4 cm
R
O
12 cm
Poznámka Koeficienty musia byt všetky tri
rovnaké. Ak by boli len dva rovnaké, tak by
trojuholníky neboli podobné.
16

• VETA (sus)

Každé dva trojuholníky, ktoré majú ten istý pomer
dlžok dvoch dvojíc odpovedajúcich si strán a
zhodujú sa v uhle nimi urcenom sú podobné.
C
C
b
b
a
B
c
A
a
c
B
A
17
X
Príklad na vetu (sus)
F
120
4 cm
2 cm
8 cm
E
D
Y
120
4 cm
Z
Poznámka Koeficienty musia byt obidva rovnaké a
uhly rovnaké. Inak by trojuholníky neboli podobné.
18

• VETA (uu)

Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch
vnútorných uhloch sú podobné.
C
C
a
ß
B
A
c
ß
a
c
B
A
19
U
Príklad na vetu (uu)
40
N
80
W
60
80
40
M
L
60
V
Poznámka Stací zistit dve dvojice uhlov. Ak sú
dve dvojice rovnaké, tak potom bude aj tretia
dvojica rovnaká. Pri tejto vete nevieme urcit
koeficient.
20
Príklady na podobnost trojuholníkov
1) Zistovanie, ci sú dané trojuholníky
podobné. 2) Zväcšovanie alebo zmenšovanie
trojuholníka daným koeficientom. 3) Slovné úlohy
na podobnost
21
Príklad 1
Zistite, ci trojuholník GHJ so stranami g16cm,
h24cm, j14cm je podobný s trojuholníkom MNO so
stranami m7cm, n8cm, o12cm.
najdlhšie strany
stredné strany
najkratšie strany
22
Príklad 2
Daný je trojuholník ABC, ktorého strany majú
dlžky a6cm, b4cm, c8cm. Vypocítajte dlžky
strán trojuholníka DEF, ktorý je podobný s
trojuholníkom ABC, ak koeficient podobnosti je
23
Príklad 3
Daný je trojuholník PQR, ktorého strany majú
dlžky p3cm, q4cm, r5cm. Vypocítajte dlžky
strán, obvod a obsah trojuholníka STU, ktorý je
podobný s trojuholníkom PQR, ak koeficient
podobnosti je k3.
24
Podobnost obvodov trojuholníkov
o obvod vzoru o obvod obrazu
Podobnost obsahov trojuholníkov
S obsah vzoru S obsah obrazu
25
Príklad 4
Strany trojuholníka ABC majú velkost 6 m, 7 m, 8
m. Akú velkost majú strany trojuholníka ABC
podobného s trojuholníkom ABC, ked obvod
trojuholníka ABC je 84 m.
26
Príklad 5
Vypocítajte obvod a obsah trojuholníka, ak
trojuholník vzniknutý zo stredných priecok tohto
trojuholníka ma obvod 13cm a obsah 10 cm2.
C
o 13 cm S 10 cm2
A
B
B
C
A
stredná priecka má polovicnú dlžku z protilahlej
strany
27
Príklad 6
Pod stromom stojí chlapec a pozoruje svoj tien a
tien stromu. Chlapec je vysoký 180 cm a jeho tien
má dlžku 1,5 m. Tien stromu má dlžku 4,5 m. Aký
vysoký je strom?
Podla vety (uu) sú trojuholníky podobné
x cm
180 cm
4,5 m
1,5 m
Strom je vysoký 5,4 m.
28
Príklad 7
Na obrázku je znázornený rybník a na jeho brehu
sú vyznacené dva body A, B, Vypocítajte
vzdialenost bodov A, B z údajov vyznacených na
obrázku.
Podla vety (uu) sú trojuholníky podobné
x
560 m
240 m
160 m
Vzdialenost medzi bodmi A, B je približne 373 m.
29
Príklad 8
Pozorovatel vidí dva komíny K1, K2 v rovnakom
zornom uhle a . Od komína K1 je vzdialený 90 m a
od komína K2 72 m. Komín K1 má výšku 45 m. Akú
výšku má komín K2?
K1
K2
45 m
x
90 m
72 m
Podla vety (uu) sú trojuholníky podobné
Komín K2 je vysoký 34 m.
30
Príklad 9
Rám obrazu je zhotovený z lišty širokej 6 cm.
Rozmery obrazu sú 74 cm a 57 cm. Sú vnútorné a
vonkajšie okraje rámu dva podobné obdlžniky?
57 cm
45 cm
62 cm
74 cm
Vnútorné a vonkajšie okraje rámu nie sú dva
podobné obdlžniky.
31
Príklad 10
Je štvorec so stranou dlhou 10 cm podobný so
štvorcom so stranou dlhou 17 cm ?
17 cm
10 cm
10 cm
10 cm
17 cm
17 cm
10 cm
17 cm
Geometrické útvary, ktoré sú dané jedným údajom
sú vždy podobné.
32
Podobné geometrické útvary sú každé dva
Rovnostranné trojuholníky
Pravidelné šestuholníky
Štvorce
Pravidelné n-uholníky
Pravidelné pätuholníky
Kruhy
33
TEST
Vyskúšajte si test sami, o každom tvrdení uvedte,
ci je pravdivé (A) alebo nepravdivé (N).

• Každé dva rovnostranné trojuholníky sú zhodné.
  (A-N)
• Ak sú dva trojuholníky zhodné, potom platia
  všetky vety o zhodnosti trojuholníkoch. (A-N)
• Každý zlomok, ktorý je väcší ako jedna, je väcší
  ako každé desatinné císlo, ktoré je menšie ako
  jedna. (A-N)
• Ak v pomere prvá císlica nie je väcšia ako druhá,
  potom ide o zmenšenie. (A-N)
• Každý pomer sa dá vyjadrit ako zlomok. (A-N)
• Koeficient podobnosti je vždy kladné císlo. (A-N)
• Ak sú dva trojuholníky podobné podla vety (uu),
  potom sa zhodujú vo všetkých troch uhloch a
  koeficient podobnosti nepoznáme. (A-N)
• Ak je trojuholník x-krát zmenšení, potom má aj
  x-krát menší obvod. (A-N)
• Žiadne dva obdlžniky nie sú podobné. (A-N)
• Každé dva 8-uholníky sú podobné. (A-N)

Odpovede
1)N
2)A
3)A
4)N
5)N
6)A
7)A
8)A
9)N
10)N.
34
Zväcšenie geometrických útvarov s koeficientom
k2 na štvorcovej sieti
Úloha Na milimetrovom papieri zrobte
str.60/cv.2 (farebne). Túto úlohu budem známkovat.
35
Toto je moderný spôsob vzdelávania
E-learning. Takto sa bude vzdelávat v blízkej
budúcnosti už aj na stredných školách. Už
nebudete musiet vidiet ucitelov ?. Alebo
ucitelov ? ???