The direct sampling multiple-points simulation method

1
The direct sampling multiple-points simulation
method
Grégoire Mariethoz, Stanford University
2
Limitations of traditional MPS

• The catalogue is defined for a specific template.
• Therefore it only contains a subset of all the
  patterns present in the TI.
• Multi-grids have to be used for characterizing
  different scales.
• The variable is categorical (not with patterns ).
• If not enough replica arbitrary dropping nodes.
• The size of the catalogue can be prohibitive
• Moreover, it is redundant with the TI.

?
vs
?
3
Training image Flaubert Bouvard et Pecuchet
(250 p.)
Example of stochastic text
CHAPITRE I Comme il faisait une chaleur de 33
degrés, le boulevard Bourdon se trouvait
absolument désert. Plus bas le canal
Saint-Martin, fermé par les deux écluses étalait
en ligne droite son eau couleur d'encre. Il y
avait au milieu, un bateau plein de bois, et sur
la berge deux rangs de barriques. Au delà du
canal, entre les maisons que séparent des
chantiers le grand ciel pur se découpait en
plaques d'outremer, et sous la réverbération du
soleil, les façades blanches, les toits
d'ardoises, les quais de granit éblouissaient.
Une rumeur confuse montait du loin dans
l'atmosphère tiède et tout semblait engourdi
par le désoeuvrement du dimanche et la tristesse
des jours d'été. Deux hommes parurent. L'un
venait de la Bastille, l'autre du Jardin des
Plantes. Le plus grand, vêtu de toile, marchait
le chapeau en arrière, le gilet déboutonné et sa
cravate à la main. Le plus petit, dont le corps
disparaissait dans une redingote marron, baissait
la tête sous une casquette à visière pointue.
Quand ils furent arrivés au milieu du boulevard,
ils s'assirent à la même minute, sur le même banc.
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Statistics at order 0

• All 256 ASCII characters in the text are counted
• Probability to get any of these characters is
  estimated
• P(e) 0.1355, P(b) 0.0098, P(z) 0.0011

5
Simulation at order 0
ine nla slnic mnnarué pnctl!r aLedevmtcalean e
e ,sv so ocurinalu sth tamsoa"selS àa lvn
ame-uu ocleti ox nene ab eèê a éb o sh tcie
er oof cse ti, p ienetlsyoe?tfluui'is "leag e un
lrti evs-apen, ssdisne in lui reNaé unn'apiioe am
numib cgiled-ar esel és' tl eem"utt oticéà rmes
os s n'u ua sgot.eut e- tthsnlsa.heiai e irsedsa
uier P,ouun tnsaèrvnuru nxeucsnsr e " ur eul
fue.anv pm!Aoasraéise ta 'tru'uaorlluonenm s
i.nb s i eeédas ènSlp uersbu iFreueuat umnr
fduehr e?uéulertnauar sdmspussedifée a
geoeugalsa h'quré.oea,omvuon yitSc dneole mef
ounB ea escnliin ,e.nl at t a it,iumcdulieelS!l
trl do. élmns d" "s h moxç sl-fda ivlo"
nnlosnelenlv e flcurrsrtiildooa eut rie li a
lhsatagenralnuat-,,éc uut emur' " l n-u éSl
rlsetaurit dot omo-aepsa Me rrsaoni!thsCsn-neasuae
etniotantd mbesad d t elx e u etmusouseé
nueurtiim t elemnsev ntoler,'tUeotés po ,è
enraeeiedegce è'toiudeoheu" ,tms.lre .eemfenha
lsuditstsdoshuv nen-fateaau s éli,ab iam vmien
siodB crdatfe lssi-rou ,ienAsc ihamtaQv
diecasllstuèod iissaîa o nbcsepopi"rnuiea
csueaea o d s non aruea ee 'u c, o ef
?ovaaeeneeeul siu aod uinneuirqnuescnsieetlaso
yuse oeeisu anva's' as rlc rdur st,iden cmy e uar
sPtarc de?e
6
Statistics at order 1

• The text can be used to analyze all the pairs of
  letters, and to define the probabilities to find
  any configuration such as
• P( aa ) , P( ab ), P( ac), etc.
• One can then compute conditional probabilities
• P( ab / a )
• And use it for a simulation algorithm

7
Simulation at order 1
e, pai couau acotsetablerons fande dan mes pls t
d'out aiongt délitit pt cournglchangerorèse
lenore. a de Uns !" s cuns jerbresuvelile s
Pécadetoût mba ? ye diranadouvette cuve les ns
p ses letes, à s pauts de. les Ilil'auin
seçaprrsavarércontes cona ns aimaile t Le
courine, lis, qu'étont s l eonux écèrge
danerdépora !. bau t quvouyan t, ca Kaye à ur
l'ares, " dentabourommabemaient ulavrole
panscyère, laie, paire, onde unce se Pévaniqug
det prespout oue ffan me dembiotentret
d'âchâchérd'A lébr mandes lentt
pâchentrengelencengus."me foi conoue. à Lale,
d'ont lache cyles pardenoitutot u l Engaui ent !
cèrçant chandis A iens Ill, sst de ? macheux
lens. he - - l Bonte m'ut ienet Il lurvan es, e
fenot des, poit merusybr encez auréteruces, a Bin
deneva inttirezau lanchitrane d'uvis un poir et
vailu"Ilt enisort - u'u soma pplon
plautaiqusulari chemarais de -- caie à De t,
VIntroutress pr. dalsitux ue à ait r, duaurile
etes re s argrésor ue lérs, dioun'alà jufraur
Potr phe à sa et Ila s me Voges!" voidétrr à !"
blis comalit !. - foiré à ! ? es pe
d'hesoucoucrens trouenéppans fre rgls, p cutra
mêts min e antu'oie aienfind'éeu dux fs me
Ahellu'itaiere aux lin. eunt chare pi Bon bi-t à
chou marus, ls. poût, qucoues dre Bes " bbbone,
dele
8
Simulation at order 3
la fermais un habins, -- "Elle bles on des
grancer son portir par lent tenaientage de
Providus piècles idéraite, soixant l'Arc donna de
tenant, une me qu'on coulagabols têtes bient
obtils reprent, à l'eau, cautre qu'à dontenir, il
ne de plus dévorige d'en relle peu pationale gra
une, et ils ils teris, contrages, criand ils se
dans un chez riculiacrit, ils foisent, ou
bibliquartituellemy soinspossemait que doit en
caché "trande. Mais autre, l'allaient. Pécuchel
hausaille gaux les peleurescent les
closophagonçait. Servire bation ne bandemer sur
puis ne marchéton, ils vait soupes. Marer, qui
offiniste... c'est qui pas d'inquinstra,
manchismes coeuvers. Cepensait pendie, était de
l'imposés jamair des type de plaient-Pierre de se
traire et le cel, chose. Le mons les caste
faire-joncevant l'éclarapuchet. -- et après des
descoton ! Bouvard "encomme ces avec son a purent
dans -- "Ils bais ce commanglour de les partir
enfuir, il lui amouche le bapt des repris
bonnaître des de lui vait avec sait un crit
fraînerais son bonde -- "Eh bien attre
livragage amoucher l'Espartire. Avec dence pas
troit sembrique d'un caloppela choses plaqui le
de pour avec découvaient lour en sédecin démois
se défautre besoir. L'Absouvard,
9
Simulation at order 7
MEMORY ERROR !!!
256 x 256 x 256 x 256 x 256 x 256 x 256
72058000000000000 possibilities (potentially)
Standard MP simulation codes have computational
problems in 3D with large number of geological
facies. They cannot handle continuous variables.
10
The Direct Sampling
Direct sampling of Training Image Use of a
distance between data event
11
Shannon (1948)
The samples were constructed by the use of a
book of random numbers in conjunction with a
table of letter frequencies. This method might
have been continued , since digram, trigram
and word frequency tables are available, but a
simpler equivalent method was used. one opens
a book at random and selects a letter at random
on the page. This letter is recorded. The book is
then opened to another page and one reads until
this letter is encountered. The succeeding letter
is then recorded. Turning to another page this
second letter is searched for and the succeeding
letter recorded, etc. . It would be
interesting if further approximations could be
constructed, but the labor involved becomes
enormous at the next stage.   Claude Elwood
Shannon, A Mathematical Theory of Communication,
1948
Direct sampling
12
Direct Sampling method

• In the context of sequential simulation, we are
  not interested in the probability of a data event
  to occur, - but only in one representative
  outcome of it.
• Instead of
• Building a ccdf from a data events catalogue.
• Sampling it.
• We directly sample the TI.

13
(No Transcript)
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Direct sampling Simulation at order 3
CHAPITRE I Comme il faisait une chaleur de 33
degrés, le boulevard Bourdon se trouvait
absolument désert. Plus bas le canal
Saint-Martin, fermé par les deux écluses étalait
en ligne droite son eau couleur d'encre. Il y
avait au milieu, un bateau plein de bois, et sur
la berge deux rangs de barriques. Au delà du
canal, entre les maisons que séparent des
chantiers le grand ciel pur se découpait en
plaques d'outremer, et sous la réverbération du
soleil, les façades blanches, les toits
d'ardoises, les quais de granit éblouissaient.
Une rumeur confuse montait du loin dans
l'atmosphère tiède et tout semblait engourdi
par le désoeuvrement du dimanche et la tristesse
des jours d'été. Deux hommes parurent. L'un
venait de la Bastille, l'autre du Jardin des
Plantes. Le plus grand, vêtu de toile, marchait
le chapeau en arrière, le gilet déboutonné et sa
cravate à la main. Le plus petit, dont le corps
disparaissait dans une redingote marron, baissait
la tête sous une casquette à visière pointue.
Quand ils furent arrivés au milieu du boulevard,
ils s'assirent à la même minute, sur le même banc.
pa
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Direct sampling Simulation at order 3
CHAPITRE I Comme il faisait une chaleur de 33
degrés, le boulevard Bourdon se trouvait
absolument désert. Plus bas le canal
Saint-Martin, fermé par les deux écluses étalait
en ligne droite son eau couleur d'encre. Il y
avait au milieu, un bateau plein de bois, et sur
la berge deux rangs de barriques. Au delà du
canal, entre les maisons que séparent des
chantiers le grand ciel pur se découpait en
plaques d'outremer, et sous la réverbération du
soleil, les façades blanches, les toits
d'ardoises, les quais de granit éblouissaient.
Une rumeur confuse montait du loin dans
l'atmosphère tiède et tout semblait engourdi
par le désoeuvrement du dimanche et la tristesse
des jours d'été. Deux hommes parurent. L'un
venait de la Bastille, l'autre du Jardin des
Plantes. Le plus grand, vêtu de toile, marchait
le chapeau en arrière, le gilet déboutonné et sa
cravate à la main. Le plus petit, dont le corps
disparaissait dans une redingote marron, baissait
la tête sous une casquette à visière pointue.
Quand ils furent arrivés au milieu du boulevard,
ils s'assirent à la même minute, sur le même banc.
pa
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Direct sampling Simulation at order 3
CHAPITRE I Comme il faisait une chaleur de 33
degrés, le boulevard Bourdon se trouvait
absolument désert. Plus bas le canal
Saint-Martin, fermé par les deux écluses étalait
en ligne droite son eau couleur d'encre. Il y
avait au milieu, un bateau plein de bois, et sur
la berge deux rangs de barriques. Au delà du
canal, entre les maisons que séparent des
chantiers le grand ciel pur se découpait en
plaques d'outremer, et sous la réverbération du
soleil, les façades blanches, les toits
d'ardoises, les quais de granit éblouissaient.
Une rumeur confuse montait du loin dans
l'atmosphère tiède et tout semblait engourdi
par le désoeuvrement du dimanche et la tristesse
des jours d'été. Deux hommes parurent. L'un
venait de la Bastille, l'autre du Jardin des
Plantes. Le plus grand, vêtu de toile, marchait
le chapeau en arrière, le gilet déboutonné et sa
cravate à la main. Le plus petit, dont le corps
disparaissait dans une redingote marron, baissait
la tête sous une casquette à visière pointue.
Quand ils furent arrivés au milieu du boulevard,
ils s'assirent à la même minute, sur le même banc.
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Direct sampling Simulation at order 3
CHAPITRE I Comme il faisait une chaleur de 33
degrés, le boulevard Bourdon se trouvait
absolument désert. Plus bas le canal
Saint-Martin, fermé par les deux écluses étalait
en ligne droite son eau couleur d'encre. Il y
avait au milieu, un bateau plein de bois, et sur
la berge deux rangs de barriques. Au delà du
canal, entre les maisons que séparent des
chantiers le grand ciel pur se découpait en
plaques d'outremer, et sous la réverbération du
soleil, les façades blanches, les toits
d'ardoises, les quais de granit éblouissaient.
Une rumeur confuse montait du loin dans
l'atmosphère tiède et tout semblait engourdi
par le désoeuvrement du dimanche et la tristesse
des jours d'été. Deux hommes parurent. L'un
venait de la Bastille, l'autre du Jardin des
Plantes. Le plus grand, vêtu de toile, marchait
le chapeau en arrière, le gilet déboutonné et sa
cravate à la main. Le plus petit, dont le corps
disparaissait dans une redingote marron, baissait
la tête sous une casquette à visière pointue.
Quand ils furent arrivés au milieu du boulevard,
ils s'assirent à la même minute, sur le même banc.
r
pa
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Direct sampling Simulation at order 3
CHAPITRE I Comme il faisait une chaleur de 33
degrés, le boulevard Bourdon se trouvait
absolument désert. Plus bas le canal
Saint-Martin, fermé par les deux écluses étalait
en ligne droite son eau couleur d'encre. Il y
avait au milieu, un bateau plein de bois, et sur
la berge deux rangs de barriques. Au delà du
canal, entre les maisons que séparent des
chantiers le grand ciel pur se découpait en
plaques d'outremer, et sous la réverbération du
soleil, les façades blanches, les toits
d'ardoises, les quais de granit éblouissaient.
Une rumeur confuse montait du loin dans
l'atmosphère tiède et tout semblait engourdi
par le désoeuvrement du dimanche et la tristesse
des jours d'été. Deux hommes parurent. L'un
venait de la Bastille, l'autre du Jardin des
Plantes. Le plus grand, vêtu de toile, marchait
le chapeau en arrière, le gilet déboutonné et sa
cravate à la main. Le plus petit, dont le corps
disparaissait dans une redingote marron, baissait
la tête sous une casquette à visière pointue.
Quand ils furent arrivés au milieu du boulevard,
ils s'assirent à la même minute, sur le même banc.
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CHAPITRE I Comme il faisait une chaleur de 33
degrés, le boulevard Bourdon se trouvait
absolument désert. Plus bas le canal
Saint-Martin, fermé par les deux écluses étalait
en ligne droite son eau couleur d'encre. Il y
avait au milieu, un bateau plein de bois, et sur
la berge deux rangs de barriques. Au delà du
canal, entre les maisons que séparent des
chantiers le grand ciel pur se découpait en
plaques d'outremer, et sous la réverbération du
soleil, les façades blanches, les toits
d'ardoises, les quais de granit éblouissaient.
Une rumeur confuse montait du loin dans
l'atmosphère tiède et tout semblait engourdi
par le désoeuvrement du dimanche et la tristesse
des jours d'été. Deux hommes parurent. L'un
venait de la Bastille, l'autre du Jardin des
Plantes. Le plus grand, vêtu de toile, marchait
le chapeau en arrière, le gilet déboutonné et sa
cravate à la main. Le plus petit, dont le corps
disparaissait dans une redingote marron, baissait
la tête sous une casquette à visière pointue.
Quand ils furent arrivés au milieu du boulevard,
ils s'assirent à la même minute, sur le même banc.
par
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CHAPITRE I Comme il faisait une chaleur de 33
degrés, le boulevard Bourdon se trouvait
absolument désert. Plus bas le canal
Saint-Martin, fermé par les deux écluses étalait
en ligne droite son eau couleur d'encre. Il y
avait au milieu, un bateau plein de bois, et sur
la berge deux rangs de barriques. Au delà du
canal, entre les maisons que séparent des
chantiers le grand ciel pur se découpait en
plaques d'outremer, et sous la réverbération du
soleil, les façades blanches, les toits
d'ardoises, les quais de granit éblouissaient.
Une rumeur confuse montait du loin dans
l'atmosphère tiède et tout semblait engourdi
par le désoeuvrement du dimanche et la tristesse
des jours d'été. Deux hommes parurent. L'un
venait de la Bastille, l'autre du Jardin des
Plantes. Le plus grand, vêtu de toile, marchait
le chapeau en arrière, le gilet déboutonné et sa
cravate à la main. Le plus petit, dont le corps
disparaissait dans une redingote marron, baissait
la tête sous une casquette à visière pointue.
Quand ils furent arrivés au milieu du boulevard,
ils s'assirent à la même minute, sur le même banc.
par
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CHAPITRE I Comme il faisait une chaleur de 33
degrés, le boulevard Bourdon se trouvait
absolument désert. Plus bas le canal
Saint-Martin, fermé par les deux écluses étalait
en ligne droite son eau couleur d'encre. Il y
avait au milieu, un bateau plein de bois, et sur
la berge deux rangs de barriques. Au delà du
canal, entre les maisons que séparent des
chantiers le grand ciel pur se découpait en
plaques d'outremer, et sous la réverbération du
soleil, les façades blanches, les toits
d'ardoises, les quais de granit éblouissaient.
Une rumeur confuse montait du loin dans
l'atmosphère tiède et tout semblait engourdi
par le désoeuvrement du dimanche et la tristesse
des jours d'été. Deux hommes parurent. L'un
venait de la Bastille, l'autre du Jardin des
Plantes. Le plus grand, vêtu de toile, marchait
le chapeau en arrière, le gilet déboutonné et sa
cravate à la main. Le plus petit, dont le corps
disparaissait dans une redingote marron, baissait
la tête sous une casquette à visière pointue.
Quand ils furent arrivés au milieu du boulevard,
ils s'assirent à la même minute, sur le même banc.
u
par
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CHAPITRE I Comme il faisait une chaleur de 33
degrés, le boulevard Bourdon se trouvait
absolument désert. Plus bas le canal
Saint-Martin, fermé par les deux écluses étalait
en ligne droite son eau couleur d'encre. Il y
avait au milieu, un bateau plein de bois, et sur
la berge deux rangs de barriques. Au delà du
canal, entre les maisons que séparent des
chantiers le grand ciel pur se découpait en
plaques d'outremer, et sous la réverbération du
soleil, les façades blanches, les toits
d'ardoises, les quais de granit éblouissaient.
Une rumeur confuse montait du loin dans
l'atmosphère tiède et tout semblait engourdi
par le désoeuvrement du dimanche et la tristesse
des jours d'été. Deux hommes parurent. L'un
venait de la Bastille, l'autre du Jardin des
Plantes. Le plus grand, vêtu de toile, marchait
le chapeau en arrière, le gilet déboutonné et sa
cravate à la main. Le plus petit, dont le corps
disparaissait dans une redingote marron, baissait
la tête sous une casquette à visière pointue.
Quand ils furent arrivés au milieu du boulevard,
ils s'assirent à la même minute, sur le même banc.
paru
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Direct sampling Simulation at order 3
CHAPITRE I Comme il faisait une chaleur de 33
degrés, le boulevard Bourdon se trouvait
absolument désert. Plus bas le canal
Saint-Martin, fermé par les deux écluses étalait
en ligne droite son eau couleur d'encre. Il y
avait au milieu, un bateau plein de bois, et sur
la berge deux rangs de barriques. Au delà du
canal, entre les maisons que séparent des
chantiers le grand ciel pur se découpait en
plaques d'outremer, et sous la réverbération du
soleil, les façades blanches, les toits
d'ardoises, les quais de granit éblouissaient.
Une rumeur confuse montait du loin dans
l'atmosphère tiède et tout semblait engourdi
par le désoeuvrement du dimanche et la tristesse
des jours d'été. Deux hommes parurent. L'un
venait de la Bastille, l'autre du Jardin des
Plantes. Le plus grand, vêtu de toile, marchait
le chapeau en arrière, le gilet déboutonné et sa
cravate à la main. Le plus petit, dont le corps
disparaissait dans une redingote marron, baissait
la tête sous une casquette à visière pointue.
Quand ils furent arrivés au milieu du boulevard,
ils s'assirent à la même minute, sur le même banc.
m
parum
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Direct sampling Simulation at order 3
CHAPITRE I Comme il faisait une chaleur de 33
degrés, le boulevard Bourdon se trouvait
absolument désert. Plus bas le canal
Saint-Martin, fermé par les deux écluses étalait
en ligne droite son eau couleur d'encre. Il y
avait au milieu, un bateau plein de bois, et sur
la berge deux rangs de barriques. Au delà du
canal, entre les maisons que séparent des
chantiers le grand ciel pur se découpait en
plaques d'outremer, et sous la réverbération du
soleil, les façades blanches, les toits
d'ardoises, les quais de granit éblouissaient.
Une rumeur confuse montait du loin dans
l'atmosphère tiède et tout semblait engourdi
par le désoeuvrement du dimanche et la tristesse
des jours d'été. Deux hommes parurent. L'un
venait de la Bastille, l'autre du Jardin des
Plantes. Le plus grand, vêtu de toile, marchait
le chapeau en arrière, le gilet déboutonné et sa
cravate à la main. Le plus petit, dont le corps
disparaissait dans une redingote marron, baissait
la tête sous une casquette à visière pointue.
Quand ils furent arrivés au milieu du boulevard,
ils s'assirent à la même minute, sur le même banc.
n
parumen
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Direct sampling Simulation at order 3
CHAPITRE I Comme il faisait une chaleur de 33
degrés, le boulevard Bourdon se trouvait
absolument désert. Plus bas le canal
Saint-Martin, fermé par les deux écluses étalait
en ligne droite son eau couleur d'encre. Il y
avait au milieu, un bateau plein de bois, et sur
la berge deux rangs de barriques. Au delà du
canal, entre les maisons que séparent des
chantiers le grand ciel pur se découpait en
plaques d'outremer, et sous la réverbération du
soleil, les façades blanches, les toits
d'ardoises, les quais de granit éblouissaient.
Une rumeur confuse montait du loin dans
l'atmosphère tiède et tout semblait engourdi
par le désoeuvrement du dimanche et la tristesse
des jours d'été. Deux hommes parurent. L'un
venait de la Bastille, l'autre du Jardin des
Plantes. Le plus grand, vêtu de toile, marchait
le chapeau en arrière, le gilet déboutonné et sa
cravate à la main. Le plus petit, dont le corps
disparaissait dans une redingote marron, baissait
la tête sous une casquette à visière pointue.
Quand ils furent arrivés au milieu du boulevard,
ils s'assirent à la même minute, sur le même banc.
parumen .
26
DS Simulation at order 13
ur toutes les affections et indique les pièces de
vers qu'il faut imaginer pour se reconnaître son
inférieur. L'abbé ripostait par la lettre du roi
Abgar, les Actes de Pilate et le témoignage de la
conscience, à la tradition des peuples, au besoin
d'un peu de champagne, dont les détritus
amèneraient d'autres ouvrages, Montgaillard,
Prudhomme, Gallois, Lacretelle, etc. et les
contradictions de ces livres ne valant pas une
observation pour Josué -- et quant aux Juges,
l'auteur nous prévient qu'à l'époque dont il fait
l'histoire, particulièrement la féculerie et un
nouveau genre de fromages. Pécuchet se mit à
réfléchir -- La fenêtre était ouverte, la nuit
tranquille. Enfin, avec les plus grandes
formaient au loin comme une falaise surplombant
la campagne. Puis le notaire tenant à son étude,
Foureau fut choisi -- un rustre, un crétin. Le
docteur s'en indigna. Fruit sec des concours, il
regrettait Mélie, et le pastel de la dame en robe
Louis XV, le gênait avec son décolletage. Il
l'enferma dans une armoire. Les vantaux en
étaient retenues ne sachant que dire. -- "C'est
infernal, une vie pareille j'aime mieux l'athée
qui blasphème que le sceptique qui ergote !" Puis
il les regarda d'un air de commandement, alla
"tirer de la boisson" et revint
27
For geological models
Simulation
Training image
neighborhood
Matches !
Copy the value
Doesnt match
Doesnt match
As soon as one good configuration is found, the
value at the central pixel is assigned to the
simulated node.
28
Definition of the data event

• Data event constituted of the n closest nodes.
  Adapts automatically with the density of informed
  grid nodes.

29
Interesting

• Because
• It is as fast as the standard method
• No need to store probabilities (very large
  training image with a large number of facies
  without any problem)

30
Distance between data events
Training image
Simulation
O
X
?
X
?
31
Distance between data events

• Distance
• DS algorithm consists in scanning the TI
• Until
• Or until max. number of iterations
• Then best data event found so far

32
Why is it interesting ?

• Can be extended to continuous variables
• Multivariate case

33
Continuous variable
34
Training image
200 x 200
35
Impact on flow and transport
Direct sampling
Classical geostatistics
Delta of the Lena river, Landsat (USGS/EROS)
36
Multivariate case
37
Multivariate
Data from P. Bayer (ETHZ)
38
Direct Sampling
Continuous variable
Any pattern
Multivariate
39
Conclusions

• DS Small conceptual difference in the algorithm,
  but large implications. Allows modeling aquifer
  heterogeneity for hydrogeological problems.
• Also opens new fields of applications
• Multivariate problems
• Remote sensing
• Time series analysis
• Anything involving the combination of different
  data types.