P

1
Pénzügyi modellek

• A képletek korlátai

2
Opcióárazás - Mi a modell célja

• Árazás? Nem igazán. Modellre épített árakból
  jelentos pozíciót vállalni elfogadhatatlan
  kockázatot jelent, mint azt láttuk az elmúlt húsz
  évben. Így az árak elsosorban a piacon alakulnak
  ki
• Elofordulhat, hogy olyan terméket akarunk árazni
  ami nem létezik pontosan a piacon, csak hasonlók.
  Ilyenkor jól jöhet a modell.
• Kockázatkezelés? Inkább. Ha pozíciót vállalunk,
  akkor szeretnénk tudni, hogyan kezeljük azokat a
  kockázatokat, amelyeket nem akarunk vállalni. Pl.
  csak a volatilitásról gondoljuk, hogy a piac
  félreárazza, akkor nem akarunk delta kockázatot
  futni
• Az arbitrázsmentes árazás fontos de csak akkor
  ha gyakorlatban kivitelezheto

3
Black Scholes model

• Black Scholes formula pénzügyi termékekre kiírt
  opciók árát adja meg
• Inputként a mögöttes termék árát, árának
  szórását, a lejáratig hátralévo idot és a
  kockázatmentes kamatot használja fel
• Feltételezi a mögöttes termék árának lognormális
  eloszlását, az árak folytonos mozgását (mindkét
  értelemben) és a piacokhoz való folyamatos
  hozzáférést
• A formula régen ismert, Black Scholes a
  levezetéssel elméleti igazolást akart adni
• A szükséges feltételekrol hamar kiderült, hogy
  nem állják meg a helyüket

4
Black Scholes a fedezés tükrében

• Detering és Packham megvizsgálta a következo
  kereskedési stratégiát DAX opciókat eladunk a
  piacon majd a Black Scholes alapján fedezzük
  (naponta újrasúlyozva az indexet)
• A stratégia pozitív várható értéku (implied
  rendszerint nagyobb mint a realizált) és a szórás
  is nagy. A veszteség az opció prémium 25-a 95
  konfidenciaszinten és 41-a 99
  konfidenciaszinten
• A fedezeti stratégia teljesítménye nem javul
  akkor sem, ha a delta számításakor figyelembe
  vesszük az az implied volatilitás változását
• Black Scholes modell szerint opciónként is
  muködnie kellene, de még statisztikailag sem
  muködik

5
Kockázat kezelés

• Ideális kockázatkezelés piaci elemekbol
  összállított statikus fedezés
• Példa extinguishing swap
• Ha több lehetoség van, akkor mindig érdemes a
  leglikvidebb eszközosztállyal fedezni
• Black Scholes modellben a fedezés csak az opció
  tárgyára irányul az ideális választás a forward
  használata, kiküszöböli a kamatkockázatot
• De mi történik ha a volatilitás változik? Ebben a
  modellben ezt nem tudjuk kezelni

6
Black Scholes a piacon

• A piaci opció árakat csak úgy lehet megkapni, ha
  a különbözo lehívási árakhoz különbözo
  volatilitást társítunk, vagyis a piac nem fogadja
  el a Black Scholes modellt csak azt állítja,
  hogy használja
• Az eloszlás nem esik egybe a tapasztalattal
  mint ahogy a piac 1987-ben megtanulta
• A folytonos fedezés nem lehetséges likviditási
  és információ eloszlási korlátok miatt
• Kereslet kínálat itt is létezik

7
Alternatív modellek

• Az alternatív modellek a Black Scholes modell
  megkötéseit próbálják enyhíteni
• Sztochasztikus szórás pl. Heston mean reverting
  szórás
• Lokális szórás szórás függ a az eszköz árától
• Mean reverting modellek elsosorban fx és kamat
  témakörben
• Multifaktor modellek kamat és kötvényopciók
  részére
• Egyéb eloszlások, pl. általános Lévy folyamatok,
  vagy Pareto eloszlás

8
Alternatív modellek értékelése

• Túl sok paraméter overfitting, alacsony
  szignifikncia a paraméterekre
• A paraméterek idoben nem stabilak, ráadásul a
  piaci mozgások intenzitása is befolyásolja oket
• A nem folytonos modellek eleve nem biztosítanak
  fedezési stratégiát
• Általában a modellek célszerszámok bizonyos
  problémákat jól oldanak meg, másokat egyáltalán
  nem
• A modellek fedezési teljestménye még mindig hagy
  kivánnívalót maga után

9
Piaci információ korlátok
10
Minimális modell hiba

• Definiáljuk a megengedett modellek halmazát
• Keressünk ezen egy eloszlást valamilyen jósági
  kritérium alapján (pl a piaci árakhoz való
  illeszkedés)
• Egy adott fedezési stratégia modellhibáját egy
  adott modellre ki tudjuk számítani
• Az egyes modellekhez tartozó modellhibákat
  átlagoljuk a fentebb definiált eloszlás szerint
  ez lesz a stratégiához tartozó modellhiba
• Azt ezt minimalizáló stratégia hibája lesz a
  minimális modellhiba
• Általában véve a modellbol adódik az adott
  modellhez tartozó optimális modell

11
Minimális modell hiba

• Ha a minimális modellhiba nulla, akkor az ezt
  eléro stratégia modell-független
• Ha a modell nem folytonos, akkor nem lehet
  fedezni
• Modell független statikus fedezési stratégiák a
  legjobbak
• Általában a jósági kritérium befolyásolja a
  modellhibát
• Carr-Madan alapján, ha létezik likvid opció
  minden strike-ra és lejáratra akkor lehet
  statikus modell független fedezést csinálni
• Ez persze nem így van, de ezt a tényt fel lehet
  használni optimális fedezési stratégiák
  kidolgozására

12
A stratégiához alkalmazkodó modellek megtalálása
a cél

• Általában épeszu trading stratégiában fontos a
  korlátlan kockázat elkerülése
• Ha nagy opciós portfoliónk van, kis gammával
  akkor alapvetoen a várható érték fontos számunkra
• Ha stratégiánk a volatilitás monetizálása
  (például hosszú opció fedezése a mögöttes termék
  segítségével), akkor a szórás modellezése a
  legfontosabb
• Ha a stratégia passzív opció vétel vagy eladás,
  akkor elsosorban eseményvalószínuségek korlátok
  közé szorítása
• Gyakran a korlátozó feltételek ha piaci
  információra épülnek akkor egyben a fedezeti
  stratégiát is megmutatják

13
Mi is az a CDO

• Egyszeruen fogalmazva egy speciális cég
• Eszközei kötvények, vagy hasonló hiteleszközök
• Forrásszerkezete hierarchikus és számos részbol
  áll
• A hierarchikus szerkezet miatt a különbözo
  források kockázata is különbözo

14
Teljes tokeszerkezet

• A teljes tokeszerkezet a klasszikus CDO, itt a
  források összege megegyezik az eszközök
  összegével
• Árazást a piac biztosítja, mivel a szervezo bank
  eladja az összes forrást
• Létjogosultságát a rating arbitrage adta,
  ugyanis a középso és felso részek a forrásban a
  ratinghez képest sokat fizetett
• Kockázatkezelésre a vevoknek van szüksége, de
  ezek általában lejáratig tartott eszközök voltak,
  így csak a veszteség valószínuségét próbálták
  megítélni

15
Szintetikus CDO

• A CDO-k rating arbitage-a legjobban a
  tokeszerkezet közepén muködik ezért ez volt a
  legjövedelmezobb része
• Lehetne-e csak ezt a részét csinálni az üzletnek?
• Hát persze! Csináljunk modellt, árazzuk be a
  középso részt a modell alapján és mehet!
  Arbitrage!
• De valahogy meg kellene oldani a kockázatkezelést
  is, erre is kellene egy modell! Ez a modell nem
  biztos, hogy ugyananaz a modell mint az
  árazáshoz, hiszen dinamikus fedezésre van szükség

16
Szintetikus CDO a piac

• Mivel a bankok számára a kereslet csak egyik
  irányban létezett, ezért féltek attól, hogy a
  paraméterek nem piackonformak
• Piaci szereplok ezért létrehoztak sztenderdizált
  indexekre épülo sztenderdizált forrásszeleteket
• Ezek együttesen lefedik a teljes tokeszerkezetet,
  de nem kellett együtt kereskedni velük
• Lehet árazásra és fedezésre is használni
• Bankok egymás között és ügyfelekkel is
  kereskedtek ezekkel

17
Sztenderd modell

• Credit modellezése csod bekövetkezik vagy nem.
• Megállási idovel modellezzük, idotol független
  túlélési suruség, ebbol következik hogy az
  exponenciális eloszlás logikus választás. Piac
  adja a kockázat semleges eloszlást
• Hogyan modellezzük az együttes eloszlást? A
  marginális eloszlást ismerjük, már csak egy
  copula függvényre van szükség, hogy
  összekovácsoljuk oket
• Sztenderd modell normál copula. Egy faktor, ami
  a piacot modellezi plusz független azonos
  eloszlású zaj
• Legnagyobb elony kevés paraméter becslésére van
  szükség és számítása könnyu

18
Sztenderd modell

• Input (elméletileg) az árazáshoz a túlélési
  valószínuségek és az ezek közötti összefüggések
  kellenek.
• Ha dinamikus fedezést akarunk, akkor valószínuleg
  modellezni akarjuk a valószínuségek változását is
• Output az adott forrásszelethez tartozó
  kamatfelár, valamint a fedezéshez tartozó
  mennyiségek.
• A sztenderd modellben az összefüggések
  leredukálódnak egy korreláció értékre, az egyes
  túlélési valószínuségek helyett pedig az átlagos
  érték szerepel

19
Problémák a sztenderd modellel

• Index és az index alkotóinak súlyozott átlaga nem
  ugyanaz. Átlag használata az egyes spreadek
  helyett. Bid-ask spread.
• Normál copula nem tud tail dependence-t
  modellezni.
• Általában véve nem feltétlenül van olyan
  korreláció, amely helyesen árazza az összes
  forásszeletet, nem feltétlenül egyértelmu a
  megoldás (-base correlation)
• Az indexszel való fedezés nem teszi lehetové a
  realizált korreláció monetizálását
• A modell nem számol azzal, hogy a maradványérték
  különbözo és szituációfüggo lehet
• A modell nem ad a Black Scholes modell
  levezetéséhez hasonló explicit algoritmust a
  fedezésre statisztikai modell

20
Piaci tapasztalatok

• Prémium a konvexitásért
• Nagy kitettség egyedi kockázatnak 2005 Ford and
  GM leminosítés
• Interakció a piac és a modell között a modell
  sikere az egész piacot elnyomta
• Korrelációs különbségek portfoliónként

21
Alternatív modellek

• Merton típusú strukturális modellek például
  Variance Gamma modellek
• Student és double t-copula lehetové teszi a tail
  dependence modellezését
• A sztochasztikus korrelációra épülo modellek
  jobban magyarázzák a korrelációs smile-t
• Marshall-Olkin copula megengedi az együttes
  csodöt pozitív valószínuséggel
• Igazi opciós modell nincs erre. Vasicek féle LHP
  közelítésre építve lehet összehozni valamit
  közvetlenül a veszteséget modellezve.

22
Összehasonlító eredmények a modellek között

• Gaussian és Student nagyon hasonló eredményekhez
  vezet
• Marshall Olkin lehetové teszi a vastagabb farok
  eloszlást és ennek megfeleloen a senior
  szeleteket magasabb felárral árazza
• A double t és sztochasztikus korreláció jobban
  illeszkedik a korreláció smile-ra, a double t a
  senior szeleteket a gauss és a Marshall Olkin
  között árazza
• A Variance Gamma modellek jól illeszkednek, de
  nem mondanak semmit a fedezésrol
• Egyik modell sem kezeli a az intenzitás
  volatilitását

23
Senior szelet tail dependence

• Ebben a szeletben a veszteség kis valószínuségu
  esemény
• A kiíró számára ez tipikusan statikus pozíció,
  legtöbbször pozitív bevétellel (hasonlít egy OTM
  opció kiírására)
• A modellezésnek figyelembe kell venni, hogy ha
  van veszteség, akkor valószínuleg szélsoséges
  helyzet következett be, és negatív események
  között sokkal nagyobb az összefüggés mint
  normális helyzetben
• Mivel az események idozítése sokkal kevésbé
  jelentos, mint az esemény bekövetkezése, ezért
  nyugodtan lehet az események elofordulására
  figyelni

24
Mezzanine szelet elotérben a volatilitás és
korreláció

• Mezzanine szelet sok szempontból az ATM opció
  párja a határon van, egy két csodesemény
  elofordulhat, több ne nagyon
• Ennek megfeleloen itt a legnagyobb a gamma,
  vagyis a pozíció fedezését itt kell leggyakrabban
  változtatni
• Ráadásul a korreláció változásának is itt van az
  inflexiós pontja
• Ezért bármilyen értelmes modellezésnek figyelembe
  kell venni a volatilitást
• A piaci faktor és az egyedi kockázatok
  volatilitását egyaránt

25
Equity tranche

• Csodesemény bekövetkezésének valószínusége nagy
• Az elofordulás idozítése nagyon fontos
• Sokat számít a kamatfelárak eloszlása a
  portfolión belül
• Potenciális nyereség és veszteség összemérheto
  egymással
• Legérzékenyebb piaci mozgásokra
• Általában fundamentális elemzésre van szükség a
  pozíció válalásához

26
Záró megjegyzések

• A pénzügyi piacokon a modellek funkciója az árak
  és fedezési stratégiák korlátok közé szorítása
• Explicit és modell független replikáció nélkül
  csak segédeszköze az üzletkötésnek
• Leghasznosabb funkciója a nem triviális
  összefüggésekre való rávilágítás illetve fedezési
  stratégiák megtalálása