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L addizione e la sottrazione nell'Insieme N dei numeri naturali Propriet Struttura in N Impareremo a Conoscere e comprendere il concetto di operazione ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: L


1
Laddizione e la sottrazione nell'Insieme N dei
numeri naturali
  • Proprietà
  • Struttura in N

2
Impareremo a
  • Conoscere e comprendere il concetto di operazione
    aritmetica
  • Conoscere e comprendere le operazioni di
    addizione e sottrazione
  • Conoscere e comprendere come esse sono
    strutturate nell'insieme N le loro proprietà, il
    "comportamento", gli elementi neutri
  • Lo 0 nelle due operazioni

3
Cos'è un'operazione aritmetica?
  • Eseguiamo una piccola operazione
  • 235
  • Abbiamo operato su due numeri, 2 e 3, con un
    certo procedimento che ci ha permesso di arrivare
    a un terzo numero, il 5.
  • Il procedimento in questo caso è indicato dal
    simbolo

4
  • Diciamo che
  • L'operazione aritmetica è un procedimento che ci
    permette di associare a due numeri dati in un
    certo ordine, un terzo numero che rispetti certe
    condizioni.
  • I due numeri dati si dicono termini
    dell'operazione, il numero a cui si perviene si
    dice risultato dell'operazione.

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Addizione in N
  • Operazione e termini
  • Procedimento
  • Definizione addizione
  • Operazione interna
  • Commutativa
  • Associativa
  • Dissociativa
  • Elemento neutro

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Operazione e suoi termini
  • Eseguiamo delle piccole addizioni considerando
    elementi appartenenti ad N, cioè numeri naturali
  • 10515 8816 527
  • addendi somma

7
Procedimento
  • Quale procedimento ci permette di ottenere le
    somme, cioè i risultati delle addizioni?
  • Si tratta di porsi, nel primo esempio, la
    domanda dal numero 10 come arriviamo al numero
    15?
  • Ma, dal 10 si arriva al 15 contando!
  • E precisamente dal numero 10 contiamo tante unità
    quante sono indicate dal secondo addendo, il
    numero 5.

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Definizione di addizione
  • Laddizione è dunque loperazione aritmetica che
    ci permette di associare due numeri detti addendi
    ad un terzo numero detto somma, al quale si
    arriva (o si perviene), contando successivamente
    al primo addendo tante unità quante sono le unità
    del secondo.

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Operazione interna
  • Eseguendo un'addizione con numeri naturali
    qualsiasi, notiamo che i risultati sono ancora
    dei numeri naturali, cioè elementi di N. In
    generale
  • " a, b ÎN abc c ÎN
  • Questo ci fa dire che l'addizione è unoperazione
    INTERNA ad N. Linsieme N è chiuso rispetto
    alladdizione. In un diagramma di Eulero-Venn

N
8 8 16 5 2 7
7 4 11
4 1 5
10 5 15
15 5 20
4 4 8
10
Le proprietà l'addizione è commutativa
  • 5611
  • 6511
  • In generale, il linguaggio degli insiemi ci aiuta
    nella sintesi,
  • " a, b ÎN ab ba

11
l'addizione è associativa
  • 45312associo il 4 con il 5(45) 3 9
    3 12
  • È la proprietà associativa
  • " a,b,c Î N abc (ab)c
  • a(bc)

12
Gode della proprietà dissociativa
  • 3 25 28
  • 3 20 5 28
  • ho dissociato l'addendo 25
  • Questa è la proprietà dissociativa
  • " a,b,c,d Î N ab a(cd)
  • con (cd)b

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Ha l'elemento neutro
  • 650 11 65 11
  • 8950 22 895 22
  • 1154023 25 115423 25
  • Noto che quando lo zero appare come addendo, non
    modifica il risultato delladdizione
  • Lo zero è perciò chiamato elemento neutro
    delladdizione

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La sottrazione
  • Procediamo come per laddizione
  • 10 8 2
  • minuendo sottraendo differenza (o resto)

15
Procedimento
  • Quale procedimento ci permette di ottenere le la
    differenza, cioè il risultato della sottrazione?
  • Dal numero 10 come arriviamo al numero 2?
  • Considera cè un legame tra addizione e
    sottrazione?
  • 10-82 2810 e anche
  • 10-28 8210
  • La sottrazione è loperazione inversa
    delladdizione e, come tale

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Definizione della sottrazione
  • Il numero 2 dunque è quel numero che sommato al
    numero 8 ci fa ottenere il 10!
  • Perciò
  • La sottrazione è loperazione aritmetica che ci
    permette di associare due numeri detti
    rispettivamente minuendo e sottraendo, ad un
    terzo numero, se esiste (in N), detto differenza
    o resto, che addizionato al sottraendo dia come
    risultato il minuendo.

17
Operazione interna?
  • Rappresentiamo loperazione di sottrazione con un
    diagramma di Eulero-Venn
  • Ci accorgiamo che non sempre è possibile eseguire
    loperazione restando in N.
  • La sottrazione non è unoperazione INTERNA ad N
    il risultato non sempre appartiene a N. Linsieme
    N non è chiuso rispetto alla sottrazione

N
8 8 0 5 2 3
?
10 15
7 4 3
?
3 7
15 5 10
18
Le proprietà la sottrazione non è commutativa
  • 9-63
  • 6-9?3
  • In generale
  • " a, b ÎN a-b ? b-a

19
Gode della proprietà invariantiva
  • Consideriamo la sottrazione
  • 12 7 5
  • Operiamo nel seguente modo
  • (122) (72) 14 9 5
  • E ancora
  • (12-4) (7-4) 8 3 5
  • Il risultato di una sottrazione non cambia se al
    minuendo e al sottraendo si somma o si sottrae
    uno stesso numero è la proprietà invariantiva

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Brevi considerazioni
  • Non possiamo dire che la sottrazione ha
    lelemento neutro poiché anche se
  • 5-05
  • Essendo falso 0-55
  • lo zero non può considerarsi elemento neutro.
  • La sottrazione, come anche le altre operazioni
    inverse, poiché operazione non interna
    allinsieme N, ci pone di fronte allesigenza
    dellampliamento di N, ci porta a conoscere nuovi
    insiemi numerici!

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E ancora
  • In generale sulle operazioni
  • Le proprietà delle operazioni sono importanti, ai
    fini del nostro studio, per il calcolo.
    Opportunamente utilizzate ci permettono i calcoli
    rapidi.
  • Per le operazioni esaminate abbiamo considerato
    in questa presentazione le caratteristiche più
    generali.
  • Di particolare interesse è
  • losservazione delle tabelle relative alle due
    operazioni in cui possiamo riconoscere le
    proprietà o notare che laspetto stesso delle
    tabelle è determinato dalle proprietà delle
    operazioni.
  • Per lo studio delle altre due operazioni
    fondamentali, moltiplicazione e divisione, si può
    procedere attraverso le stesse considerazioni ...
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