Capital budgeting and Value at Risk: un commento critico

1
Capital budgeting and Value at Risk un commento
critico

• F. Cetta
• Istituto Italiano degli Attuari
• 6 giugno 2002

2
1. Rischio operativo

• Intervento del Comitato di Basilea (2001)
• Rischio associato a possibili perdite
  derivanti da inefficienti procedure interne di
  monitoraggio e controllo nella gestione del
  portafoglio.
• Nel sistema bancario internazionale
• - rischio di credito
  (50)
• - rischio di mercato
  (15)
• - rischio operativo
  (35)

3
2. Asset allocation risk budgeting

• Organizzazione di un corretto mapping delle
  posizioni aperte sulle singole business units.
• Individuazione dei fattori di rischio
  ponderazione dei fattori.
• Calibratura degli asset con diversi coefficienti
  di rischio.
• Profilo di rischio del portafoglio attraverso
  parametri di volatilità.
• Matching tra i risultati di gestione e la stima
  della potenziale perdita analisi di sensibilità
  dei cash-flow.

4
3. VAR (Value at Risk)

• Risk Metrics J.P. Morgan (1995)
• VAR perdita attesa (potenziale) indotta da
  movimenti avversi del mercato (market risk) su
  posizioni aperte.
• Fissato il periodo di gestione (holding period)
  h
• ? P L gt VAR
• 1 - ? livello di confidenza
• ? 5 cutoff 1,645 ? (distribuzione
  normale)

5

• Analisi della volatilità giornaliera
• ?2h,g ?2gh ? ?h,g ?g ?h
• Livello di rischio sistematico
• VAR ?2 ?2(Rm)1/2 k ?h
• k cutoff nella distribuzione normale
• Hp portafoglio composto da due asset
• E( ?V) X1?1 X2 ?2
• ?2(?V) X12 ? 12 X22 ? 22 2X1X2?12
  ?1?2
• VAR - E( ?V) - 1,645 ? (
  ?V)

6

• Hp portafoglio composto da n asset
• w aliquota dimpiego
• ? matrice delle varianze-covarianze
• k coefficiente di cutoff
• h holding period
• VAR ( wT ? w)1/2 k ?h
• Livello di rischio sistematico
• VAR ?p2 ?2(Rm)1/2 k ?h

7
4. EVT (Extreme Value Theory)

• Analisi delle perdite aleatorie mark-to-market
  connesse ad eventi di bassa frequenza.
• Applicazioni in ingegneria idraulica ed in
  climatologia.
• Connessioni con la teoria dellaffidabilità dei
  sistemi e la Teoria del Rischio.
• In ambiente finanziario è considerato un
  approccio embrionale del risk-management
  P.Embrechts (2000), F.Longin (1997).
• Modelli peaks-over threshold (POT) basati sulla
  distribuzione di Pareto generalizzata.

8
5. Analisi EVT VAR

• X perdita aleatoria mark-to-market
• F(x) funzione di ripartizione
• X - u eccesso di perdita rispetto al treshold
  (u)
• F(xXgtu) f.d.r. condizionata probabilità che
  leccesso di perdita (X-u) sia minore di
  (x), dato che la perdita superi (u).
• 1- F(xXgtu) probabilità condizionata che
  leccesso di perdita (X-u) sia maggiore di (x).

9

• Posizione asintotica
• lim F(xXgtu)
• u??
• Convergenza alla distribuzione di Pareto
  generalizzata
• 1 - 1 ?
  x/?-(1/?) ? ?0
• G(x)
• 1 - e-(x/?)
  ? 0

10

• ? parametro di inclinazione delle code
• ? parametro di scala
• Prima osservazione strutturale
• Se ? gt 0 otteniamo la ordinaria
  distribuzione di Pareto (stima delle perdite
  rilevanti nelle applicazioni assicurative)
• Se ? 0 ricaviamo la distribuzione
  esponenziale
• negativa
• Se ? lt 0 ricaviamo la distribuzione di
  Pareto del
• 2 tipo

11

• Seconda osservazione strutturale
• Sia ? gt 0. Approssimazione
• PX u gt xX gt u ? 1 - G(x) 1
  ?(x/?)-(1/?)
• PX-u gt x PX gt uP X u gt xX gt u ?
• ? PX gt u 1 ?(x/?)-(1/?)

12

• Enunciato la distribuzione generalizzata di
  Pareto
• fornisce
  unapprossimazione del VAR
• PX-u gt x PX gt xu
  xu VAR
• ? PX gt VAR PX gt xu
• PX gt u 1 ?(x/?)-(1/?)
• PX gt u ?1 ??(VAR
  u)/??-(1/?)

13

• Stima del VAR attraverso EVT
• VAR u ( ?/?) ?/P(Xgtu)-? -1
  

14
Bibliografia

• N.D.Pearson (2002) Risk Budgeting, J. Wiley
• M.G.Cruz (2002) Modeling, measuring and hedging
  operational risk, J. Wiley
• P.Embrechts (2000) Extremes and Integrated Risk
  Management, Risk Publication, Londra
• F.Longin (1997) From VAR to stress testing the
  Extreme Value approach, Ceressec working paper