S

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SócioepistemologiaNota sobre a Construção
Social do Conhecimento Matemático Avançado

• Dr. Ricardo Cantoral Uriza
• Departamento de Matemática Educativa Cinvestav
  IPN
• Centro de Investigación en Matemática Educativa
  Cimate UAG
• Miembro regular de la
• Academia Mexicana de Ciencias
• Sistema Nacional de Investigadores, Nivel II

2
La sensibilité à la contradiction...Recherches
en Didactiques des Mathématiques

• SOCIOÉPISTÉMOLOGIE Approche théorique systémique
  qui permet de traiter les phénomènes de
  production et de diffusion de la connaissance à
  partir dune perspective multiple, en incorporant
  létude des interactions entre lépistémologie de
  la connaissance, sa dimension socioculturelle,
  les procédés cognitifs associés et les mécanismes
  dinstitutionnalisation via lenseignement.
  (Cantoral, Farfán, 2003).

3
The Teaching and Learning of Mathematics at
University Level Kluwer Acadmic Publishers, 2001

• The history ... has also been looked at from a
  socioepistemological perspective by research
  group ... at Cinvestav in Mexico... starts with
  the assumption that the present structure of
  theoretical mathematical discourse in analysis
  obscures the essential emprirical sources of the
  development of the field... Thus, looking at
  historical development provides alternative ways
  to introduce and develop knowledge in the field.

4
Kluwer Acadmic Publishers, 2001

• This is especially necessary if one has in mind
  not the training of future mathematicians but the
  training of scentific students and engineers.
  Such a perspective has been used by Cinvestav in
  order to study the learning and teaching of
  variation, from high school to studies in
  advanced analysis of the way variation is dealt
  with in different professional and social
  contexts, the cognitive analysis of learning
  processes, and didactic engineering designs (see
  Cantoral, Farfán, 1998) In Robert, p. 285.

5
Albert Einstein, 1940

• Todos os impérios do futuro virão a ser impérios
  do conhecimento, e somente terão êxito os povos
  que entendam como gerar conhecimento e como
  protegê-los, como buscar os jovens que tenham a
  capacidade para fazê-lo e assegurar que estes
  fiquem no país.

6
Albert Einstein, 1940

• Os outros países litorâneos bonitos com igrejas,
  minas, com uma história fantástica pois
  provavelmente não ficarão com as mesmas
  bandeiras, nem com as mesma fronteiras, nem tão
  pouco êxito econômico.

7
En el siglo XXI

• Nos encontramos en una sociedad que depende cada
  vez más de sus avances científicos y
  tecnológicos.
• Lo nuevo de la evolución reciente de la
  modernidad es que, cada vez más, la ciencia y
  particularmente la tecnología afectan la vida
  cotidiana.

8
En el siglo XXI

• Esta influencia es observable en la creciente
  demanda de conocimiento científico y tecnológico
  para tomar decisiones comunes, ya sean
  individuales, como dietas alimenticias que
  afectan la presión arterial, la diabetes, o
  sociales, como la de optar por fuentes de energía
  más limpias que las tradicionales basadas en
  combustión de petróleo.

9
En el siglo XXI

• La ciencia y la tecnología han dejado de ser
  parte del discurso de unos pocos académicos para
  formar parte de la canasta básica del ciudadano
  de a pie, de hecho, para interpretar las noticias
  diarias se requiere de un conocimiento mínimo en
  matemáticas ciencia y tecnología.

10
Sociedades del conocimiento

• La del futuro será una sociedad del conocimiento.
  Éste será el recurso clave en el desarrollo de
  las personas, y los trabajadores del conocimiento
  serán fuerza dominante. Aunque la escuela ha
  dejado de ser el canal único mediante el cual se
  entra en contacto con el conocimiento

11
Se estima que...

• la educación en general, pero la educación básica
  y media en particular, dejarán de estructurarse
  en torno de materias tradicionales para hacerlo
  en función de temas, asuntos, problemáticas o
  competencias
• Se busca que el alumno sea capaz de aprender a
  aprender, a hacer, a ser, a participar...

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Que motivo tais mudanças?
Natureza social do estudante Se passou da
... para ...

• concepção biológica universal dos seres humanos

• concepção de singularidade psicológica e genética
  (ADN)

13
Natureza social do estudante

• Del coeficiente intelectual (IQ), que caracteriza
  al nivel de inteligencia

• A la inteligencia que progresa en varias
  dimensiones, que además se modifica y se expande

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Acumulación del progreso

• Currículo estandarizado
• Secuencia óptima de aprendizaje

• Atención a la heterogeneidad
• Los ritmos y las secuencias de aprendizaje varían

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En el año 2010, se liberalizan las profesiones
básicas

• Un ingeniero formado en los EUA o en Canadá,
  puede trabajar en México
• Un ingeniero formado en México puede trabajar en
  EUA o en Canadá
• Cuál será la dirección del flujo preferencial y
  mayoritario y hacia qué clase de empleos?

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La educación, pasa de ser ... a

• Un asunto de competencia comercial
• pero sobre todo, se vuelve hoy día
• Un asunto de Seguridad Nacional

• Un concepto teórico del interés exclusivo de los
  académicos
• El valor agregado en la producción
• Una promesa de mecanismo ideal para la promoción
  social

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Profesiones contenidas, TLC

• Actuarios
• Agrónomos
• Contadores
• Enfermeiras
• Farmacéuticos
• Advogados

• Ingenheiros
• Arquitetos
• Odontólogos
• Psicólogos
• Médicos
• Veterinarios

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Número de alumnos por nivel educativo en 1986 y
en 1996

• Educación Básica 21,685,100 en 1986
• 22,480,700 en 1996
• 24,599,000 en 2006
• Educación Media 1,941,900 en 1986
• 2,438,700 en 1996
• 3,600,000 en 2006
• Educación Superior1,157,600 en 1986
• 1,522,000 en 1996
• 2,600,000 en 2006

19
Matrícula por nível
20
Desertação ou expulsão?
Cuánto es la mitad de ½?
Cuánto es 20?
Cuánto vale el lím (11/n)n? n??
21
Sistemas y Subsistemas

• Sistema didáctico

Sistema de enseñanza
22
Sistema educativo
23
Questões ausentes na aprendizagem

• Como aprendem as pessoas? da onde?
• Como podíamos aprender a analisar seus processos
  de aprendizagem? a onde?
• Como atender á diversidade social e cultural dos
  estudantes e os sistemas educativos?

24
Conhecimento matemático

• Teórico CMT
• Escolar CME
• Funcional CMF

CMT
TD
CME
CMF
PT
25
CMT Somas com decimais

• 22,5 ? 37 ? 41,5 ? 101 pues
• (2 ? 101 ? 2 ? 100 ? 5 ? 10?1) ? (3 ? 101 ? 7 ?
  100 ? 0 ? 10?1) ? (4 ? 101 ? 1 ? 100 ? 5 ? 10?1)
  ? (2 ? 3 ? 4) ? 101 ? (2 ? 7 ? 1) ? 100 ? (5 ? 0
  ? 5) ? 10?1 ? (9 ? 101) ? (10 ? 100) ? (10 ?
  10?1) ? (9 ? 101) ? (1 ? 101) ? (1 ? 100) ? (9 ?
  1 ) ? 101 ? (1 ? 100) ? 10 ? 101 ? 1 ? 100 ? 100
  1 ? 101

26
CME Somas com decimais

• Pedro vai á papelaria a comprar três cadernos, um
  de desenho e outro de matemática e música, cujo
  os preços são 22,50 37,00 e 41,50

27
CME Somas com decimais

• Quanto deve pagar por sua compra?

11
11
22,50 37,00 41,50
101.00
101.00
101.00
101.00
101,00
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CMF Sumas con decimales

• Se comercian productos cuyos precios 22 pesos con
  50 centavos, 37 pesos y 41 pesos con 50 centavos,
  Cuánto debo pagar por los tres?
• 22 37 es casi 22 38 60 (es 60 1)
• 60 menos 1 40 más 1 es 60 40 100
• 50 50 centavos es 1 peso
• la suma es entonces 101 pesos

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Construa o gráfico de yx2

• Procedimiento usual
• Tabular Puntear Trazar
• (? 2) 2 ? 4
• (? 1) 2 ? 1
• 0 2 ? 0
• 1 2 ? 1
• 2 2 ? 4

? 2 4
? 1 1
0 0
1 1
2 4
30
Puntear
? 2 4
? 1 1
0 0
1 1
2 4
31
A los mismos estudiantes

• Se les propuso bosquejar la gráfica, pero
  partiendo de otra tabla de valores

? 2 4
1 1
? 1 1
2 4
0 0
32
Producen este dibujo
? 2 4
1 1
? 1 1
2 4
0 0
33
Presentação escolar da equação de uma reta
(y 3) (x 2)
(x, y)

(3 1) (2 0)
(2, 3)
2y 6 2x 4 2y 2x 2 y x 1
(0, 1)
34
Pendência e o teorema de Thales
C
D

lt
gt
D
B
E
A
E
35
Un ejemplo de enseñanzaP a r a d i g m
a sdel cálculo diferencial

• Enfoque algorítmico
• Enfoque formal
• Enfoque axiomático

36
Relaciones entre variables

• Este enfoque se caracteriza por su centración en
  las variables y sus relaciones sus
  representantes principales son los libros de
  texto de principios del siglo XX. Como el libro
  de W. A. Granville,
• Los conceptos función, límite, continuidad,
  derivada, integral, se estructuran sobre la
  idea paramatemática de variable

37
Relaciones entre funciones

• Este enfoque se caracteriza por su centración en
  las funciones y sus relaciones sus
  representantes principales son los libros como el
  de M. Spivak
• Los conceptos función, límite, continuidad,
  derivada, integral, se estructuran sobre la
  idea matemática de función real de variable real

38
Relaciones entre estructuras

• Este enfoque se caracteriza por su centración en
  las estructuras numéricas sus representantes
  principales son los textos como el de K.
  Kuratowsky
• Los conceptos función, límite, continuidad,
  derivada, integral, se estructuran sobre la idea
  de estructura metamatemática de número real

39
Derivada de uma função Resposta de um docente
y f (x)
y f (x)
40
Um exemplo de gestão de classe

• Problema Seja V ax2ay2-2az2 o potencial
  elétrico com a constante. Encontra o campo
  elétrico e o valor de a para que o Trabalho W de
  levar uma carga q2?C do ponto (0,0,2) ao ponto
  (0,0,0) seja de 5?105J.
• Professor Qual é o Trabalho?
• Estudante W?F?D
• P Pois, ... não é um produto vetorial...
• E Então W ?F ? D

41
Um exemplo de gestão de classe

• P Pois o D... é grande?, recordar que é uma
  integral
• E Ah, sim!, W ?F ? d
• P Pois se necessita o diferencial de longitude,
  não?
• E Sim claro!, W?F ? d dl
• P Tiralo... uma d e usa vectores
• E W ?F ? dl
• R. Pulido

42
Onde ela é positiva ?(x)?
43
Onde ela é positiva ??(x)?
44
Onde ela é positiva ???(x)?
45
Onde ela é positiva ????(x)?
?
46
Linguaje e discurso escolar

• Posição
• Velocidade
• Aceleração
• ?

• Ordenada
• Pendência
• Concavidade
• ?

• f (x)
• f? (x)
• f? (x)
• f?? (x)

Quente frio morno / Grande - pequeno, ...
médio Bom - mau, ... regular / Longe perto, ...
mais ou menos
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R e l m e20Reunión Latinoamericana de
Matemática EducativaCamaguey, Cuba
48
Newton, 1676
49
Em onde ha mais polvos?, encima ou embaixo
50
Qual o caminho mais curto?
51
Representação dos câmbios
52
O quê ? E como desloca?
53
Qual é a diferença?
54
Qual é a diferença?
55
Qual é a diferença?
56
CAS, visualização
57
Dispositivo experimentalCinvestav IPN
58
Língua natural e ícones
59
Trajetória e ícones
60
Trajetória das coordenadas
61
Segundos de demora nas vértices da posição do
móvel
62
Gráfica com elemento icónico para expressar dar
a volta
63
Modelo trajetória-numérico
64
Produção final
65
Dr. Ricardo Cantoral UrizaCentro de
Investigación en Matemática Educativa
UAGrcantor_at_cinvestav.mx

• www.clame.org.mx
• www.matedu.cinvestav.mx/rcantoral.html