Determina

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Determinação das características geométricas de
superfícies planas
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Apresentação da aula

1. Introdução
2. Baricentros e centróides
3. Momentos de primeira ordem ou momentos estáticos
4. Momentos de segunda ordem ou momentos de inércia
5. Produtos de inércia
6. Translação de eixos
7. Rotação de eixos
8. Momentos e eixos principais de inércia
9. Exemplos numéricos

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1. INTRODUÇÃO

• disciplinas Resistência dos Materiais e Análise
  de Estruturas
• cálculo de esforços internos e externos
  resultantes de ações aplicadas nas estruturas
• deslocamentos e tensões
• características geométricas das superfícies
  planas formadas pelas seções transversais das
  barras

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Viga em balanço Análise de Estruturas equaciona
o problema de determinação da flecha f na
extremidade da barra   função proporcional à
ação P aplicada e ao comprimento da peça L e
inversamente proporcional à capacidade de
deformação do material (representada pelo módulo
de elasticidade E) e também ao denominado Momento
de Inércia I, uma característica geométrica da
seção transversal 
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Baricentros e centróides

• Superfície de espessura constante
• Peso total P, dividida em n elementos , de pesos
  individuais ?P
• O peso total P da superfície, conforme se sabe, é
  dado por
• sendo que, no limite

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Para determinar as coordenadas do ponto de
aplicação da resultante P, denominado Baricentro
ou Centro de Gravidade da superfície, basta
escrever somatórios de momentos dos pesos em
relação aos eixos , ou sejam Levando tais
expressões ao limite, tem-se Analogamente às
considerações feitas para o Peso P,
tem-se     onde as coordenadas , denominadas
Centróide ou Centro Geométrico da superfície A,
neste caso particular, coincidem com as do
Baricentro.
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• Momentos de primeira ordem ou momentos estáticos
• As integrais pertinentes ao cálculo das
  coordenadas do Centróide recebem o nome de
  Momentos de Primeira Ordem em relação aos eixos y
  e x, respectivamente, cuja notação é expressa
  por
•  
•  
• Cabe ressaltar que tais integrais podem ser
  entendidas, por analogia aos momentos dos pesos,
  como momentos das áreas em relação aos eixos
  coordenados, motivo pelo qual são denominadas
  Momentos Estáticos.

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• VARIAÇÃO DE SINAIS DOS MOMENTOS ESTÁTICOS
• Dependendo da posição do eixo escolhido, o
  resultado numérico do Momento Estático pode
  apresentar sinais distintos ou mesmo se anular,
  conforme pode ser observado no exemplo da figura.
  

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• Momentos de segunda ordem ou momentos de inércia
• De modo análogo aos Momentos de Primeira Ordem,
  cujas expressões contêm funções x e y, as
  integrais do tipo abaixo são denominadas Momentos
  de Segunda Ordem ou Momentos Inércia em relação
  aos eixos x e y respectivamente, em notação dada
  por
• Nestas integrais, a exemplo do cálculo de áreas,
  nota-se que é um problema de integração dupla.
  Para calculá-las, basta ter em conta a definição
  de integral dupla de uma função qualquer no
  domínio A localizado entre duas curvas,
  conforme mostra a figura seguinte

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• FÓRMULA PARA CÁLCULO DE INTEGRAL DUPLA

 

 
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Efetuando-se o cálculo do momento de inércia de
um retângulo em relação à sua base, localizada no
eixo x, conforme mostra a figura  
onde       Para calcular, basta ter em
conta a definição de integral dupla de uma função
qualquer no domínio A localizado entre duas
curvas. De maneira análoga, para o eixo y
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Produtos de inércia Outra característica
geométrica de importância para utilização nos
itens que se seguem, denomina-se Produto de
Inércia, definido pela integral dada por     A
exemplo dos momentos estáticos, é fácil verificar
que seu resultado apresenta variação de sinais,
conforme mostra a figura, dependendo da posição
que a área se encontrar em relação aos eixos
(x,y).
(x,y)
(-x,y)
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Para exemplificar, calcula-se a seguir o Produto
de Inércia do retângulo da figura,
aproveitando-se os parâmetros utilizados para o
cálculo de Ix. Nesse caso basta substituir a
função na fórmula de integração dupla, ou
seja   Para outra posição de eixos
coordenados passando pelo Centróide, é fácil
verificar que o resultado de Ixy é zero, face à
simetria e ao produto dos sinais indicados nos
respectivos quadrantes.
 
14
Translação de eixos Demonstra-se que é possível
estabelecer uma relação entre Momentos de Inércia
localizados em relação aos eixos passando pelo
Centróide e eixos paralelos quaisquer conforme
ilustra a firura, por meio do denominado Teorema
dos Eixos Paralelos (Teorema de Steiner),
conforme a seguir se expõe. O Momento de
Inércia da superfície, referido ao eixo x, é
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Conhecendo-se as coordenadas (xc , yc ) do
baricentro da área, e havendo interesse em obter
o Momento de Inércia relativo a novo eixo x
paralelo a x passando por C, basta ter em conta
que Substituindo tal relação na expressão de
Ix obtém-se     Desenvolvendo o termo elevado
ao quadrado e retirando das integrais as
constantes pertinentes tem-se ou ainda, à
vista que o momento estático em relação ao
Centróide é nulo, resulta ou
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Analogamente, para o eixo y     Nos dois
casos, conhecendo-se os Momentos de Inércia em
relação ao Centróide, o valor do Momento de
Inércia em relação a qualquer eixo paralelo pode
ser obtido adicionando-se uma parcela
correspondente ao produto da área pelo quadrado
da distância transladada ou vice
versa. Procedimento idêntico pode ser
realizado para o Produto de Inércia em relação a
novos eixos paralelos escrevendo ou
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Rotação de eixos Completando o estudo, passa-se
à determinação das características geométricas em
relação a novos eixos localizados na mesma origem
e girados de um ângulo qualquer. Observe-se que,
embora de caráter geral, em aplicações práticas
interessa providenciar a rotação ao redor dos
eixos ( x , y ) localizados no Centróide. Por
esse motivo, estabeleceu-se para a redação das
fórmulas deste item, a convenção ilustrada na
figura, onde estão indicadas fórmulas para
rotação das coordenadas.
 
 
18
Assim sendo, para obter Iu, Iv e Iuv como
funções de Ix, Iy e Ixy é o bastante
substituir as novas coordenadas ( u , v ) nas
expressões das características geométricas
relativas a esses eixos, ou sejam Após
algumas manipulações algébricas, obtêm-se as
seguintes fórmulas mais concisas
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Momentos e eixos principais de inércia Tendo
em vista que os Momentos de Inércia Iu e Iv
estão relacionados a Ix e Iy apenas como
funções do ângulo ?, é possível determinar seus
valores extremos, bastando para tanto derivar
tais expressões, igualando-as a zero, providência
que conduz a     A solução dessa equação tem
como resultado dois valores de ? defasados de 90o
, que definem outro par de eixos denominados
Eixos Principais de Inércia, indicados por ( 1 ,
2 ) , nos quais os Momentos de Inércia são
extremos, e denominados Momentos Principais de
Inércia, em notação expressa por
20
5. Esforços solicitantes em estruturas planas
isostáticas 5.1- Definição e convenção de sinais
Definição Em uma estrutura em
equilíbrio, os esforços solicitantes em uma seção
transversal genérica são as forças que
equilibram as ações externas que atuam à esquerda
ou à direita desta seção. Os esforços
solicitantes formam pares (ação e reação entre
corpos) de mesma direção e intensidade, porém de
sentidos contrários, nas duas seções transversais.
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Estas forças atuantes na seção transversal podem
ser reduzidas a uma força resultante aplicada em
um ponto (centro de gravidade da seção) e a um
momento (binário) resultante. Para facilitar
os cálculos destes esforços solicitantes,
obtêm-se as componentes destas resultantes nas
direções do eixo longitudinal e dos eixos
ortogonais a este, que contêm a seção transversal
da barra.
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N - força normal ou axial V
- força cortante M - momento
fletor T - momento torçor As
componentes destas forças, considerando-se
estrutura plana e carregamento contidos no plano
xy, são os esforços solicitantes esforço axial N,
momento fletor Mz e esforço cortante Vy.
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Convenção de sinais sentidos positivos dos
esforços Esforço normal (axial) N Esforço
cortante V Momento fletor M Momento torçor T
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Determinação dos esforços solicitantes As
equações de equilíbrio determinam as condições da
estrutura, ou de parte dela, à esquerda ou à
direita da seção transversal estudada. Exemplo
apoio fixo A
deslocamentos restritos vx e
vy apoio móvel C
deslocamento restrito vy
x
y
5,0 kN/m
8,0 kN
B
A
C
m
4,0
1,5
8,0 kN
HA
VA
Vc
25
Reações de apoio Carga distribuída
transformada em força concentrada fictícia, Fq
5,0.5,527,5 kN Equações de equilíbrio
27,5 kN
8,0 kN
26
Esforços solicitantes Seção transversal B
(distante 2 metros do apoio A) equações de
equilíbrio
2,0
10,0 kN
MB
HA
NB
RA
VB
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6. Equações analíticas e diagrama de
esforços 6.1- Equações analíticas Os esforços
solicitantes são obtidos em uma determinada seção
transversal Deseja-se, porém, conhecer a sua
evolução (variação) ao longo do elemento
estrutural ou da estrutura como um todo Pode-se
obter as expressões analíticas dos esforços em
função da coordenada x, onde são representados os
valores ao longo da estrutura, adotando-se uma
seção transversal de referência em posição
genérica. As funções obtidas são contínuas para
carregamentos contínuos e descontínuas onde
houver alguma força (ou reação) concentrada ou
descontinuidade geométrica da estrutura.
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Esforços solicitantes Seção transversal S
(distante de s do apoio A) Variação de a
coordenada s 0 lt s lt 4,0 m equações de
equilíbrio
s
s
5,0.s
MS
HA
NS
RA
VS
29
Esforços solicitantes para o trecho AC, entre
apoios Para s0 Para s4,0 (seção à
esquerda do apoio C)
30
Esforços solicitantes Seção transversal S
(distante de s do apoio A) Variação de a
coordenada s 4,0 lt s lt 5,5 m
s
s
5,0.s
MS
HA
NS
RA
RC
VS
31
Esforços solicitantes para o trecho CD, em
balanço Para s4,0 Para s5,5 (seção
extrema do balanço)
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Diagrama dos esforços solicitantes As expressões
obtidas permitem traçar os diagramas dos esforços
solicitantes seguindo algumas convenções Momento
fletor e força cortante, valores positivos
indicados abaixo do eixo de abcissa x
B
11,4
1,4
_
V (kN)
7,5


8,6
5,6
_
M (kN.m)

7,2
33
Observações Força cortante descontinuidade no
diagrama devido a uma carga concentrada no ponto
C (reação de apoio) A diferença (ou a soma dos
módulos) dos valores de força cortante, à direita
e à esquerda do apoio (VC,dirVC,esq7,5-(-11,4)1
8,9kN) representam a carga concentrada naquele
ponto (reação de apoio VC18,9kN) Momento fletor
descontinuidade da inclinação no diagrama devido
a uma carga concentrada no ponto C (reação de
apoio)
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7. Relações diferenciais entre os esforços
solicitantes e carregamentos As expressões
analíticas dos esforços solicitantes de flexão
(momento fletor e força cortante) apresentam
relações diferenciais entre si. Considere-se um
elemento de comprimento infinitesimal dx de uma
barra geral em equilíbrio, sobrecarregada
uniformemente
35
Equações de equilíbrio
36
Integrando-se as duas equações,
tem-se onde C1 e C2 são constantes de
integração e são conhecidos a partir da definição
de condições de contorno do problema estudado.
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Segundo as expressões diferenciais pode-se prever
a forma dos diagramas de esforços M e V para os
diversos tipos de carga distribuída q0
V - constante M - variação
linear qconstante V - variação linear M -
polinômio 2o. grau qlinear V pol. 2o.
Grau M - polinômio 3o. grau E ainda
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Bibliografia
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS -
NBR6120 Cargas para o cálculo de estruturas de
edificações. Rio de Janeiro ABNT, 1980.
6p. DIAS, L. A M. Estruturas de aço conceitos,
técnicas e linguagem. Zigurate, 1998. FUSCO, P.B.
Estruturas de concreto Fundamentos do projeto
estrutural. São Paulo McGraw Hill, 1976.
GIONGO, J.S. Estruturas de concreto armado. São
Carlos Publicação EESC/USP, 1993. MACHADO
JUNIOR, E.F. Introdução à isostática. São Carlos
Publicação EESC/USP,1999. SCHIEL, F. Introdução à
resistência dos materiais. São Paulo Harbra,
1984.