Cap. 13 Cerchio e circonferenza

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Cap. 13 Cerchio e circonferenza
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Terzo postulato
Punto A (centro)
Per definire una circonferenza basta prendere un
punto come centro e una lunghezza come raggio
Circonferenza
Lunghezza
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Definizione di circonferenza

• Si definisce circonferenza il luogo geometrico
  dei punti del piano equidistanti da un punto
  detto centro della circonferenza

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Quante circonferenze passano per un punto?
Quante circonferenze passano per due punti?
Qualsiasi punto dellasse può essere in centro di
una circonferenza che passa per A e B perciò ..
Ricorda lasse di un segmento
Lasse di un segmento è il luogo geometrico dei
punti equidistanti dai suoi estremi
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Il circocentro

• Dal latino circum (circolo) e dal greco Kentron
  (centro)
• Si definisce circocentro il punto di incontro dei
  tre assi di un triangolo
• Il nome deriva da una proprietà facilmente
  ricavabile se si ricorda il significato di asse

Quante circonferenze passano per tre punti non
allineati?.. Ricordiamo il circocentro di un
triangolo
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Proprietà del circocentro

• Consideriamo lasse del lato CB, per definizione
  il punto O (appartenente allasse) è equidistante
  da C e da B
• OB OC
• Prendiamo lasse del lato AC, ancora una volta O
  è equidistante da A e da C
• OC OA
• A questo punto si ha che OBOCOA
• Il circocentro è equidistante di vertici del
  triangolo

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Il centro del circolo .

• È ora chiaro che il circocentro è il centro cella
  circonferenza che passa per i vertici del
  triangolo
• Da cui . Qualsiasi triangolo può essere
  inscritto in una circonferenza

I vertici di un triangolo costituiscono tre punti
non allineati pertanto .
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Per tre punti non allineati passa una ed una
sola circonferenza
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Definizione di cerchio

• Si definisce cerchio la porzione di piano
  racchiusa da una circonferenza

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Raggio

• Si definisce raggio di una circonferenza in
  segmento che unisce il centro con un qualsiasi
  punto della circonferenza

Tutti i raggi di una stessa circonferenza sono
congruenti
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Corda e diametro

• Si definisce corda qualsiasi segmento che unisce
  due punti della circonferenza
• Si definisce diametro una corda che passa per il
  centro della circonferenza
• Tutti i diametri sono congruenti
• È facile vedere che
• d 2r

Il diametro rappresenta anche la corda di
dimensione massima
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Semicirconferenza
Consideriamo una circonferenza e un suo
diametro Il diametro divide la circonferenza in
due parti congruenti Ciascuna di queste parti
prende il nome di semicirconferenza
si definisce semicirconferenza ciascuna delle
due parti in cui la circonferenza
risulta suddivisa da un suo diametro
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Arco di circonferenza

• Prendiamo una circonferenza e mettiamo su di essa
  due punti
• Si definisce arco di circonferenza ciascuna delle
  due parti in cui la circonferenza risulta
  suddivisa dai due punti
• I punti B e C individuano larco c e larco d

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Arco e angolo al centro

• Se degli estremi di un arco di circonferenza
  traccio i due raggi si forma un angolo al centro
  a
• Tale angolo prende il nome di angolo al centro
• Si dice che larco AB sottende un angolo a e
  langolo a è sotteso da un arco AB

Archi uguali sottendono angoli uguali
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Relazione arco - corda
Dai i due punti che costituiscono gli estremi
dellarco io posso tracciare una corda
Larco AB è sotteso dalla corda AB
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È data una circonferenza di centro O e raggio r
Su di essa tracciamo due archi congruenti AB e
AB
Essi sottendono le corde a e a
Se tracciamo i raggi otteniamo due triangoli OAB
e OAB congruenti per il primo criterio perché
OB OB e OA OB perché raggi di una stessa
circonferenza
Se ciò è vero possiamo concludere che AB AB
a a perché angoli al centro di archi uguali
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Archi congruenti sono sottesi da corde
congruenti
Corde congruenti sottendono archi congruenti
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Prima abbiamo fatto unaffermazione a cui non era
stata data alcuna giustificazione Essa
intuitivamente ci è sembrata vera Dimostriamo che
effettivamente è così Prendiamo la seguente
figura Consideriamo il triangolo ABO Per il
criterio di esistenza dobbiamo avere che AB lt AO
OB Cioè corda lt r r Ma r r d perciò Corda
lt d
In ogni circonferenza qualsiasi corda è minore
del diametro
corda
raggio
Il diametro rappresenta anche la corda di
dimensione massima
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Proprietà del triangolo isoscele
In un triangolo isoscele laltezza relativa alla
base è anche asse, mediana e bisettrice

• Se i triangoli ACD e CDB sono uguali sia ha che
  AD DB cioè D è il punto medio e laltezza è
  anche mediana
• Laltezza è la perpendicolare condotta a partire
  dal punto medio perciò sta sul suo asse
• Se i triangoli ACD e BCD sono uguali saranno
  uguali anche e e z perciò laltezza è anche
  bisettrice dellangolo in C

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È data una circonferenza di centro O e raggio r
ed una sua corda AD Tracciamo due raggi che
uniscono gli estremi della corda col centro della
circonferenza Otteniamo il triangolo isoscele
ABO Tracciamo laltezza, essa sarà anche asse,
mediana, e bisettrice pertanto La
perpendicolare alla corda passante per il centro
della circonferenza divide la corda a
metà Consideriamo ora unaltra corda congruente
con la prima e tracciamo i raggi dai suoi due
estremi Per il terzo criterio i triangoli AOB e
ABO risulteranno congruenti
Le loro altezze h e h risulteranno congruenti
Se due corde sono congruenti e appartengono alla
stessa circonferenza sono equidistanti dal centro
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Posizioni reciproche di punto e circonferenza
appartenente ad un piano a
Un punto è esterno ad una circonferenza se la sua
distanza dal centro è maggiore del suo raggio OA
gt r Un punto appartiene alla circonferenza se la
sua distanza dal centro è uguale al suo raggio OA
r Un punto è interno ad una circonferenza se la
sua distanza dal centro è minore del raggio
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Secanti e tangenti

• Una retta si dice secante se interseca una curva
  in due o più punti
• Una retta si dice tangente ad una curva se ha un
  solo punto di contatto (da tangere toccare) con
  la curva (o meglio la tocca in due punti
  coincidenti)

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Posizioni reciproche di retta e circonferenza
appartenente ad un piano a
Una retta è esterna ad una circonferenza se la
sua distanza dal centro è maggiore del suo raggio
OA gt r Una retta è tangente alla circonferenza se
la sua distanza dal centro è uguale al suo raggio
OA r Una retta è secante ad una circonferenza
se la sua distanza dal centro è minore del raggio
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Tangenti ad una retta da un punto p esterna ad
essa
È data una circonferenza c di centro o e raggio r
ed un punto p esterno ad essa Dal punto P
tracciamo le tangenti m e t alla circonferenza e
siano H e K i punti di contatto Tracciamo i
segmenti OH, OP e OH e otteniamo due triangoli
OHP e OKP congruenti per il primo principio di
congruenza Pertanto risulta anche che PH PK
I segmenti che hanno per estremi il punto P e i
punti di tangenza alla circonferenza sono
congruenti
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Le tangenti alla circonferenza

• Le tangenti alla circonferenza sono sempre
  perpendicolari al raggio

La dimostrazione è per assurdo e non rientra nei
programmi di scuola media
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Dimostriamo che i triangoli OHP e OKP sono
congruenti Tracciamo la corda HK Il segmento OP
sta sullasse della corda pertanto è bisettrice
di KOH perché, come sappiamo, il triangolo OKH è
isoscele A questo punto abbiamo a b a1 a2
e d in comune I due triangoli sono congruenti per
il primo principio
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Posizioni reciproche di due circonferenze
Sono date due circonferenze di centri O e O e
raggi r ed r con rgtr le due circonferenze si
dicono Esterne se non hanno alcun punto di
contatto con OO gt r r Tangenti esterne se si
toccano in un punto P con OO r r Secanti se
hanno due punti P e Q di contatto r r lt OO lt
r r Tangenti interne se si toccano in un punto
P con OO r r Interne se non hanno alcun
punto di contatto con OO lt r r Concentriche
se si ha che O O
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Angolo alla circonferenza

• si chiama angolo alla circonferenza un angolo con
  il vertice su una circonferenza e i lati o
  entrambi secanti (prima specie), o uno secante e
  l'altro tangente alla circonferenza (seconda
  specie).

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Relazione fra angolo e angolo alla circonferenza
Tracciamo un angolo al centro e uno alla
circonferenza che insistono sullo stesso arco d
Tracciamo il diametro che passa per C ed O
Il triangolo COA avrà gli angoli a, a e 180 2a
Discorso analogo lo possiamo fare per il
triangolo OCB e per langolo DOB
Gli angoli AOD e COA sono supplementari, siccome
uno dei due è 180 2a laltro necessariamente
sarà 2a il doppio di ACO
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Langolo alla circonferenza sarà dato da a b
Langolo al centro da 2a 2b 2 x (a b) cioè
esattamente il doppio dellangolo alla
circonferenza
In una circonferenza langolo al centro che
insiste su un certo arco sarà sempre il doppio
dellangolo alla circonferenza che insiste sullo
stesso arco
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Angoli alla circonferenza che insistono su uno
stesso arco

• Su uno stesso arco di circonferenza insistono
  infiniti angoli alla circonferenza ed hanno tutti
  lo stesso valore

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Segmento circolare

• Consideriamo un cerchio ed una sua corda a
• La corda divide il cerchio in due parti
• Si definisce segmento circolare ciascuna delle
  due parti
• Si definisce segmento circolare una porzione di
  cerchio delimitata da una corda

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Settore circolare

• Prendiamo un cerchio e un suo arco BC
• Tracciamo i due raggi che uniscono gli estremi
  dellarco con il centro
• Otteniamo cosi una porzione di cerchio
• Si dice settore circolare la porzione di cerchio
  racchiusa da due raggi e un arco di
  circonferenza.

Cosa succede se aumento a?
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Corona circolare

• Consideriamo due circonferenze concentriche di
  raggio r1 ed r2 con r1 gt r2
• fra le due circonferenze si trova una porzione di
  piano
• Chiamiamo questa porzione di piano corona
  circolare

Si definisce corona circolare la porzione di
piano racchiusa fra due circonferenze
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Formule
C p x 2r
C p x d
Ma d 2 x r allora
Formule inverse
Circonferenza uguale a p greco per due volte il
raggio
Circonferenza uguale a p greco per il diametro
C
C
d
p
r
2 p