N

1
NÚMEROS PRIMOS

• ADRIANA MILENA ÁVILA REYES
• LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

2
Un poco de historia
D.H Lehmer
1732 Euler
1914 Lehmer
300 a.C Euclides
600 a.C Pitágoras
1632 Fermat
1752 Goldbach
3

• Los números primos han inquietado a los
  matemáticos desde tiempos inmemoriales y han
  surgido numerables problemas que fascinan y
  motivan la imaginación, aunque algunos aun
  permanecen sin solución
• Existe siempre un primo por lo menos entre
• para cada entero
  ngt1?
• Contiene la secuencia de Fibonacci un número
  infinito de primos?

4
DEFINICIÓN

• Decimos que a es un numero primo si a es mayor
  que 1 y sus únicos divisores positivos son 1 y
  a, en caso contrario a se llama compuesto.
• en consecuencia, los números primos menores que
  100 son
• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
  41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y
  97.

5
INFINITUD DE LOS NÚMEROS PRIMOS

• Proposición los números primos son infinitos
• Demostración de Euclides.
• Esta demostración aparece en el año 300 antes de
  Cristo en el IX libro de la colección de trece
  llamada ELEMENTOS de Euclides y es un bonito
  ejemplo del método de demostración por reducción
  al absurdo.

6
demostración ejemplo
Supongamos que hay un numero finito de números primos , Supongamos que los únicos números primos que existen son 2,3,5 y 7
Sea N 23571 y 2 es un divisor primo de N
Como n es un número compuesto , debe dejarse dividir por al menos uno de los primos. N211
Pero al dividir n por cada me deja residuo 1.
Lo que contradice la definición de divisibilidad
Por lo tanto existen infinitos números primos
7
Polinomios que me permiten obtener números primos
8
Teorema existen infinitos primos de la forma 4x1

• Demostración. Sea a gt1 un entero, demostraremos
  que existe un primo pgta tal que p es de la forma
  4x1.
• Sea m(a!)²1, obsérvese que m es impar y m gt1
• Sea p el menor número primo que divide a m, es
  claro que 2,3,,a-1,a no son divisores de m así
  que pgta y p divide a m (a!)²1.
• Además tenemos, (a!)²1kp, para algún k entero.

9

• Por lo tanto (a!)² (-1)( modulo p)
• Elevando ambos miembros de esta congruencia a la
  potencia (p-1)/2, obtenemos
• Por el teorema de euler-fermat tenemos que
• y por lo tanto
• Así que

10

• Luego
• Así que , y
  esta diferencia debe ser divisible por p (p es
  primo mayor que 2), entonces la única posibilidad
  es que z 0
• Es decir que
• Luego
• Finalmente se tiene que p4x1

11
Fermat descubrió que todo número primo de la
forma 4x1 tal como 5,13,17,29,37,..es una suma
de dos cuadrados.
12
Teorema Existen infinitos primos de la forma 4x-1

• Demostración.
• Supongamos que hay un número finito de primos de
  esta forma, y sea p el mayor de todos ellos.
• Consideremos ahora el entero a 4(357 p
  )-1
• a no puede ser primo ya que a gt p

13

• Además, ningún primo menor o igual que p divide
  a a , por lo que todos los factores primos de a
  exceden a p .
• Pero no es posible que todos los factores primos
  de a sean de la forma 4x1, puesto que el
  producto de dos de tales números es de la misma
  forma.
• Luego algún factor primo de a debe ser de la
  forma 4x-1, lo que constituye una contradicción.

14
ALGUNAS CLASES DE NÚMEROS PRIMOS

• PRIMOS DE MERSENNE
• NUMERO PRIMO DE FERMAT
• NUMERO PRIMO DE SOPHIE GERMAIN
• NUMEROS PRIMOS GEMELOS
• NÚMEROS PRIMOS REVERSIBLES

15

• 237,156,667-1
• 11,185,272 dígitos

16

• GRÁCIAS

17
Por ejemplo

• 5 1²2²
• 132²3²
• 171²4²
• 292²5²
• 371²6²
• 414²5²

18
DEFINICIÓN si a y b son enteros, decimos que a
divide a b si existe un entero c tal que bac
19
NÚMERO PRIMO DE MERSENNE
Se dice que un número M es un número de
Mersenne si es una unidad menor que una potencia
de 2. Mn 2n - 1. Un número primo de Mersenne
es un número de Mersenne que es primo.
20
NÚMERO PRIMO DE FERMAT
Pierre de Fermat conjeturó que todos los números
naturales de la forma 22n 1, con n natural
eran números primos
21
NÚMERO PRIMO DE SOPHIE GERMAIN
Un número primo p es un número de Sophie Germain
si 2p1 también es número primo. Ejemplo con
p2, 2x215 que también es un número primo.
22
NÚMEROS PRIMOS GEMELOS
Dos números primos (p, q) son números primos
gemelos si están separados por una distancia de
2, es decir, si .
23
NUMEROS REVERSIBLES
son aquellos que al leerlos al revés (de derecha
a izquierda) dan un nuevo número primo. Ej. 13 y
31 o 1201 y 1021