3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand

1
3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand

• Matilde Machado
• para bajar las transparencias
• http//www.eco.uc3m.es/mmachado/

2
3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand

• En el modelo de Cournot, las empresas deciden
  cuanto producir y el precio de mercado se ajusta
  para equilibrar la oferta y la demanda. Pero la
  frase el precio se ajusta es muy imprecisa, en
  la práctica como funciona este ajustamiento?
• Es quizás más natural pensar en las empresas
  fijando precios y dejando que los consumidores
  decidan cuanto quieren comprar a esos precios. En
  este contexto surge el modelo de Bertrand (1883).

3
3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand

• Los supuestos son los mismos que los del modelo
  de Cournot pero las empresas eligen precios y no
  cantidades
• 2 Empresas
• Las empresas eligen precios simultáneamente (es
  decir antes de observar el precio de su rival)
• El producto de las empresas es homogéneo
  (sustitutos perfectos) ? el consumidor compra del
  productor que le ofrezca un precio más barato
• Coste marginal constante c para ambas empresas
• Las empresas satisfacen toda la demanda (es decir
  no hay restricciones de capacidad)

4
3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand

• Ejemplos de competencia a la Bertrand pueden ser
  entre gasolineras en la misma ruta/calle. La
  gasolina es un bien homogéneo y el conductor (en
  EEUU) por lo menos puede mirar el precio sin
  parar a la ida y en el regreso de su trabajo.

5
3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand

• La demanda que enfrenta la empresa i es dada por

Di(pi,pj)
pj
D(pi)
0.5D(pi)
0
6
3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand

• El objetivo es de nuevo encontrar las funciones
  de reacción (ahora en precios) y luego el
  equilibrio de Nash
• El equilibrio de Nash se caracteriza por un
  vector de precios (pi,pj) tal que cada empresa
  maximiza su beneficio dado el precio de la otra
  empresa.
• La paradoja de Bertrand dice que el único
  equilibrio es aquél en que pipjc y por tanto
  los beneficios de equilibrio son nulos PiPj0.

7
3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand

• Vamos a demostrar que este es el único equilibrio
  en el modelo de Bertrand. La prueba se construye
  por contradicción.
• Prueba
• 1) Supongamos que (sin pérdida de generalidad)
  p1gtp2gtc es un equilibrio y vamos a probar que
  esto no sería posible.
• La empresa 1 no tendría demanda D10 ? P10
• La empresa 2 tendría toda la demanda del mercado
  D2D(p2) y P2(p2-c)D(p2)gt0
• Esto no es un equilibrio porque la mejor
  respuesta de la empresa 1 a p2 no es p1 sino
  p1 p2-e. (e es pequeño) lo que llevaría a
  P1gt0.
• Demostramos que la situación p1gtp2gtc no
  constituye un equilibrio del modelo de Bertrand

8
3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand

• 2) Supongamos que p1p2gtc es un equilibrio y
  vamos a probar que esto no sería posible.
• en este caso las empresas se reparten el
  mercado. Vamos a suponer que en partes iguales
• P1 (p1-c)(½D(p1))gt0
• P2 (p2-c)(½D(p2)) P1gt 0
• Esto no es un equilibrio porque la mejor
  respuesta de, por ejemplo, la empresa 1 a p2 no
  es p1 sino p1 p2-e. (e es muy pequeño) en
  cuyo caso se ganaría toda la demanda del mercado
  y P1 (p1-c)D(p1) (p1-c)D(p1) gt P1
  (p1-c)(½D(p1))gt0
• Demostramos que la situación p1p2gtc no
  constituye un equilibrio del modelo de Bertrand

9
3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand

• Gráficamente la situación 2)

p2-e
p2
P1
P2
P
c
q
10
3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand

• 3) Supongamos que p1gtp2c es un equilibrio y
  vamos a probar que esto no sería posible.
• en este caso la empresa 1 no tiene demanda
• P1 0
• P2 (p2-c)D(p2)0 (toda la demanda)
• Esto no es un equilibrio porque la mejor
  respuesta de, por ejemplo, la empresa 2 a p1 no
  es p2 sino p2 p1-e. (e es pequeño) en cuyo
  caso mantendría toda la demanda del mercado y
  P2 (p2-c)D(p2)gt0
• Demostramos que la situación p1gtp2c no
  constituye un equilibrio del modelo de Bertrand

11
3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand

• 4) El único equilibrio posible es p1p2c. Pero
  hay que probar que es de hecho un equilibrio
• en este caso las empresas se reparten el mercado
  pero no tienen beneficios.
• P1 0
• P2 0
• Si la empresa 1 ? p1 ? P1 (p1-e-c)D(p1-e)-eD(p
  1-e)lt0
• luego no tiene incentivos a ? p1
• Si la empresa 1 ? p1 ? P1 (p1e-c)00
• luego tampoco tiene incentivo a ?p1
• La empresa 1 no tiene incentivos a desviarse
  luego p1 es la mejor respuesta a p2. Lo mismo
  se puede decir para la empresa 2.

12
3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand

• Conclusión Probamos la paradoja de Bertrand i.e.
  que apenas con 2 empresas el único equilibrio
  posible es que las dos empresas tienen el mismo
  precio y este es igual al coste marginal, por lo
  que tienen beneficios nulos y no hay pérdida de
  eficiencia.
• Estamos en el mismo equilibrio que en competencia
  perfecta pero con apenas 2 empresas. Esto es
  difícil de creer porque con apenas 2 empresas es
  difícil de creer que no se pueda tener
  situaciones con precios por encima del coste
  marginal y beneficios positivos.

13
3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand

• La función de reacción de las empresas es

14
3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand

• Gráficamente la función de reacción de las
  empresas es

R2(p1)
p1
R1(p2)
pM
El equilibro de Nash es único y se da donde se
cruzan las funciones de reacción (p2c,p1c) y
la demanda se reparte entre los dos D1D2D/2
c
45º
c
p2
pM
15
3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand

• El caso Asimétrico Costes marginales diferentes
  c1gtc2 . En este caso el resultado anterior ya no
  se verifica. El equilibrio de Bertrand implica
• pc1 (en realidad c1-e, e pequeño) y la
  empresa 2 capta todo el mercado y
  obtiene beneficiosgt0

Nota Si c1gtpM(c2) entonces el equilibrio sería
p2pM(c2)argmaxp(p-c2)D(p)
16
3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand

• La paradoja del modelo de Bertrand se puede
  solucionar si se cambian cada uno de los 3
  supuestos básicos del modelo.
• Solución de Edgeworth introducción de
  restricciones de capacidad, que impiden la
  empresa vender más cantidad de las que
  físicamente puede producir. La idea es que al
  precio de competencia perfecta c, cada empresa
  por si sola no puede abastecer toda la demanda.
  El (p1,p2)(c,c) ya no es un equilibrio del
  mercado. Porqué? Se prueba por contradicción.
• Imaginemos que es un equilibrio. Entonces P10,
  P20, si la empresa 1 sube el precio entonces la
  empresa 2 enfrenta toda la demanda pero no la
  puede absorber.
• P2(c-c)K0 donde KltD(c)
• P1(p1-c)D1(p1)gt0 y D1(p1)D(p1)-K por tanto la
  empresa 1 tiene incentivos en desviarse ?el punto
  inicial no es un equilibrio.

17
3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand

1. Dimensión Temporal (juegos repetidos) Si
   consideramos que los competidores no se
   encuentran en el mercado una sola vez sino que
   probablemente tiene una relación de largo plazo
   entonces pueden darse cuenta que una guerra de
   precios (p1p2-e) solo conduce a P0.
2. Diferenciación del producto. Si los productos no
   son homogéneos (ej distintas marcas, distinta
   localización) entonces una reducción de precios
   no implica que el rival se quede sin demanda, es
   decir no implica ganarse todo el mercado por lo
   que pc ya no será un equilibrio.

Conclusión El análisis de Bertrand es un caso
extremo, al introducir supuestos más realistas se
suaviza la competencia y el precio de equilibrio
será mayor que coste marginal
Los modelos de oligopolio no tienen que ser el
mismo para todas las industrias sino que uno u
otro se adapta mejor a una u otra industria