1
 CIRCUIT ou début dautomatique, appliqué à
des circuits électriques

• Enseignement pour public ayant déjà eu la remise
  à niveau
• Sur chaque thème, ou chapitre rapides rappels,
  applications dans le domaine e.e.a.
• Balayage rapide, (4 séances d1 heure 30)
• en cohérence avec le contenu des T.D. et T.P.
• Objectifs
• remettre à niveau pour une exploitation
  immédiate (TD, TP) et ultérieure (ERII3, ERII4),
• - identifier ce qui fondamental et qui doit être
  connu sans aucune lacune ni ambiguïté

2
 CIRCUIT  
Avis aux utilisateurs de ce document power point
- Lancer le diaporama (touche F5)

• Lire attentivement les pages progressivement,
• par action de la touche -gt
• (ou de la touche flèche vers le bas)

- A chaque point dinterrogation tournant
une question, ou une application numérique, est
demandée.
Alors, marquer un temps darrêt pour répondre
Et continuer après la réflexion
3
 CIRCUIT 
Transformées de Laplace Analyse
harmonique Quadripôles
4
TRANSFORMEES DE LAPLACE
Définition, propriétés Application à
lélectronique
5
TRANSFORMEES DE LAPLACE
Définition, propriétés Application à
lélectronique
6
La transformée de Laplace consiste à étudier le
comportement des systèmes par une représentation
symbolique. La variable n'est plus le temps t
mais p.
A une fonction f(t) dans le monde réel correspond
une fonction F(p) dans le monde symbolique.
Cette fonction est appelée image de f(t).
Inversement f(t) est appelée originale de F(p).
Ce passage du monde réel au monde symbolique est
défini par la transformée de Laplace suivante
Sous réserve de convergence
Remarque il existe des conditions dexistence
de F(p). Toutes les fonctions f(t) nont pas une
transformée de Laplace. Et réciproquement, toutes
les fonctions F(p) ne sont pas des transformées
de Laplace de f(t).
7
Transformées de Laplace des principaux signaux
Fonction de Heavyside
appelée échelon unité, qui sécrit usuellement
u(t) ou
1 si t gt 0 0 si t lt 0
?(t)
Définition
8
Rampe unitaire
t si t gt 0 0 si t lt 0
Par définition
Par ? u dv u v ? v du
Intégration par parties
u t dv exp (-pt) dt
du dt v -(1/p) exp (-pt)
1

p2
0 0
0 1
9
Fonction Exponentielle
exp (at) si t gt 0 0 si t lt 0
Par définition

Il faut que (a-p) soit lt 0 pour que lim
exp(a-p)t converge
t-gt8
1
1 0 1
Dans ces conditions, F(p)

p-a
(a-p)
10
Fonction sinus
sin (?t) si t gt 0 0 si t lt 0
Par définition
Par ? u dv u v ? v du
Intégration par parties
u sin (?t) dv exp (-pt) dt
du ? cos (?t) dt v -(1/p) exp (-pt)
0 0
11
Fonction sinus, suite
F(p)
Par ? u dv u v ? v du
Intégration par parties
u cos (?t) dv exp (-pt) dt
du - ? sin (?t) dt v -(1/p) exp (-pt)
F(p)
1
?
0 1
-

p
-p
p
?
(
)
?
?2
1
1
-
F(p)
?
F(p)

-
F(p)
On arrive à
p
p
p
p2
p2
?
Doù
F(p)
p2 ?2
12
Autre calcul, bien plus rapide
1
On a vu que
L exp at

pa
Reprenons cette écriture en remplaçant a par j?,
avec ? constante
1
p-j?
p
j?
L exp -j?t



-
pj?
p2?2
p2?2
p2?2
Or exp -j?t cos ?t j sin ?t
L exp -j?t
L cos ?t - j sin ?t

Et, par linéarité L exp -j?t ) Lcos ?t
j Lsin ?t
p
Lcos ?t
p2?2
Par identification
?
Lsin ?t
déjà vu
p2?2
13
Il existe des formulaires de transformées de
Laplace.
14
(No Transcript)
15
Principales Propriétés des Transformées de Laplace
Linéarité
Il suffit de se rappeler de la définition
Par développement et lintégrale dune somme est
la somme des intégrales.
Très utilisée lors des calculs des transformées
16
Principales Propriétés des Transformées de Laplace
Transformées de Laplace dune dérivée
Par ? u dv u v ? v du
Intégration par parties
u exp (-pt) dv f(t) dt
du (-p) exp (-pt) dt v f(t)
Appliquons à notre calcul
F(p)
L f(t) p F(p) f(0)
17
Principales Propriétés des Transformées de Laplace
Transformées de Laplace dune dérivée, suite
f(t) F(p)
f(t) p F(p) f(0)
f(t) p p F(p) f(0) f(0)
f(t) p p p F(p) f(0) f(0)
f(0)
18
Principales Propriétés des Transformées de Laplace
Transformées de Laplace dune intégration
u variable dintégration
Posons
soit
0
Par la page précédente
Doù
or
F(p)
L ?f(t)
p
19
Principales Propriétés des Transformées de Laplace
Théorème du retard
f(t) u(t) f(t-?) u(t-?)
La transformée de Laplace de la fonction retardée
est
Posons x t-?
t x ?
dx dt
Quand t parcours ? à linfini, x parcours de 0 à
linfini
Changement de variable
La transformée sécrit


x variable dintégration
20
Principales Propriétés des Transformées de Laplace
Théorème de lamortissement, ou multiplication
par lexponentielle
Ecriture de F(p) dans laquelle on a remplacé p
par pk
21
Principales Propriétés des Transformées de Laplace
Théorème de la valeur initiale
Théorème de la valeur finale
Si elle existe,
22
Principales Propriétés des Transformées de Laplace
Transformée de Laplace dune fonction périodique
une fonction f(t) périodique de période T, faite
de motifs g(t)
G(p) est la transformée de Laplace de g(t),
alors F(p) la transformée de f(t) sécrit
23
Principales Propriétés des Transformées de Laplace
Théorème de convolution
La convolution de deux fonctions f(t) et g(t),
est la fonction h(t) définie par 
que lon note h(t) f g .
Cette opération est commutative, cest-à-dire que
On a
Rappel la transformée de Laplace dun produit
nest pas le produit des transformées de
Laplace !
24
Transformées inverses de Laplace
Rappel A une fonction f(t) dans le monde réel
correspond une fonction F(p) dans le monde
symbolique. Cette fonction est appelée image
de f(t). Inversement f(t) est appelée
originale de F(p).
Comment retrouver f(t) à partir de F(p) ?
1) Par lecture des tables de transformées
2) et/ou par exploitation des propriétés
3) et/ou par décomposition en éléments simples
(dans le cas de F(p) en fractions rationnelles)
4) par la méthode des résidus (vue plus tard)
25
TRANSFORMEES DE LAPLACE
Définition, propriétés Application à
lélectronique
26
Application 1 Circuit LR attaqué par un
échelon de tension
27
E(p) Le(t) S(p) Ls(t) I(p) Li(t)
On pose
Ecrire les équations qui régissent le circuit,
sous forme temporelle, et sous forme de Laplace.
e(t) uL(t) uR(t)
uL(t) L di/dt uR R i(t)
E(p) UL(p) UR(p)
UL(p) L p I(p) UR(p) R I(p)
E(p) (R L p) I(p)
On applique en e(t), un échelon de tension,
damplitude Eo. Condition initiale nulle.
Déterminer lexpression de I(p). En déduire i(t).
E(p) Eo/p
i(t) ?
28
i(t) ?
Il nous faut trouver loriginal de I(p)
1) Par lecture des tables de transformées
On connaît loriginal de 1/p u(t)
loriginal de 1/(pa) u(t) exp (-at)
Mais on na pas loriginal de 1/p(pa) ou du
moins on suppose que lon ne la pas
2) et/ou par exploitation des propriétés
3) et/ou par décomposition en éléments simples
(dans le cas de F(p) en fractions rationnelles)
Eo Eo
A
B
R -R/L
On prend loriginal
? L/R
i(t) Eo/R 1-exp (t/?) u(t)
s(t) Eo 1-exp (t/?) u(t)
s(t) R i(t)
S(p) R I(p)
29
e(t) uL(t) uR(t)
uL(t) L di/dt uR R i(t)
Eo
E(p)
Récapitulation Equations temporelles,
Transformation en Laplace Résolution sous
Laplace Retour en temporel
p
E(p) (R L p) I(p)
s(t)
À t -gt infini, courant continu, di/dt 0 et s
e Eo
Eo
Tension s(t) R i(t)
s(t) Eo 1-exp (t/?) u(t)
t
30
uL(t) L di/dt uR R i(t)
Rappel Résolution en temporel
L i R i e(t)
1- On intègre dabord lESSM
L i R i 0
i(t) Io exp -t/? avec ? L/R
2- On recherche une solution particulière
On recherche i(t) qui satisfasse L i R i
constante Eo
i(t) de la forme constant répond à cette
équation
i(t) Eo/R
3- La solution complète est la solution de
lESSM solution particulière
i(t) Io exp -t/? Eo/R
4- La constante dintégration Io est alors
calculable par la condition initiale
0 Io exp -t/? Eo/R
À t 0, i(t) 0, soit
gt Io - Eo/R
s(t) Eo (1-exp -t/?) pour t gt 0
Il vient i(t) Eo/R (1-exp -t/?)
Par s(t) R i(t)
31
Application 2 Circuit LR attaqué par une rampe
de tension
On applique en e(t), une rampe de tension,
dexpression kt. Condition initiale nulle.
Déterminer lexpression de I(p). En déduire i(t).
32
1
Rappel transformée de Laplace de la rampe
unitaire
p2
k
Lentrée e(t),qui est une rampe kt, a comme
transformée de Laplace
E(p)
p2
Les équations de maille sont inchangées, et on
conserve
Il nous faut trouver loriginal de cette
expression pour avoir i(t)
A
B
C
Décomposition en éléments simples



p2
p
RLp
B
C/L
A


Supposons A, B, C calculés

p2
p
pR/L
Original terme à terme
i(t) At B C/L exp (-t/?) u(t)
ou  pour t gt 0 
33
Décomposition en éléments simples
A
B
C



p2
p
RLp
Parmi les différentes méthodes, lidentification
après réduction au même dénominateur
A(RLp) Bp (RLp) C p2

p2 (R Lp)
Doù
p2(BLC) p (AL BR) AR

k
0
0
k
B - A L / R
A k/R
C - B L
B - k L / R2
C k L2/R2
34
A k/R
B - k L / R2
C k L2/R2
? L/R
i(t) At B C/L exp (-t/?) u(t)
i(t) (k/R) t - k L / R2 k L/R2 exp (-t/?)
u(t)
i(t) (k/R) t - L / R L/R exp (-t/?) u(t)
i(t) k/R t - ? 1- exp (-t/?) u(t)
Doù le tracé
35
i(t) k/R t - ? 1- exp (-t/?) u(t)
R i(t) k t - ? 1- exp (-t/?) u(t)
R i(t)
R i(t)
droites parallèles pente k
e(t)
t
?
Tension R i(t) k t - ? 1- exp (-t/?)
pour t gt 0
i(t) 0
À t tendant vers 0
k t - ? u(t)
i(t) se comporte comme
À t tendant vers linfini
R
k t - ? u(t)
Pour t grand, la tension Ri(t) se comporte comme

36
e(t) uL(t) uR(t)
uL(t) L di/dt uR R i(t)
k
E(p)
Récapitulation Equations temporelles,
Transformation en Laplace Résolution sous
Laplace Retour en temporel
p2
E(p) (R L p) I(p)
Tension s(t) R i(t) k t - ? 1- exp (-t/?)
pour t gt 0
37
Application 3 Circuit RC attaqué par une
impulsion de courant Io de durée T
Forme du courant i(t)
montage
38
Forme du courant i(t)
montage
Utiliser le formalisme de Laplace pour exprimer
I(p), transformée de Laplace de i(t).
Io
Io
i(t)
-
exp (-Tp)
I(p)
p
p
Transformées de Laplace terme à terme
Io
Io u(t)
p
-
Io
exp (-Tp)
Io u(t) retardé de T
p
Io u(t-T)
soit
Théorème du retard
39
Remarque intéressante
Pour cet exemple simple,
I(p) peut aussi se déterminer par la définition
40
Io
Io
exp (-Tp)
-
I(p)
Nous avons calculé
p
p
Il nous faut maintenant uc(t)
Par loi dOhm aux bornes dun condensateur
1
Uc(p)
I(p)
Cp
Sans C.I.
Io
Io
-
exp (-Tp)
Uc(p)
Cp2
Cp2
41
On finit en recherchant loriginal de UC(p)
Io
Io
exp (-Tp)
-
Uc(p)
Cp2
Cp2
Doù terme à terme
Io
Io
uc(t)
-
t u(t)
(t-T) u(t-T)
C
C
Io
Io
t
(t-T)
Ce qui signifie
C
C
pour t gt 0, nul ailleurs
Pour t gt T, nul ailleurs
42
Io
Io
uc(t)
-
t u(t)
(t-T) u(t-T)
C
C
Construction de uc(t)
Io
t
C
pour t gt 0, nul ailleurs
Io
(t-T)
C
pour t gt T, nul ailleurs
Io
T
C
Courant nul, le condensateur reste chargé
Charge à courant constant
43
Récapitulation Equations temporelles,
Transformation en Laplace Résolution sous
Laplace Retour en temporel
i(t) Io u(t) - Io u(t-T)
Io
Io
exp (-Tp)
-
I(p)
p
p
Io
Io
-
exp (-Tp)
Uc(p)
Cp2
Cp2
Io
Io
uc(t)
-
t u(t)
(t-T) u(t-T)
C
C
44
Décomposition en éléments simples
N(p) D(p)
degré de D(p) gt degré de N(p)
Cas 1 toutes les racines de D(p) sont réelles
et différentes ( pôles simples )
D(p) peut sécrire sous une forme comme (pa)
(pb) (pc)
a, b, c, réels
N(p) D(p)
B
C
A



Alors
il y a autant de termes que le degré de D(p)
pa
pb
pc
Cas 2 des racines de D(p) sont réelles et
égales ( pôles multiples, de mutiplicité n )
D(p) peut sécrire sous une forme comme (pa)n
(pb) (pc)
a, b, c, réels
A1
A2
A3
An
N(p) D(p)
B
C
Alors






pa
pb
pc
(pa)2
(pa)3
(pa)n
Cas 3 des racines de D(p) sont complexes (pôles
 complexes )
D(p) peut sécrire sous une forme comme (p2apb)
(pc)
Tel que le discriminant ? est lt 0
Alors
ApB
C
N(p) D(p)


pc
p2apb
Cas 4 des racines de D(p) sont complexes et
multiples
D(p) peut sécrire sous une forme comme
(p2apb)n (pc)
A1pB1
C
A2pB2
AnpBn
N(p) D(p)
Alors

..


pc
p2apb
(p2apb)2
(p2apb)n
45
Application 4 Circuit dordre 2
1) Interrupteurs dans cette position, donner
courants, tensions déquilibre (régime permanent)
Cela permet de placer des conditions initiales
pour la question suivante )
iL1 iL2 0 (branches ouvertes) uC 1 V
2) On commute les 2 interrupteurs simultanément.
Calculer i(t) circulant dans L1.
46
Fléchons courants, tensions
uR1
uL1
uL2
i(t)
i2
i-i2
ve
uR2
uC
Etablissons les lois des mailles, lois des noeuds
ve uR1 uL1 uc uL1 L1 di/dt uR1 R1 i uc
1/C ? (i-i2) dt uC uR2 uL2 uR2 R2 i2 uL2
L2 di2/dt
(1)
ve R1 i L1 di/dt uC
duC/dt (1/C) (i-i2)
(2)
(3)
uC R2 i2 L2 di2/dt
47
L f(t) p F(p) f(0)
Transformées de Laplace
Rappel
ve R1 i L1 di/dt uC
(1)
Ve(p) R1 I(p) L1 p I(p) i(0) UC(p)
p UC(p) uC(0) (1/C) I(p) I2(p)
duC/dt (1/C) (i-i2)
(2)
uC R2 i2 L2 di2/dt
(3)
UC(p) R2 I2(p) L2 p I2(p) i2(0)
Avec, daprès la question précédente i(0) 0
A , i2(0) 0 A , uC(0) 1 V
Éliminons I2
UC(p)
UC(p)
Par (3) I2
Mis dans (2)
p UC(p) 1 (1/C) I(p) -
R2L2p
R2L2p
On trouve alors une expression de UC(p)
( R2L2p )
( I(p)/C 1)
C
UC(p)
p2 L2 C R2 C p 1
Que lon place dans (1), pour aboutir à
Transformée de Laplace de i(L1)
Ve(p)
p2 L2 C R2 C p 1
-
( R2L2p )
C
Conséquence de la C.I.
I(p)
p2 L2 C R2 C p 1
( R1 L1p )

R2 L2p
48
Application numérique
Ve(p) 1/p (linterrupteur crée un échelon de
1 V)
(1/p)
p2/2 2p 1 (4 p) (1/2)
I(p)
p2/2 2p 1 4 p
(4p)
1
I(p)
Soit, après simplification
p
p3/2 4p2 10 p 8
On remarque que
Soit, après identification a 2, b 2, c
4
1
p3/2 4p2 10 p 8
(pa) (pb) (pc)

2
2
doù I(p)
A
B
C
D
p
(p2)2 (p4)



I(p)
p
(p4)
(p2)2
(p2)
qui se décompose en éléments simples
Avec
A 1/8, B 0 , C -1/2 , D -1/8
1
1
1
-
-
I(p)
8 p
8(p4)
2(p2)2
Doù, loriginal, terme à terme
i(t)
pour t gt 0
1 1 t exp (-2t) 1 exp (-4t)
i(t)
8
8
2
49
1 1 t exp (-2t) 1 exp (-4t)
i(t)
pour t gt 0
8
8
2
Exploitons Matlab pour tracer cette équation
Script
t (0 1e-3 5) i 0.125
0.5t.exp(-2t)- 0.125exp(-4t) figure(1)
plot(t,i) title('courant') xlabel('temps')
Rem pour t ? ?, i(t) ? 0,125 A
Au voisinage de 0
exp(-2t) 1 - 2t 2t2 doù t exp(-2t)
t - 2t2 2t3 exp(-4t) 1 - 4t 8t2 -
(64/6) t3 ... i(t) t3/3
50
Exploitons Pspice pour vérifier le comportement
de ce circuit
evolution du courant dans circuit R1L1CL2R2
fichier ordre2.cir Ve 1 0 DC1 R1 1 2 4 L1 2 3 1
IC0 C 3 0 0.5 IC1 L2 3 4 1 IC0 R2 4 0 4
.tran 1m 5 0 1m UIC .probe .end
i(t)
Valeur finale 0,125 A
En DC, la source 1 V est connectée à 4 4 8
?, doù i 1/8 0,125 A
Valeur du courant à t 0 0 A
On retrouve la condition initiale
51
Théorème de la valeur initiale
lim i(t) lim p I(p)
p??
t?0
1
1
1
Soit lim p
( )
0
-
-
p??
8 p
8(p4)
2(p2)2
Théorème de la valeur finale
Si elle existe,
lim i(t) lim p I(p)
p?0
t??
1
1
1
Soit lim p
( )
1/8 0,125
-
-
p?0
8 p
8(p4)
2(p2)2
On a donc i(0) et i(?) avant davoir lexpression
de i(t)
52
Pour info exploitons Pspice pour visualiser les
autres grandeurs
(2)
(3)
(1)
(4)
uC(0) 1 V
V(2) V(3) V(4) 0,5 V
Condensateur chargé
iC lt 0 signifie courant sortant (décharge)
53
 CIRCUIT 
Transformées de Laplace Analyse
harmonique Quadripôles
54
ANALYSE HARMONIQUE
Principe, notion de transmittance Application à
lélectronique
55
ANALYSE HARMONIQUE
Principe, notion de transmittance Application à
lélectronique
56
notion de transmittance
S(p) R I(p)
E(p) (R L p) I(p)
La  transmittance en p  est la fonction de
transfert
grandeur de sortie en p
grandeur dentrée en p
Utilisée dans le formalisme des schémas blocs.
Rem Transmittance ou fonction de transfert.
57
de la transmittance en  p  à la réponse
harmonique
Rappel Pour les systèmes linéaires, l'analyse
fréquentielle permet de connaître la réponse du
système à une excitation sinusoïdale, à
différentes fréquences.
Létude de la réponse harmonique d'un système
consiste simplement à étudier le nombre complexe
T(j?) qu'on appelle transmittance harmonique (ou
transmittance complexe). Le nombre complexe T(j?)
s'obtient simplement en remplaçant p par j? dans
l'expression de la fonction de transfert T(p).
58
Il existe plusieurs représentations d'un nombre
complexe (module et phase) en fonction de la
fréquence (ou pulsation)
Bode
Nyquist
Black
Bode

• Les lieux de Bode sont constitués
• d'une courbe de gain (en dB) rappel
  Gain 20 log I A I
• et d'une courbe de phase f (en , ou en rad).

On utilise une échelle semi logarithmique
Pulsation (ou fréquence) sur une échelle
log G sur une échelle linéaire en dB
(cest-à-dire A sur une échelle log).
59
Il existe plusieurs représentations d'un nombre
complexe (module et phase) en fonction de la
fréquence (ou pulsation)
Bode
Nyquist
Black
Nyquist
C'est la représentation du nombre complexe T(j?)
dans le plan complexe, en coordonnées polaires,
en faisant varier le paramètre ? de 0 à l'infini.
Le lieu de Nyquist est gradué en valeurs de ?
(ou f).
60
Il existe plusieurs représentations d'un nombre
complexe (module et phase) en fonction de la
fréquence (ou pulsation)
Bode
Nyquist
Black
Black
? varie de 0 à 8 en abscisse, la phase (en
degré, sur une échelle linéaire) et en ordonnée,
le gain G (20 log A)
Le lieu de Black est gradué en valeurs de ? (ou
f).
61
Fonction j?
Réponses harmoniques du dérivateur
Nyquist
Bode
Module ?
Phase artg ? p/2
20 log module
20 log ?
http//www.iutenligne.net/ressources/automatique/v
erbeken/CoursAU_MV/
62
Fonction 1/j?
Réponses harmoniques de lintégrateur
Nyquist
Bode
Module 1/?
Phase artg -? -p/2
20 log module
20 log 1/?

- 20 log ?
http//www.iutenligne.net/ressources/automatique/v
erbeken/CoursAU_MV/
63
Intérêt des Tracés de Bode
Les tracés de 20 log module et de la phase se
font par étapes élémentaires
Cas dune fonction produit
Par log (A B) log A log B, on a
N1(j?) N2(j?)
T(j?)
20 log
N1(j?) N2(j?)
20 log
N2(j?)
20 log
N1(j?)


2 tracés permettent davoir le produit
N(j?) / D(j?)
T(j?)
Par log (A / B) log A - log B, on a
Cas dune fonction rapport
N(j?) D(j?)
20 log
20 log
D(j?)
20 log
N(j?)
-

2 tracés permettent davoir le rapport
Cas général
?
?
Par log (A B / C D)
(1 j ) (1 j )
?1
?2
T(j?)
log A log B log C log D
?
?
(1 j ) (1 j )
etc
?3
?4
Par arg (A / B) arg A - arg B, on a
De même, pour la phase
N(j?) D(j?)
N(j?) D(j?)
2 tracés
f
arg
arg
N(j?)
-
arg
D(j?)
ou

etc
64
Exemple de base transmittance vue précédemment
Transmittance que lon pose à T(p)
rapport des tensions
Doù T(j?)
Remarque cest également la transmittance dun
circuit RC
1/Cp
1
remplaçons p par j?


1 RCp
R 1/Cp
65
N(j?) D(j?)
Rappel Le tracé de Bode se fait par étapes
log
log
D(j?)
log
N(j?)
-

N(j?) Dj(?)
20 log
20 log
D(j?)
20 log
N(j?)
-

tracé de 20 log
N(j?)
permettent davoir le tracé de
N(j?) Dj(?)
20 log
tracé de 20 log
D(j?)
N(j?) D(j?)
N(j?) D(j?)
f
arg
arg
N(j?)
-
arg
D(j?)

ou
tracé de
arg
N(j?)
N(j?) D(j?)
permettent davoir le tracé de
f
tracé de
arg
D(j?)
66
20 log
20 log
D(j?)
20 log 1 -

-
20 log
D(j?)
-
20 log
?? 0
? ? infini
? 1/?
D(j?) v2
D(j?)
D(j?)

? ?
infini

1
20 log
20 log

0 dB

- infini
20 log
- 3 dB
f
arg
-
arg
D(j?)
-
arg
1

? ? 0
? ? infini
? 1/?
arg D(j?)
? ?
artg 0 0
arg D(j?)
artg
?/2
arg T(j?)
arg T(j?)
arg T(j?)
- artg 0
0
- artg 1
- artg infini
- ?/2
- ?/4 - 45
67
20 log
-
20 log
?? 0
? ? infini
? 1/?

0 dB
- infini
- 3 dB
f
-
arg
? ? 0
? ? infini
? 1/?
0
- 45
- ?/2
68
Bode
f ? infini Asymptote -20 dB/décade
f ? 0 Asymptote horizontale
3 dB
f, ? ? 0
I I ? 1 G ? 0 ? ? 0
Intégrateur en hautes fréquences
f, ? ? ?

• I I ? 0
• G ? -?
• ? -?/2

-45
69
Nyquist
Comportement quand
f ? 0
f ? infini
1
f, ? ? ?
f, ? ? 0

• ? -?/2
• I I ? 0

• ? 0
• I I ? 1

Intégrateur en hautes fréquences
10 Hz (exemple)
20 Hz (exemple)
50 Hz (exemple)
Incomplet
Repère orthonormé lieu en demi cercle
70
Pourquoi est-ce un cercle ?
(1)
x
Dans le plan complexe, laffixe de T(j?) est
Combinons (1) et (2)
y -
y - ? ? x
(2)
Soit
y2 x2 (? ? )2
(12)
(? ? )2 1/x - 1
x(? ? )2 1- x
x x(? ? )2 1
(1)
y2 x2 (1/x -1 )
x - x2
- x2 - x ¼ - ¼
Soit, (12)
- (x-1/2)2 - ¼
y2 (x-1/2)2 1/4
1
1/2
Doù
0
Équation dun cercle
(y-y0)2 (x-x0)2 R2
Rayon 1/2
Centre y 0 et x 1/2
1
71
Intérêt des Tracés de Bode
Les tracés de 20 log module et de la phase se
font par étapes élémentaires
Autre exemple
vs(jf)
jf/fN

fN ? 1 kHz f1 ? 1 kHz f2 ? 100 kHz
ve(jf)
(1 jf/f1) (1jf/f2)
1k
10k
100k
1M
100
f
0 dB
Tracés asymptotiques
-20 dB/dec
-20 dB/dec
vs(jf)
20 log
ve(jf)
20 dB/dec
?/2
0
- ?/2
72
COMMENT FAIRE SI ON NA PAS DE PAPIER
LOGARITHMIQUE ?
À propos de léchelle log
3
Arrondir à 0,3 représente une erreur de 0,34
environ
Or 0,3
log 2 ? 0,3
10
ce qui est acceptable pour un tracé.
En toute rigueur log 2 0,30102999
Prenons un axe, et marquons 10 intervalles
régulièrement espacés
1 octave
1 octave
1 octave
Plaçons 1
Plaçons 10
1
10
2
4
8
5
2,5
1,25
- 1 octave
- 1 octave
- 1 octave
1 décade
Multiplier par 10 ? ajouter une décade
2 sur une échelle log est au 3/10
Multiplier par 2 ? ajouter une octave
Diviser par 2 ? retirer une octave
73
On ajoute 2 intervalles
Continuons à graduer une échelle log
1 octave
1
10
2
4
8
5
2,5
1,25
16
6,4
1,6
3,2
- 1 décade
Ces valeurs sont donc placées sur une échelle log
1 octave
12,8
??
Remarque
??
Pourquoi ny a-t-il pas un rapport 10 ?
À chaque octave, on a fait une erreur de 0,34
On a fait 2 4 8 16 4 fois
lerreur, Retour à 1,6 pas derreur puis 3,2
6,4 12,8 3 fois lerreur. Soit au total un
cumul de 7 erreurs dans le même sens
(1,0034)7 1,024
1,25 x 10 x 1,024 12,8
74
Échelle log
Autre  truc  à savoir
a
b
a b
Milieu du segment a b sur une échelle log
Milieu géométrique
1
10
3,16
etc
75
1k
100
10k
10
20
40
80
200
400
800
2k
4k
8k
log
100
10
20
40
80
Expérimentalement, pour tracer une courbe,
quelques points judicieusement placés apportent
toute linformation utile.
Judicieusement placés par exemple 1 2
4 8 10 ou 1 2,5 5 10
ou un mix des 2 (1 2 5 10 )
etc
76
Dernier  truc  à savoir, sur lartg
1 décade
- 1 décade
Asymptote oblique
Pente 45 par décade
log
?0
?0
10 ?0
10
Cela forme donc un tracé rapide et représentatif,
de la phase dun système du premier ordre
Lasymptote oblique est proche de la fonction
artg
Lécart entre ces 2 courbes est inférieur à 6
77
Rappel ces tracés (Bode, Nyquist, Black)
présentés ont pour fonction de transfert
Obtenues, par exemple, avec les montages suivants

i 0
i 0
T2(j?)
T1(j?)
Sont avec des montages sans courant débité
Conséquence
T(j?) s(j?)/e(j?) ? T1(j?) T2(j?)
78
Lien entre réponse harmonique et comportement
temporel (réponse à léchelon)
Cas du passe bas
Réponse indicielle rapide bande passante élevée
1/? élevé
? faible
1/2??
BP-3dB
?
t ? ?
f ? 0
Comportement statique
79
ANALYSE HARMONIQUE
Système du deuxième ordre
80
Expressions générales
Laplace
p?j?
Etude harmonique
?
?2
p
p2
1 2 z j
-
2 z

1
?0
?02
?0
?02
Passe haut
1
1
?
?2
p
p2
1 2 z j
-
2 z

1
?0
?02
Passe bas
?0
?02
z
?0
Pulsation propre
Coefficient damortissement
81
?
?2
1 2 z j
-
?0
?02
Module
Phase
?
2
2 z
2
?2
?0
?
1 -
? artg

2 z
?02
?2
?0
1 -
?02
?
Variable réduite
Ces fonctions sont paramétrées en z
?0
3 cas z gt 1 z 1 z lt 1
82
p
p2
(1 ?1p)
(1 ?2p)
2 z

1
peut sécrire
Si z gt 1, le trinôme
?0
?02
?
?2
1 2 z j
(1 j?/?1)
(1 j?/?2)
peut sécrire
-
?0
?02
Tel que
1
?0

f0
1
1
f02
f1 f2
f1 f2
?02

?1 ?2
?1
?2
1
1
?1
f1
?1
2??1
1
1
?2
f2
?2
2??2
f1 f2
f1
f2
f0
f
?
Échelle log
?2
?1
?0
z gt 1
83
Nyquist
z gt 1
Bode
z 1
z lt 1
Passe bas
?0 1
z 50
?0 1
z 5
gtgt Ttf(1,1,100,1) gtgt bode (T)
gtgt Ttf(1,1,10,1) gtgt bode (T)
?1 ?2
p?j?
? ?0
0 dB
? ??
-?
0,01
100
0,1
10
1
1
Il faut monter haut en fréquence pour vérifier
ordre 2
z gt 1 équivalent à
(1 j?/?1)
(1 j?/?2)
84
Nyquist
z gt 1
Bode
z 1
z lt 1
?0 1
z 50
?0 1
z 5
? lt 0
? ?-?
? ?0
? ??
? ? -?/2 ???
? gt 0
Même lieu
Mais coordonnées des fréquences différentes
Il faut monter haut en fréquence pour vérifier
ordre 2
zoom
-?
? ??
gtgt Ttf(1,1,100,1) gtgt nyquist (T)
gtgt Ttf(1,1,10,1) gtgt nyquist (T)
85
z gt 1
Bode
Nyquist
z 1
z lt 1
- 6 dB
Cas particulier
Pôle double
1
?
?2
1 2 z j
-
?0
?02
?0 1
z 1
gtgt Ttf(1,1,2,1) gtgt bode (T)
1
z 1 équivalent à
2
(1 j?/?0)
86
z gt 1
Bode
Nyquist
z 1
z lt 1
1
?
?2
1 2 z j
-
?0
?02
? ?0
? ??
? gt 0
gtgt Ttf(1,1,2,1) gtgt nyquist (T)
Ce passe-bas est clairement un ordre 2 2
quadrants traversés
87
p
p2
z lt 1
2 z

1
?0
?02
?
?2
1 2 z j
-
?0
?02
2
2
?2
?
1 -

2 z
Le module
?02
?0
?R
?0
2
A une dérivée qui sannule pour une pulsation
particulière
1 -
2 z
Le module passe par un maximum à ?R appelée
pulsation de résonance
1
la résonance nexiste que si z lt
2
?R
?0
Si z ltlt 1,
88
Nyquist
z gt 1
Bode
z 1
z lt 1
1
?2
?
1 2 z j
-
?0
?02
?0 1
z 0,1
gtgt Ttf(1,1,0.2,1) gtgt bode (T)
à ?0 , ? - 90
1
I I
I I
2 z
2
1 -
z
1
2 z
?R
?0
2
1 -
2 z
1 0,02
0,98 1
?0
89
z gt 1
Bode
Nyquist
z 1
z lt 1
1
?
?2
1 2 z j
-
?0
?02
?0 1
z 0,1
gtgt Ttf(1,1,0.2,1) gtgt nyquist (T)
? ?0
? ??
? gt 0
-45
Résonance Augmentation du module Grande
variation angulaire sur une faible variation de
fréquence
-135
90
Lien entre réponse harmonique et comportement
temporel (réponse à léchelon)
Cas du passe bas
Équivalent à 2 premiers ordres
résonance
confondus
Peu marquée
Très séparés
Très marquée
z
0,707
1
0
z
0
1
Réponse oscillatoire
Il faut zoomer au voisinage de t 0 pour
vérifier ordre 2 Tangente horizontale et point
dinflexion
Faiblement amortie
gtgt Ttf(1,1,0.2,1) gtgt step (T)
gtgt Ttf(1,1,2,1) gtgt step (T)
gtgtTtf(1,1,10,1) gtgt step (T)
z 1
z 5
z 0,1
91
ANALYSE HARMONIQUE
Systèmes dordre supérieur à 2
Le tracé de Bode se fait par étapes successives,
en partant de tracés élémentaires connus
?
?
?
?
?2
?
j
(1 j )
(1 j ) (1 j )
1 2 z j
-
?1
?1
?1
?2
?0
?02
1
1
1
1
?
?
j
?
?
?2
?
(1 j )
(1 j ) (1 j )
1 2 z j
-
?1
?1
?1
?2
?0
?02
92
Ex. 1
1
1
?
?2
?
gtgt TAtf(1,1,0.2,1) gtgt bode (TA)
1 2 z j
(1 j )
-
?1
?0
?02
Passe bas Ordre 2, avec résonance
?0 1
z 0,1
?1 100
- 40 dB/déc
gtgt TTAT3 gtgt bode (T)
- 40 dB/déc
1 rad/s
gtgt T3tf(0, 1,1/100, 1) gtgt bode (T3)
- 60 dB/déc
Passe bas, Ordre 1
Sur la courbe de phase, les 2 cassures (séparées
par 2 décades) ne sinfluencent pratiquement pas
- 20 dB/déc
Asymptote oblique
100 rad/s
93
Ex. 2
?
?2
1
1 2 z j
-
?0
?02
gtgt Ttf(1,0.2,1,0,1) gtgt bode (T)
?
(1 j )
?1
Passe haut Ordre 2, avec résonance
?0 1
z 0,1
?1 100
40 dB/déc
gtgt Tt TT3 gtgt bode (Tt)
20 dB/déc
1 rad/s
40 dB/déc
gtgt T3tf(0, 1,1/100, 1) gtgt bode (T3)
Passe bas, Ordre 1
- 20 dB/déc
Dans ce cas (z0,1), les 2 cassures (séparées par
2 décades) ne sinfluencent pratiquement pas
100 rad/s
1
100
94
Ex. 3
?
?2
1
1 2 z j
-
?0
?02
gtgt T2tf(1,10,1,0,1) gtgt bode (T2)
?
(1 j )
?1
0,1
10
?0 1
z 5
?1 100
40 dB/déc
gtgt T T2T1 gtgt bode (T)
120 dB
80 dB
0,1 10
40 dB
gtgt T1tf(0, 1,1/100, 1) gtgt bode (T1)
0 dB
Passe bas, Ordre 1
3 cassures
100
- 20 dB/déc
0,1 et 10
La courbe réelle de phase  na pas le temps 
datteindre les asymptotes
95
ANALYSE HARMONIQUE
Principe, notion de transmittance Application à
lélectronique
96
ANALYSE HARMONIQUE
Principe , notion de transmittance Application à
lélectronique
97
Application n1
montages passifs, (étudiés en TD n 5)
montages passifs, (étudiés en TD n 6)
98
Application n2
Ordre 2, passif
Réponse harmonique de
ve(j?)
vs(j?)
99
vs(j?)
H(j?)
ve(j?)
ve(j?)
vs(j?)
j R1 L?
ZTH
R1 j L?
R1
ve(j?)
ETH
vs(j?)
R1 j L?
R2
vs(j?)
ETH
Par pont diviseur de tension
R2 (1/jC?) ZTH
R1
R2
Soit
vs(j?)
ve(j?)
R1 j L?
R2 (1/jC?) ZTH
j?/?n
vs(j?)

?
?2
ve(j?)
1 2 z j
Ordre 2, passif
-
?0
?02
100
vs(j?)
j? R2 C
Soit

ve(j?)
1 j? R2 C (L/R1) LC?2 (1R2/R1)
1
j?/?n
vs(j?)
Par identification
?n

R2 C
?
?2
ve(j?)
1 2 z j
-
?0
?02
1
?0
LC (1R2/R1)
A.N. R1 1,8 k? R2 1 k? L 1 mH
C 160 nF.
?n 6250 rad/s
?0 63,38 krad/s
fn ? 1 kHz
f0 ? 10 kHz
2 z
Doù z 5,1
R2 C (L/R1)
?0
Rem z gt 1 (2 racines réelles) signifie que le
polynôme dordre 2 sécrit
(1 j?/?1) (1j?/?2)
ou (1 jf/f1) (1jf/f2)
avec
f2
f1
A.N. f1 ? 1 kHz f2 ? 100 kHz
101
fN ? 1 kHz f1 ? 1 kHz f2 ? 100 kHz
vs(j?)
ve(j?)
jf/fN

(1 jf/f1) (1jf/f2)
102
Étude déjà vue
vs(j?)
jf/fN

fN ? 1 kHz f1 ? 1 kHz f2 ? 100 kHz
ve(j?)
(1 jf/f1) (1jf/f2)
1k
10k
100k
1M
100
0 dB
Tracés asymptotiques
-20 dB/dec
-20 dB/dec
vs(j?)
20 log
ve(j?)
20 dB/dec
?/2
0
- ?/2
103
vs(j?)
jf/fN

fN ? 1 kHz f1 ? 1 kHz f2 ? 100 kHz
(1 jf/f1) (1jf/f2)
ve(j?)
104
vs(j?)
jf/fN

fN ? 1 kHz f1 ? 1 kHz f2 ? 100 kHz
ve(j?)
(1 jf/f1) (1jf/f2)
gtgt T1tf(1/(2pi1e3), 0,0, 1) gtgt bode
(T1,2pi1e2,2pi1e6)
gtgt T2tf(0, 1,1/(2pi1e3), 1) gtgt bode
(T2,2pi1e2,2pi1e6)
gtgt T3tf(0, 1,1/(2pi100e3), 1) gtgt bode
(T3,2pi1e2,2pi1e6)
gtgt TT1T2T3 gtgt bode (T,2pi1e2,2pi1e6)
100 MHz
100 Hz
105
Interprétation
ve(j?)
vs(j?)
Comportement en BF
Comportement en HF
f 10 kHz
L? ltlt R1, R2, 1/C?
1/C? ltlt R1, R2, L?
I I 1 G 0 dB ? 0
f 1 kHz
f 100 kHz
Intégrateur à f ?8
I I 0,707 G - 3 dB ? ?/4
I I 0,707 G - 3 dB ? - ?/4
Dérivateur à f?0
REQ R1 // R2
R2Cp
R2

100 Hz
100 MHz
1 R2Cp
1/Cp R2
REQ
1

REQ Lp
1 (L/REQ)p
1
1
100 kHz
1kHz
2 ? REQ/L
2 ? R2 C
1
1
628 krad/s
6,28 krad/s
R2 C
REQ/L
106
Nyquist
gtgt nyquist (T)
Comportement en BF
I I 0,707 ? ?/4
f 1 kHz
f, ? ? 0
I I ? 0 ? ? ?/2
En milieu de bande
f, ? ? 0
f 10 kHz
f, ? ? ?
I I 1 ? 0
f, ? ? ?
I I ? 0 ? ? -?/2
f 100 kHz
I I 0,707 ? -?/4
Comportement en HF
Rem  presque  2 demi-cercles
107
Application n3 montage proposé en examen de
TP  circuit  2007
Ordre 2, passif
Il sagissait détablir la réponse harmonique
théorique et expérimentale
108
Première étape étude préalable du circuit
R1C1R2C2
Appliquons le théorème de Thévenin
De ce schéma réduit, on déduit, par pont
diviseur, Vs
après remplacement des expressions de ETH et
ZTH,
109
Deuxième étape schéma de départ, et Thévenin
aux bornes de C1
On aboutit à
110
Au final,
Daprès les valeurs numériques des composants
En remplaçant p par j?, on dispose de T(j?), puis
tracé de la réponse harmonique
dun filtre passe-bas, dordre 2
- pour f tendant vers 0, une atténuation
(conséquence du pont diviseur 0,45, visible sur
le schéma quand on retire les condensateurs)
- une fréquence propre 1,9 kHz,
- au-delà, une asymptote de 40 dB / décade
http//membres.lycos.fr/cepls/
Corrigé complet sous une rubrique du site
http//membres.lycos.fr/cepls/circuit/circuit.pdf
111
Nyquist
Ttf(0, 0.45 , 1/(11917)2, 21.9/11917, 1)
Transfer function
0.45
--------------------------------
7.042e-009 s2 0.0003189 s 1
gtgt nyquist (T)
gtgt bode (T)
? ? 0
? ? 8
? gt 0
112
Application n4
Vs(p)
Calculer
Ve(p)
VS1
1
VS1(p) Ve(p)
1 R C p
R C p
VS2(p) Ve(p)
VS2
1 R C p
1 - R C p
VS(p)
Vs(p)
VS1(p) VS2(p)

Ve(p)
1 R C p
1 - R C p
VS(p) Ve(p)
1 R C p
1 j ? R C
vs(j?)

Réponse harmonique
ve(j?)
1 j ? R C
113
1 j ? R C
Nouveau !
Une fonction complexe comme
1 j ?/?n
présente
1 j ?/?n
Même module que
Phase opposée
artg (?/?n)
- artg (?/?n)
20 log
1 j ?/?n
1 - j ?/?n
20 log
Même module, même gain
0
90
Phase inversée
0
-90
Ce nest pas un circuit à phase minimale
114
1 - j ?/?n
20 log
0 dB
numérateur
0
-90
1 j ? R C
vs(j?)
1

ve(j?)
20 log
1 j ? R C
1 j ?/?n
1
0 dB
dénominateur
0
-90
0 dB
0
Ce circuit est un déphaseur
-180
115
Application n5 montage à base dune source
liée
Ordre 1, actif
Calculer vs(jw) / ve(jw) Tracer sa réponse
harmonique Bode, Nyquist,
Rem on peut utiliser le formalisme p, puis
remplacer p par j? ou travailler directement en j?
116
Remarque par simplicité décriture, on omet
(j?) pour les grandeurs variables ve(j?)
sécrira ve
Posons ic, le courant circulant dans le
condensateur
(1)
(12)
(2)
soit
(3)
(21)
soit
117
Remarque par simplicité décriture, on omet
(j?) pour les grandeurs variables ve(j?)
sécrira ve
Expressions (12) de ve et (21) ic que lon
reporte dans (3)
(12)
(21)
(3)
Doù
On aboutit à
118
Application numérique.
Av - 2
2
2 krad/s
soit fn 318 Hz

1 k . 1 u
1
769rad/s

1 u (100 1000 200)
soit fd 122,5 Hz
119
2 krad/s
Rappel
1 j ?/?n
présente
1 j ?/?n
Même module que
Phase
- artg (?/?n)
T1tf(-1/2000, 1,1)
1 - j ?/?n
120
Av - 2
fn 318 Hz
fd 122,5 Hz
Tracé de Bode
Av
- 2
f?0
f? 8
- Avfd/fn
0,77
122,5 Hz
318 Hz
6 dB
-6 dB / oct
f
0 dB
-2,28 dB
180
0
10 Hz
100 Hz
1 kHz
10 kHz
100 kHz
1 Hz
121
Av - 2
fn 318 Hz
fd 122,5 Hz
2
Lieu de Nyquist
100 Hz
1
1 kHz
10 Hz
10 kHz
1 Hz
100 kHz
1
- 1
- 2
0,77
122
Application n6 montage à base dampli Op
(parfait) (vu en cours  SEA1 )
Ordre 2, actif
Calculer us(jw) / ue(jw) Tracer sa réponse
harmonique Bode, Nyquist.
123
RETARD PUR
124
Réponse harmonique dun retard pur
exp (Tp)
1
Module
p ? j?
exp (-j?T)
Phase ?R
- ?T
retard pur système linéaire
Système connu
retard
20 log Module 0 dB
20 log Module connu
?R - ?T
?S connue
20 log Module inchangé
Réponse harmonique de lassociation retard
système
? - ? T ?S
125
Exemple de base retard passe bas
1
?
?
(log)
Tracé de
-?/4
?S
- artg ??
Échelles non comparables !!!
1
Tracé de
?
?
0
T
?R
- ?T
(lin)
rad
-1
1
Doù le tracé de ? - ? T ?S
?
T
0 repoussé à linfini
(log)
Courbe en exponentielle
8
126
Construction graphique
La phase du premier ordre est à 90 alors que
la phase du retard na pas encore évolué
1
1
ltlt
Cas 1
?
T
1
1
?
?
(log)
T
-?/4
8
? - ? T ?S
8
127
1/?
Exemple numérique
1
1
ltlt
?
T 0,01 ? 1
T
Si T ltlt ?, la phase du premier ordre est à 90
alors que la phase du retard na pas encore évolué
Premier ordre seul
-90
à 10 rad/s, ?T 0,1 rad
Retard pur seul
Premier ordre retard
-6
exponentielle
exponentielle
128
Construction graphique
Cas 2
1
1
ltlt
?
T
La phase du retard est très importante alors que
la phase du premier ordre na pas encore évolué
1
(log)
?
1
?
T
La rotation de phase de 90 est négligeable
8
129
Exemple numérique
1
1
ltlt
T 100 ? 1
?
T
Premier ordre seul
Si T gtgt ?, la phase du retard est très importante
alors que la phase du premier ordre na pas
encore évolué
-qq
À 0,1 rad/s
Retard pur seul
Premier ordre retard
- 10 rad - 570
130
Les retards purs sont très présents dans des
domaines de la physique
thermique
acoustique
Transmission par des lignes, réseaux, en longues
distances
Ondes radio
Dans les asservissements, les retards purs sont
néfastes.
131
 CIRCUIT 
Transformées de Laplace Analyse
harmonique Quadripôles
132
QUADRIPOLES
Les différents quadripôles Applications
133
QUADRIPOLES
Les différents quadripôles Applications
134
On appelle entrée l'accès 11' sortie l'accès
22'
Tripôle
Matrice représentative de quadripôle Matrice 2
x 2
Un quadripôle contenant au moins une source (de
courant ou de tension) est un quadripôle actif.
Un quadripôle passif ne contient aucune source.
Tout quadripôle est complètement caractérisé par
les 4 éléments dune de ses matrices
représentatives. Il existe plusieurs matrices
représentatives.
135
Matrice dimpédance
U1 Z11I1 Z12I2 U2 Z21I1 Z22I2
On  mesure  la valeur des éléments en imposant
une source à un accès et laissant lautre en
circuit ouvert.
Circuit équivalent
I20
I10
impédance d'entrée à circuit ouvert
impédance de sortie à circuit ouvert
impédances de transfert à circuit ouvert
136
Matrice dadmittance
I1 Y11U1 Y12U2 I2 Y21U1 Y22U2
La matrice Y est linverse de la matrice Z.
Circuit équivalent
Elle nexiste donc pas toujours (il faut que Z,
si elle existe, soit inversible)
admittance d'entrée en court-circuit
admittance de sortie en court-circuit
admittances de transfert en court-circuit.
137
Matrices de chaîne T
Rem le coef A représente U1/U2 à I2 nul
Matrices de transmission t
Rem confusion possible avec matrice de chaîne
Matrices hybrides H
Rem les éléments des matrices hybrides sont de
différentes dimensions (V/A, A/V, sans
dimension).
Matrices autres
138
Il existe des relations de passage pour
déterminer une matrice à partir dune autre.
Pourquoi autant de matrices ?
139
1) Lors de connexion entre quadripôles, on
choisit une matrice ou une autre pour calculer
plus facilement la matrice résultante.
série Z Z Z
parallèle Y Y Y
Connexion cascade
Matrice de chaîne T T . T
140
2) Selon le montage électronique, on choisit une
matrice qui existe et qui est  facile  (à
identifier). Exemple sur un quadripôle passif
(exemple 1)
I1
I2
U2
U1
Il vient
impédance d'entrée à circuit ouvert
Z
Z
impédance de sortie à circuit ouvert
141
2) Selon le montage électronique, on choisit une
matrice qui existe et qui est  facile  (à
identifier). Exemple sur un quadripôle passif
(exemple 1)
I1
I2
U2
U1
impédances de transfert à circuit ouvert.
Z
Z
142
2) Selon le montage électronique, on choisit une
matrice qui existe et qui est  facile  (à
identifier). Exemple sur un quadripôle passif
(exemple 1)
I1
I2
U2
U1
doù
Pour info
143
2) Selon le montage électronique, on choisit une
matrice qui existe et qui est  facile  (à
identifier). Autre exemple sur un quadripôle
passif (exemple 2)
impédance d'entrée à circuit ouvert.
impédance de sortie à circuit ouvert.
impédances de transfert à circuit ouvert.
Il vient
144
2) Selon le montage électronique, on choisit une
matrice qui existe et qui est  facile  (à
identifier). Autre exemple sur un quadripôle
passif (exemple 3)
Il vient
Rem 1 si on fait Zb ? 0, on retrouve la matrice
Z du quadripôle précédent
Rem 2 si on fait Za ? 0, on détermine la
matrice Z(p) du quadripôle suivant
Il vient
utilisé en T.P.  circuit  quadripôle passif
sans pertes
145
2) Selon le montage électronique, on choisit une
matrice qui existe et qui est  facile  (à
identifier). Autre exemple sur un quadripôle
passif (exemple 4)
impédance d'entrée à circuit ouvert.
impédance de sortie à circuit ouvert.
impédances de transfert à circuit ouvert.
Il vient
146
Pour info, matrice hybride
Quadripôles en cascade la matrice de chaîne T
résultante est le produit des matrices T de
chaque quadripôles (ordre des matrices ordre
des Quadripôles, avec cette écriture des matrices)
Il vient
Produit des matrices
147
Intéressant quadripôles en Z du transformateur
M mutuelle inductance
Transformateur seul
M2 L1 L2
On montre que
association de 2 quadripôles
Transformateur chargé
soit
adapté si Zs Ze Zu n2
avec

148
QUADRIPOLES
Les différents quadripôles Applications
149
1) Fonction de transfert dun réseau passif par
quadripole
Calculer U2(p)/U1(p)
On reconnaît des  quadripôles  en cascade la
matrice de chaîne T résultante est le produit des
matrices T de chaque quadripôle.
Produit des matrices
Il vient
le coef A représente U1/U2 à I2 nul
U2(p) 1

U1(p) 1RCp
Doù une façon de calculer la fonction de
transfert U2/U1 1/A
150
2) Continuons le réseau
Rappel
(que lon pouvait écrire directement)

1
V2(p)
gt

déjà vu !
V1(p)
151
3) Continuons le réseau
Il  suffit  dajouter une matrice dans le
produit
Limitons-nous au calcul du seul coefficient utile

Doù, après développement
À noter quelque part !
Et ce, avec R1R2R3R et C1C2C3C
V2(p)
V1(p)
152
4) Modèle du transistor bipolaire en régime
dynamique linéaire petits signaux quadripôle
B
C
E
Son fonctionnement peut être décrit par un
quadripôle hybride. Chaque paramètre (h11, h12,
h21, h22) représente un phénomène distinct au
sein du transistor. (Par exemple le coefficient
ß est h21).
Rem il existe dautres modèles pour représenter
le fonctionnement du transistor bipolaire en
régime dynamique linéaire petits signaux.
153
5) adapter une charge à une source, de façon à
maximiser le transfert de puissance moyenne
Cas basique on dispose dune source, dune
charge, mais non adaptée
P est fonction de RL
P passe par un maximum pour RL Rth
154
5) adapter une charge à une source, de façon à
maximiser le transfert de puissance moyenne
Cas basique on dispose dune source, dune
charge, mais non adaptée
On intercale un quadripôle
(1)
(2)
De (2) on déduit I2 que lon place dans (1), pour
en sortir U1/I1 Zin
Rem relation utilisée tout à lheure
Un calcul similaire donne U2/I2 (à Eg 0) )
Zout
155
5) adapter une charge à une source, de façon à
maximiser le transfert de puissance moyenne
(suite)
Le quadripôle doit être réglé pour avoir
(condition de transfert maximal de puissance)
max
Et Q ayant le moins de pertes possible
max
Sans résistance
ou selon un cahier des charges donnant
latténuation sortie/entrée.
QUADRIPOLE ADAPTATEUR DIMPEDANCES
156
Exemples de montage adaptateur dimpédance cas
de figure fréquent (en HF) quadripôle passif
Les quadripôles passifs (sans source interne),
sont définis par 3 paramètres.
donne
Pour un quadripôle passif, nous avons Z21 Z12
Si ce quadripôle passif est symétrique, nous
avons Z11 Z22
(symétrique permutation entrée/sortie sans
conséquence)
157
Exemple concret (purement résistif)
600 Ohm
50 Ohm
Adapté 600 Ohm
Adapté 50 Ohm
612,21
34,991
34,991
51,01
Logiciel RFSIM99 (disponible sur le Web)
600
Vue du point (1), limpédance est 577,13
34,991 // (16,01950)
50
Vue du point (2), limpédance est 16,019
34,991 // (577,13600)
158
Il existe aussi le quadripôle en PI

• Peut se calculer par
• Association de matrices de chaînes T
• - Passage étoile/triangle (Kennelly), si
  quadripôle en Té connu

159
KENNELLY
Et réciproquement
Source Wikipedia
160
Même exemple concret
600 Ohm
50 Ohm
Adapté 600 Ohm
Adapté 50 Ohm
Vue du point (1), limpédance est 1,873 k //
857,365 (51,981 // 50) 600
Vue du point (2), limpédance est 51,981 //
(857,365 (1,873 k // 600) 50
161
Exemples de montage adaptateur dimpédance en PI
Extrait de schéma analysé en ERII4 (sujet
dexamen)
162
Exemples de montage adaptateur dimpédance en PI
Extrait de schéma analysé en ERII4 (sujet
dexamen)
On atténue puis on amplifie
Mais cest mieux que dêtre désadapté
Et plus robuste en cas de fluctuation dimpédance