MATEMATINES LOGIKOS IR AIBIU ALGEBROS PAGRINDAI

1
MATEMATINES LOGIKOS IR AIBIU ALGEBROS PAGRINDAI
Matematika geografijoje II dalis
2
Matematine logika (1)
Induktyvioji logika tiria samprotavimo
desningumus, kurie priklauso ne nuo mastymo
turinio, o nuo jo formos. Logikos
matematizavimo ideja pirmasis pasiule G.Leibnicas
(1646-1716), kuris mane, kad visas turimas
žiniais galima išskaidyti i paprasciausius
elementus, pažymeti juos specialiais simboliais,
apibrežti veiksmu su tais simboliais teisykles
ir bus galima lengvai gauti naujas išvadas,
patikrinti ar teisingi samprotavimai. Taigi,
iškilo poreikis ivesti simbolius savokoms ir
ryšiams tarp ju žymeti. Leibnico ideja iš
principo neigyvendinama, bet jo mintis iš dalies
realizavo Dž. Bulis (1815-1864) matematizuodamas
logika. Apžvelgsime elementarias jos savokas.
3
Matematine logika (2)
Teiginiai ir predikatai. Pavyzdžiui, 48 dalijasi
iš 6, Kur vakar buvai?, 5lt3 Apibrežimas.
Teiginys tai sakinys, kuris išreiškia tiesa
arba netiesa. Teiginys gali buti užrašytas
raidemis ar kitais simboliais, pvz., p,r,q.
Teiginio teisingumo reikšme yra funkcija
T(p) Jei teiginys p išreiškia tiesa, T(p)1,
kitaip T(p)0. Matematine logika ir tiria, kaip
nustatyti sudetingu teiginiu teisingumo
reikšme. Pavyzdžiai T (2gt0) 1 T (2lt0) 0
4
Matematine logika (3)
Yra sakiniu, kurie nera teiginiai, pavyzdžiui,
klausiamasis sakinys. Išnagrinekime dar keleta
pavyzdžiu, kurie skamba labai panašiai i
teiginius xgt0 Ežeras yra i šiaure nuo
Vilniaus. Upe iteka i ežera. Neimanoma
nustatyti šiu teiginiu teisingumo, nežinant
kintamuju x, ežeras, upe reikšmiu
priklausomai nuo ju atitinkami teiginiai gali
tapti ir klaidingais, ir teisingais.
Apibrežimas. Predikatas tai sakinys su
kintamaisiais, kuris tampa teiginiu vietoje
kintamuju irašius konkrecias ju
reikšmes. Predikatus žymesime kaip ju kintamuju
funkcijas didžiosiomis raidemis, pvz., P(a, b).
5
Matematine logika (4)
Logines operacijos Teiginiai skirstomi i
paprastuosius ir sudetinius. Paprastuoju laikomas
eiginys, kurio negalima suskaidyti i kitus
teiginius. Sudetiniai teiginiai sudaromi iš kitu
teiginiu (paprastu ar sudetiniu) sujungiant juos
loginemis jungtimis. Išskiriamos penkios
logines jungtys netiesa, kad arba
ir tada ir tik tada, kai jeigu ...,
tai. Sudetiniu teiginiu sudarymas naudojantis
šiomis operacijomis tai logines operacijos.
6
Matematine logika (5)

• Neigimas.
• Jei p teiginys, tai teiginys netiesa, kad p
  (dažnai sakoma ne p) vadinamas teiginio p
  neiginiu ir žymimas p
• Jo teisingumo reikšme T(p)1-T(p).
• 2. Disjunkcija (logine sudetis).
• Jei p ir q teiginiai, tai teiginys p arba q
  vadinamas teiginiu p ir q disjunkcija arba logine
  suma ir žymimas p V q
• Teiginiu p ir q disjunkcija neteisinga
  vieninteliu atveju kai p ir q abu neteisingi.
• 3. Konjunkcija (logine daugyba).
• Jei p ir q teiginiai, tai teiginys p ir q
  vadinamas teiginiu p ir q konjunkcija arba logine
  sandauga ir žymimas pq.
• Teiginiu p ir q konjunkcija teisinga vieninteliu
  atveju kai p ir q abu kartu yra teisingi.

7
Matematine logika (6)
4. Implikacija. Jei p ir q teiginiai, tai
teiginys jeigu p, tai q vadinamas teiginiu p ir
q implikacija ir žymimas pgtq. Implikacija pgtq
yra neteisingas teiginys tada ir tik tada, kai p
teisingas, o q neteisingas. Tai idomi savybe,
praktiškai reiškianti, kad iš neteisingos
prielaidos bet kokia išvada yra formaliai
korektiška. Implikacija dar gali buti skaitoma
iš p išplaukia q p yra teiginio q pakankamoji
salyga q yra teiginio p butinoji salyga. 5.
Ekvivalencija. Jei p ir q teiginiai, tai
teiginys p tada ir tik tada, kai q vadinamas
teiginiu p ir q ekvivalencija (tapatumu).
Ekvivalencija žymima p?q arba p ? q. Ji
teisinga, kai p ir q teisingumo reikšmes sutampa,
o klaidinga kai jos skiriasi. Dar skaitoma p
butina ir pakankama, kad butu q arba q butina
ir pakankama, kad butu p.
8
Matematine logika (7)
Galima sudaryti elementariu loginiu operaciju
teisingumo reikšmiu lenteles.
p q p ? q p q p ? q p ? q
0 0 0 0 1 1
0 1 1 0 1 0
1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1
Sudetingesni teiginiai sudaromi taikant keleta
loginiu operaciju, pavyzdžiui, (p ? q) (q ?
r).
9
Matematine logika (8)
Pavyzdžiai p metai turi 12 menesiu, q
sniegas yra žalias, r sniegas yra
baltas. p, q, r - ? T (p V q) 1 T(p V q V
r) 1 T(pr) 1 T(qr) 0 T(pqr)
0 T(pgtq) 0 T(qgtp) 1 T (p ? r) 1

1. T (p V q) ?
2. T(p V q V r) ?
3. T(pr) ?
4. T(qr) ?
5. T (pqr) ?
6. T(pgtq) ?
7. T(qgt p) ?
8. T (p ? r) ?

10
Matematine logika (9)
Logikos algebra Apibrežiant logines operacijas
jungiamiems teiginiams nekeliami jokie
reikalavimai, o domina tik ju teisingumo
reikšmes. Taigi, teiginius galima žymeti tiesiog
raidemis. Pacios raides, taip pat elementarios
operacijos vadinamos pagrindinemis loginemis
formomis. Jei juose vietoje raidžiu irašysime
kokius nors kitus teiginius, paprastus ar
sudetinius, vel gausime teiginius. Logine forma
tai reiškinys, gautas baigtini skaiciu kartu
panaudojus loginiu operaciju ženklus ir
skliaustus raidems sujungti. Pavyzdžiui,
logines formos yra (p ? q) ? (p r), ((p ? q) ?
p r)) ? r. Dvi logines formos, kuriu
teisingumo reikšmiu lenteles sutampa, vadinamos
logiškai ekvivalenciomis.
11
Matematine logika (11)
Logine forma, kurios teisingumo reikšme yra 1
nepriklausomai nuo ja sudaranciu teiginiu
teisingumo reikšmiu, vadinama tautologija ir
žymima I. Logine forma, kurios teisingumo
reikšme yra 0 nepriklausomai nuo ja sudaranciu
teiginiu teisingumo reikšmiu, vadinama tapaciai
klaidinga (loginiu nuliu) ir žymima O.
Akivaizdu, kad I ? O, O ? I. Matome, kad
logines formos panašios i algebros reiškinius
(sudetis, daugyba, nulis, vienetas, lygybe).
Aptarsime paprasciausias loginiu operaciju
savybes.
12
Matematine logika (12)
Dvigubo neigimo desnis. p ? p Tai
pagrindine neigimo savybe. Desnio teisingumu
isitikiname iš loginiu operaciju teisingumo
reikšmiu lenteles. Disjunkcijos savybes p ? p
? p? (disjunkcijos idempotencijos desnis) p ?
p ? I (negalimo treciojo desnis) p ? I ? I p
? q ? q ? p (komutatyvumo desnis) (p ? q) ? r
? p ? q ? r) (asociatyvumo desnis) p ? O ? p.
13
Matematine logika (13)
Konjunkcijos savybes p p ? p (konjunkcijos
idempotencijos desnis) p p ? O
(prieštaravimo desnis) p I ? p p q ? q
p (komutatyvumo desnis) (p q) r ? p q
r) (asociatyvumo desnis) p O ? O Kai kurios
implikacijos savybes (p ? q) ? p ? q (p ? q)
? ((?? p ? q)?? (p ? q??))
14
Matematine logika (14)
Logikos desniai Kiekviena tautologija vadinama
logikos desniu. Kai kurie desniai buvo mineti
nagrinejant loginiu operaciju savybes. Visus
desnius galima irodyti remiantis ju teisingumo
reikšmiu lentelemis. Kontrapozicijos desnis (p
? q) ? ( q ? p) Silogizmo desnis. ((p ? p1)
?? (p1 ? q)) ? (p ? q) ? I De Morgano
desniai. (p ? q) ? p q (p q) ? p ?
q
15
Matematine logika (15)
Prieštaros (suvedimo i prieštaravima) desnis (p
q) ? (r r) ? (p ? q) Teisingos išvados
taisykle (modus ponens) Jei teiginiai p ir p ? q
yra teisingi, tai ir q teisingas. (p (p ? q)) ?
q Neteisingos išvados taisykle (modus
tollens) Jei teiginys p ? q yra teisingas, o q
neteisingas, tai ir p neteisingas. ((p ? q)
q ) ? p
16
Užduotys
Sužymekite predikatus ir užrašykite logine
forma Egzamino perlaikymas yra nemokamas tik
tuo atveju, jei studentas negalejo atvykti ir
pateikia atitinkama pažyma arba perlaikant
egzamina pirma karta jei studentas yra socialiai
remtinas Studentas išlaiko egzamina tuo
atveju, jei jis gauna ne mažiau kaip 5 balus už
pratybas ir ne mažiau kaip 5 balus už teorini
kursa, arba jei jis gauna mažiau kaip 5 balus už
pratybas, bet ne mažiau kaip 9 balus už teorini
kursa. Sudarykite loginiu formu teisingumo
reikšmiu lenteles ( p ? q) ? p q
(p ? q) r p ? (q ? r)
17
Užduotys
Raidemis p, q ir r pažymeti teiginiai p
"Rytis yra studentas" q "Vilius yra studentas
" r "Gediminas yra studentas s Vilius
yra studentas . Užrašykite logine forma
teiginius Ne vienas iš šiu vaikinu nera
studentas Bent du iš šiu vaikinu nera
studentai Rytis ir Vilius arba abu yra
studentai, arba abu nera Arba Rytis arba Vilius
yra studentai (bet ne abu) Paaiškinkite, ka
reiškia formules, sugalvokite pavyzdžiu p q ?
r p ? (q ? r)
18
Aibiu algebros pagrindai (1)
Aibe yra viena iš pagrindiniu matematikos savoku.
Kaip savoka visumos elementu, turinciu juos
jungianti požymi, ji atsiranda praktiškai
kiekvienoje teorijoje, nors žodis aibe ir
nevartojamas. Todel svarbu moketi iš turimu aibiu
konstruoti naujas aibes, t.y., moketi aibiu
veiksmus ir pagrindines ju savybes. Jei aibe
apibrežta ne išvardijant elementus, o kokia nors
taisykle, gali buti taip, kad ji netures ne vieno
elemento. Tokia (apibrežta) aibe vadinsime
tušciaja aibe ir žymesime Ø . Pavyzdžiui, tokia
yra aibe Lietuvos susituokusiu gyventoju,
priklausanciu amžiaus grupei nuo 0 iki 10
metu. Jei kiekvienas aibes A elementas yra ir
aibes B elementas, sakoma, kad A yra B poaibis, o
B aibes A viršaibis. Tai žymima A ? B arba B ?
A. Pavyzdžiui, a, b, c ? a, b, c, d.
19
Aibiu algebros pagrindai (2)
Remiantis poaibio apibrežimu, kiekviena aibe yra
savo pacios poaibis. Tušciaja aibe galima
laikyti bet kurios kitos aibes poaibiu. A ? A Ø
? A. Šie du aibes A poaibiai vadinami
netiesioginiais, o kiti (jei ju yra)
tiesioginiais. Laikysime, kad visi vienos aibes
elementai yra skirtingi. Jei dvi aibes A ir B
turi tuos pacius elementus (tuo atveju jos yra
viena kitos poaibiai), jas vadinsime lygiomis ir
rašysime A B. Nagrinedami konkretu tam tikros
teorijos klausima, niekada nesusiduriame su
visomis galimomis aibemis, o tik su tomis, kurios
tiesiogiai siejasi su sprendžiamu uždaviniu.
Todel patogu apibrežti universaliaja aibe I, kuri
butu visu toje teorijoje nagrinejamu aibiu
viršaibis. Tada bet kuri tos visumos aibe A yra I
poaibis. Pavyzdžiui, ivairios amžiaus grupes,
dirbanciuju tam tikrose ukio šakose, moteru,
alkoholiku, imigrantu aibes yra Gyventoju
universaliosios aibes poaibiai.
20
Aibiu algebros pagrindai (3)
Aibiu sudetis. Aibiu A ir B suma arba junginiu
vadinama aibe, sudaryta iš visu elementu,
priklausanciu bent vienai iš duotuju aibiu. A
ir B suma žymima A ? B arba A B. Bendrieji
sudedamu aibiu elementai ieina i suma tik viena
karta (pagal susitarima, kad aibes elementai yra
skirtingi). Pavyzdžiui, 1,2,3?1,3,4,71,2,3
,4,7 mergaites ? berniukaivaikai.
Aibiu sudetis atitinka teiginiu disjunkcija A
B a a ? A ? a ? B arba a ? A ? B ? a ?
A ? a ? B Toks formalus apibrežimas
patogus, kai aibes apibrežtos tik nurodant ju
požymius. Pavyzdžiui, kai A x P(x) ir B
x Q(x), A ? B x P(x) ? Q(x).
21
Aibiu algebros pagrindai (4)
Aibiu sudeties savybes Jeigu A ? B, tai A ? B
B. A ? B B ? A (komutatyvumas) (A ? B) ? C
A ? (B ? C) (asociatyvumas) A ? A A A ? Ø
A A ? I I Pirmosios trys savybes
akivaizdžios likusios trys yra pirmosios savybes
išvados. Dauguma savybiu galima išplesti bet
kokiam skaiciui aibiu.
B
A
A ? B
22
Aibiu algebros pagrindai (5)
Aibiu daugyba. Aibiu A ir B sankirta arba
sandauga vadinama aibe, sudaryta iš visu
elementu, priklausanciu abiems iš duotuju aibiu.
A ir B sankirta žymima A ? B arba
AB. Pavyzdžiui, 1,2,3 ? 1,3,5,7 1,3
moterys ? vaikaimergaites moterys ?
berniukai Ø. Aibiu daugyba atitinka teiginiu
konjunkcija A ? B a a ? A a ? B arba a
? A ? B ? a ?A a ? B
Pavyzdžiui, kai A x P(x) ir B x Q(x),
A ? B x P(x) Q(x).
B
A
B
A
A ? B
23
Aibiu algebros pagrindai (5)

• Aibiu daugybos savybes.
• Jeigu A ? B, tai A ? B A.
• A ? B B ? A (komutatyvumas)
• (A ? B) ? C A ? (B ? C) ? (asociatyvumas)
• (A ? B) ? C (A ? C) ? ? (B ? C) (daugybos
  distributyvumas sudeties atžvilgiu)
• A ? A A
• A ? Ø Ø
• A ? I A
• Kaip ir sudeties atveju, dauguma savybiu galima
  praplesti bet kokiam skaiciui aibiu.

24
Aibiu algebros pagrindai (6)
Aibiu atimtis Aibiu A ir B skirtumu vadinama
aibe tu aibes A elementu, kurie nepriklauso aibei
B. A ir B skirtumas žymimas A\B. Pavyzdžiui,
1,2,3,4,7 \ 1,2,3 4,7 vaikai\vyraim
ergaites moterys\berniukaimoterys.
Aibiu skirtumas taip pat gali buti užrašytas
teiginiu A \ B a (a ? A) (a ? B) arba a
? A\B ? (a ? A) (a ?B) Pavyzdžiui,
kai A x P(x) ir B x Q(x), A\??B x
P(x) Q(x). Skirtumas I\A vadinamas aibes A
papildiniu ir žymimas A . A a a ?A
B
A
B
A
A \ B
25
Aibiu algebros pagrindai (7)
Aibiu skirtumo savybes A\B A ? B Jeigu A ?
B, tai A\B Ø A\ Ø A Jeigu A ? B Ø , tai
A\B A (A\B) ? C (A ? C) \ (B ? C) (A\B) ? B
A ? B Aibiu papildinio savybes A ? A I A
? A Ø I Ø Ø I A A
26
Aibiu algebros pagrindai (8)
Remiantis diagramomis, lengvai
galima patikrinti dvi lygybes, vadinamas de
Morgano desniais (jie visiškai analogiški logikos
de Morgano desniams) (A ? B) A ? B (A ?
B) A ? B
Oilerio ir Veno diagramos Dažnai patogu aibes
vaizduoti grafiškai. Paveiksle parodytos
figuros, reiškiancios aibiu operaciju rezultatus.
27
Aibiu algebros pagrindai (9)
Kvantoriai Iš predikato P(x) teigini gausime
tik iraše vietoje x kokia nors konkrecia reikšme.
Pavyzdžiui, Vidutines gyventoju grupes
pajamos yra 1000 Lt/men, jei I Gyventojai, bus
teisingas, jei gyventojai gyventojai su
aukštuoju išsilavinimu. Teiginius iš predikatu
galima sudaryti ir naudojant kvantorius. Sakinys
(aibeje A) egzistuoja toks elementas, kuriam
P(x) teisingas teiginys sutrumpintai rašomas
(?x ? A) P(x) ?x P(x) jei A universali.
Pavyzdžiui, egzistuoja gyventojas, kurio
pajamos lygios 1000 Lt/men. Ženklas ?
vadinamas egzistavimo kvantoriumi. (angl.
exists).
28
Aibiu algebros pagrindai (10)
Sakinys Visiems x (iš aibes A) teiginys P(x)
yra teisingas sutrumpintai užrašomas (?x ? A)
P(x) ?x P(x) jei aibe A yra universali.
Ženklas ? vadinamas visuotinumo kvantoriumi.
(angl. all). Pavyzdžiui, Kiekvieno gyventojo
(x) su aukštuoju išsilavinimu (A) pajamos ne
mažesnes 1000 Lt/men. Egzistuoja gyventojas (x)
su aukštuoju išsilavinimu (A), kurio pajamos yra
mažesnes kaip 1000 Lt/men. ? Netiesa, kad
kiekvieno gyventojo (x) su aukštuoju išsilavinimu
(A) pajamos ne mažesnes 1000 Lt/men. Teiginiai,
sudaryti su kvantoriais, jungiami pagal tas
pacias taisykles, kaip ir paprasti teiginiai.
Kvantoriu tarpusavio santykis (?x ? A) P(x)
? (?x ? A) P(x). (?x ? A) P(x) ? (?x ? A)
P(x) Labai svarbu tiksliai suformuluoti
teiginius ir atskirti, kurie iš ju yra logiškai
ekvivalentus, o kurie ne.
29
Aibiu algebros pagrindai (11)
Aibiu Dekarto daugyba. Vienodiems objektams
atskirti paprastai vartojame numerius,
pavyzdžiui, telefono abonentu. Taciau kartais
vieno numerio nepakanka objektui žymeti ir tenka
jam priskirti du skaicius ar kokiu kitokiu ženklu
pora. Poru sudarymas atitinka aibiu Dekarto
daugybos operacija. Aibiu A ir B Dekarto
sandauga (kombinatorine sandauga) vadinama aibe
poru (a,b), kuriuose a yra bet kuris aibes A
elementas, o b bet kuris B elementas. Aibiu A
ir B Dekarto sandauga žymima A ? B Pavyzdžiui,
1,2 x 3,4 (1,3), (2,3), (1,4), (2,4) A ?
A (Dekarto kvadratas).
30
Aibiu algebros pagrindai (12)
Dekarto daugyba nera nei komutatyvi, nei
asociatyvi, bet pasižymi distributyvumu aibiu
sajungos ir sankirtos atžvilgiu. (A ? B) ? C
(A ? C) ? (B ? C) (A ? B) ? C (A ? C) ? (B ?
C) Dekarto daugyba galima praplesti bet kokiam
skaiciui aibiu A1 x A2 x ... x An. Nesunku
pastebeti, kad jei visos aibes Ai yra baigtines
ir kiekviena turi po mi elementu, tai Dekarto
sandaugoje A1 x A2 x ... x An yra m1m2m3...mn
elementu. Jei bent viena aibe begaline
sandauga taip pat begaline. Pavyzdžiui, jei A
1 o B R, tai geometriškai sandauga galima
pavaizduoti kaip tiese, lygiagrecia y ašiai
einancia per taška (1,0).
31
Užduotys
Kokias aibes apibrežia predikatai? Raskite šiu
aibiu sankirtas poromis. (x,y) ((0 x 2) V
(3 x 4)) y?R. Pavaizduoti. (x,y) x ? N
y ? N (x,y) x2y2 1 y gt 0 Ar gali
aibe tureti tik 2 tiesioginius poaibius?
Pagriskite atsakyma. Pavaizduokite Veno
diagramomis aibes I studentai, P pažangus
studentai, D dirbantys studentai, M
moteriškos lyties studentai, A studentai,
esantys akademinese atostogose, J
studijuojancios merginos, jaunesnes, kaip 18
metu. Raskite P, D ir A sankirtos papildini, M ir
D sajungos papildini. Ar teisingas teiginys
Jeigu A\B Ø , tai A yra B poaibis ? Irodykite.
32
Užduotys
Diagramoje pavaizduotos aibes, apribotos
elipsemis (X ir F), apskritimu (A), bei vidiniu
kvadratu (R). Išorinis kvadratas žymi
universaliaja aibe. Kokia aibiu algebros formule
galima isreikšti uždažytas aibes?
33
Binariniai saryšiai (1)
Saryšis (ryšys, priklausomybe) gali sieti du ar
daugiau tos pacios arba skirtingu aibiu elementu.
Saryšis tarp dvieju elementu vadinamas
binariniu. Tai tam tikras požymis, jungiantis
tuos elementus. Pavyzdžiui, santuoka yra
binarinis saryšis tarp vyru ir moteru aibiu.
Galimas saryšis toje pacioje aibeje. Tiksliai
neapibrežta, dar tik intuityviai suvokiama saryši
aibeje arba tarp dvieju aibiu Dekarto sandaugos
pagalba galima nagrineti kaip konkretu matematini
objekta. Apibrežimas. Saryšis f? ? A x B tarp
aibiu A ir B elementu vadinamas funkcija
(funkciniu saryšiu) jei ((x, y1) ? f (x, y2) ?
f) gt (y1 ? y2) Praktiškai tai reiškia, kad
kiekviena x iš aibes A atitinka vienintelis y iš
B. Šis apibrežimas gal ir ne visai iprastas, bet
labai konkretus funkcija tai tam tikru budu
sudaryta aibe.
34
Binariniai saryšiai (2)
Apibrežimai. Saryšis f ? A x A vadinamas
refleksyviu, jei kiekvienas A elementas a tuo
saryšiu yra susietas pats su savimi. (?a ? A)
(a, a) ? f Saryšis f ? A x A vadinamas
simetriniu, jei kiekviena aibes A elementu pora
(a,b) atitinka pora (b, a) ,susieta tuo paciu
saryšiu. ? (a, b) ? f (b, a) ? f Saryšis f ?
A x A vadinamas tranzityviu, jei elementams a ir
b bei b ir c esant susietiems tuo saryšiu, juo
susieti ir elementai a ir c. ?(a, b) ?f ir (b,
c) ? f (a, c) ? f
35
Binariniai saryšiai (3)
Pavyzdžiui, santuoka žmoniu aibeje yra
simetrinis, bet ne refleksyvus saryšis. Ar jis
yra tranzityvus? Saryšis vyresnis už toje
pacioje aibeje yra tranzityvus, bet ne simetrinis
ir ne refleksyvus. Saryšis gyvena viename
mieste turi visas 3 savybes. Apibrežimas.
Saryšis f ? A x A, kuris yra refleksyvus,
simetrinis ir tranzityvus, vadinamas
ekvivalentumo saryšiu. Taigi, jei modelyje mus
domina tik žmogaus gyvenamoji vieta, du
skirtingus asmenis, gyvenancius viename mieste,
matematiniu požiuriu galima laikyti vienodais.
Visuma aibes A elementu, susietu ekvivalentumo
saryšiu su jos elementu a, vadinama ekvivalentumo
klase ir žymima Ka.
36
Binariniai saryšiai (4)
Teorema. Bet kurios ekvivalentumo klases arba
sutampa, arba neturi bendru elementu. Irodymas.
Tegu aibeje A apibrežtas ekvivalentumo saryšis
f. Tarkime, kad egzistuoja Ka ir Kb, turincios
bendra elementa c. Tegu a ir b bet kurie
elementai atitinkamai iš Ka ir Kb. Iš
komutatyvumo reikalavimo (a, c) ? f ir (c, b) ?
f Tada iš tranzityvumo savybes (a, b) ? f
Taigi, a ? Kb ir b ? Ka Tai reiškia, kad Ka
? Kb ir Kb ? Ka. Vadinasi, Ka ? Kb. Aibe,
kurioje apibrežtas ekvivalentumo saryšis,
suskirstoma i nesikertancias ekvivalentumo
klases. Taigi, apibrežus kokia nors aibes
skirstymo salyga, užtenka patikrinti tris
paprastas savybes ir žinosime, ar prasminga pagal
ja klasifikuoti.
37
Binariniai saryšiai (5)
Apibrežimai Saryšis f ? A x A turi trichotomijos
savybe, jei su kiekviena aibes A elementu pora
(a,b) teisingas vienas ir tik vienas iš šiu
teiginiu 1) (a, b) ? f 2) (b, a) ? f 3) a
b Saryšis f ? A x A vadinamas tiesines tvarkos
saryšiu, jei jis yra tranzityvus ir turi
trichotomijos savybe. Aibe, kurioje apibrežtas
tiesines tvarkos saryšis, vadinama sutvarkyta
aibe. Tokio saryšio pavyzdys naudojamas GIS
yra dešineje. Pagal ji visus objektus
geografiniame sluoksnyje galima sutvarkyti taip,
kad jie seks vienas po kito tolygiai keiciantis
požymiui. Binarinius saryšius ir ju savybes
galima apibendrinti keleto aibiu Dekarto
sandaugai.
38
Užduotys
Kokios yra saryšio savybes (refleksyvus,
simetrinis, tranzityvus, trichotomiškas,
ekvivalentumo, tiesines tvarkos)? yra
didesnis ežeru aibeje turi daugiau vaiku už
motinu aibeje yra brolis žmoniu
aibeje kertasi su gatviu aibeje yra toliau
miestu aibeje
39
Kombinatorikos elementai (1)
Nustateme, kad tiesiškai sutvarkyti aibe reiškia
išdestyti jos elementus tam tikra tvarka. Keliais
skirtingais budais galima sutvarkyti baigtines
aibes elementus? Intuityviai aišku, tik kad tokiu
budu skaicius yra baigtinis. Jungdami,
perstatydami, tvarkydami aibes elementus, gauname
elementu rinkinius, kuriuos vadiname aibes
elementu junginiais (kombinacijomis).
Pavyzdžiui, iš aibes a,b,c,d elementu galime
sudaryti rinkinius a,b,c, c,b,a, c,c,c,c ir
kt. Matematikos šaka, nagrinejanti junginiu
sudarymo desningumus ir junginiu skaicius,
vadinama kombinatorika. Tegu aibeje A yra n
skirtingu elementu. Juos naudosime junginiams
sudaryti. Visus junginius galima skirstyti i
paprastus (arba tiesiog junginius, kuriu visi
elementai skirtingi (jie yra A poaibiai) ir
kartotinius, kuriuose gali buti sutampanciu
elementu (jie nera A poaibiai). Junginius galima
sudaryti ir iš skirtingu aibiu.
40
Kombinatorikos elementai (2)
Kombinatorine daugybos taisykle. Jei elementa a1
galima parinkti iš aibes A1, turincios m1
elementu, elementa a2 galima parinkti iš aibes
A2, turincios m2 elementu ir t.t. iki n, tai
rinkini (a1, a2, ... an) galima sudaryti
m1m2...mn skirtingu budu.
A1
2 x 3 6
A2
41
Kombinatorikos elementai (3)
Gretiniai, keliniai, deriniai Apibrežimas.
Gretiniu iš n elementu po k vadinamas bet kuris
sutvarkytas n elementu aibes poaibis, turintis k
elementu (k-naris gretinys). Du gretiniai
laikomi skirtingais, jei jie skiriasi bent vienu
elementu arba ju eiles tvarka. Pavyzdžiui, iš 3
elementu aibes a,b,c galima sudaryti šešis 2
elementu gretinius ab, ac, bc, ba, ca, cb.
Pirmajam elementui yra 3 pasirinkimai, antrajam
lieka vienu mažiau ir t.t. Deriniu skaicius iš
n po k žymimas Ak (pranc. arrangement) ir lygus
n(n-1)(n-2)... (n-k1), kas lygu n!/(n-k)!
k2
n4
3 x 4 12
42
Kombinatorikos elementai (4)
Apibrežimas. Keliniu iš n elementu vadinamas
gretinys iš n po n Pavyzdžiui, iš 3 elementu
aibes a,b,c galima sudaryti 6 kelinius abc,
acb, bac, bca, cab, cba. Galimu keliniu iš n
elementu skaicius žymimas Pn (pranc.
permutation) ir lygus n! Tai skirtingu n elementu
aibes sutvarkymo budu skaicius.
k4
n4
...
4! 24
43
Kombinatorikos elementai (5)
Apibrežimas. Deriniu iš n elementu po k
vadinamas bet kuris n elementu aibes poaibis,
turintis k elementu Pavyzdžiui, iš 3 elementu
aibes a,b,c galima sudaryti tris 2 elementu
derinius ab, ac, bc. Derinio atveju nenurodyta
elementu tvarka, taigi deriniai gali skirtis tik
savo elementais. Galimu deriniu iš n elementu
skaicius žymimas Ck (pranc. combinaison) ir
lygus n!/k!(n-k)! t.y., Ak/ k!
k2
n4
6 deriniai
44
Kombinatorikos elementai (6)
Kartotiniai junginiai Gretiniai, kuriuose
elementai gali kartotis, vadinami kartotiniais
gretiniais. Kartotiniu gretiniu iš n elementu po
k skaicius yra nk. Pavyzdžiui, iš 3 elementu
aibes a,b,c galima sudaryti devynis 2 elementu
gretinius ab, ac, bc, ba, ca, cb, aa, bb, cc. T.
y., yra 3 budai parinkti pirmaji elementa,
kiekvienam iš ju - 3 budai parinkti antraji ir
t.t.
k2
n4
16 gretiniu
45
Kombinatorikos elementai (7)
Kartotiniai gretiniai, kuriuose elementai
kartojasi jiems nurodyta skaiciu kartu, vadinami
kartotiniais keliniais. Tegu kiekvienas aibes A
elementas a1 .. ak gali kartotis ai kartu.
Pavyzdžiui, iš 3 skaitmenu 1, 1 ir 2 galima
sudaryti tris kartotinius gretinius 112, 121,
211. Galimas kartotiniu gretiniu skaicius yra
(atmetami vienodi kuriu yra po ni!) P(n1, n2, ..
nk) n!/n1!n2! ... nk! Kartotiniai deriniai iš
n elementu po k yra vienodi, jei juos sudaro tie
patys elementai, paimti po tiek pat kartu (tvarka
nesvarbi). Ju gali buti (nk-1)!/k!(n-1)!
Pavyzdžiui, iš 2 elementu aibes a,b galima
sudaryti keturis 3 elementu kartotinius derinius
aaa, bbb, abb, baa.
46
Užduotys
Keliais budais galima i taryba parinkti tris
studentus iš triju kursu, kuriuose yra
atitinkamai 21, 17 ir 19 studentu? Keliais
budais galima sudaryti 5 paskaitu tvarkarašti iš
10 destomu dalyku (dalykai nesikartoja)? Kiek
galima parašyti triženkliu skaiciu su skirtingais
skaitmenimis? Keliais budais galima parinkti 4
politinio žemelapio spalvas iš 8 galimu? Kiek
simboliu galima perduoti Morzes abecele,
naudojant ne ilgesnes kaip 4 ženklu sekas?