Optimalitetsprinsipen i 300

1
Optimalitetsprinsipen i 300 år från Fermat till
optimal reglering

• Andrey Ghulchak
• LTH
• den 15 augusti, 2003

2
Innehåll

• Optimal reglering och maximumprincip
• Fermats princip (ca 1629)
• Euler-Lagranges ekvation
• Lagranges multiplikatorer
• Legendres villkor och maximumprincip
• Tolkning av maximumprincip
• Sammanfattning

3
Utveckling av principen
4
Optimal reglering
B
A
B
A
5
Optimal reglering

• Man ska välja u(t) så att

bivillkor
6
Maximumprincipen
är det optimala paret endast om
?
?
?
7
Pierre de Fermat 1601-1665
Methodus ad disquirendam maximam et minimam
8
Funktion med flera variabler
9
Variationskalkyl
Euler-Lagranges ekvation
10
Variationskalkyl vs
optimal reglering

• VK är enstaka fall av OR med

• Nontriviala egenskaper av VK kommer bara från
  funktionen L

• Dessutom i OR kan det finnas extra begränsning

11
Joseph-Louis Lagrange 1736-1813
Lagranges multiplikatorer
Lagranges funktion
12
Optimering med bivillkor
är extrempunkt
enlight Fermats princip
13
Geometrisk tolkning
f(x)
g(x)0
14
Optimering med flera bivillkor
tal
vektor
15
Optimal reglering igen
bivillkor
?
16
Utan det extra villkoret
Euler-Lagranges ekvation
?
17
Adrien-Marie Legendre 1752-1833
Legendres villkor
18
Maximumprincipen igen
Utan extra villkor
19
Tolkning av maximumprincipen
är det optimala paret endast om
Lagranges multiplikatorer
20
Med det extra villkoret
21
Optimering på u
22
Sammanfattning
Pontryagin
Kuhn
Bellman
Fenchel
Tucker
Karush
Minkowski
Carathéodory
Fréchet
Gâteaux
Hilbert
Bolza
Hahn
Banach
Hamilton
Weierstrass
Jacobi
Erdmann
Bernulli
Poisson
Legandre
Euler
Lagrange
Newton
Leibnitz
LHôpital
Bernulli
Gregory
Huygens
Fermat
Kepler
Descartes
23
Tack ska ni ha!