Warunki brzegowe w rozwiazywaniu problem

1
Warunki brzegowe w rozwiazywaniu problemów
transportu ciepla imasy oraz problemów
odksztalcen
Lukasz Lach

Wydzial Inzynierii Metali i Informatyki
Przemyslowej Kraków, 05 styczen 2011 r.
2
Wykaz wazniejszych oznaczen
T - temperatura, K -
macierz funkcji rozkladu wspólczynnika
przewodzenia ciepla, Q - predkosc
generowania ciepla, jakie powstaje w wyniku
plastycznego odksztalcania sie metalu lub w
wyniku przemian fazowych zachodzacych w
materiale, ? - gestosc metalu w
temperaturze T, cp - cieplo wlasciwe
w tejze temperaturze, a -
wspólczynnik wymiany ciepla, Ta -
temperatura otoczenia v - wektor
predkosci.
3
Transport ciepla i masy
Wiekszosc zjawisk zachodzacych w procesach
przetwórstwa materialów jest aktywowanych
cieplnie, a zatem numeryczna symulacja tych
procesów musi uwzgledniac pole temperatury.
Transport masy (dyfuzja) równiez odgrywa
dominujaca role w zmianach jakie zachodza w
strukturze odksztalcanego i/lub poddawanego
obróbce cieplnej materialu. Transport ciepla i
masy opisany jest jednakowym równaniem
rózniczkowym czastkowym, a rózne sa tylko
wspólczynniki tego równania zalezne od wlasnosci
materialu.
4
Równanie Fouriera
Okreslanie pola temperatur mozliwe jest poprzez
rozwiazanie uogólnionego równania dyfuzji
równania Fouriera. Wielkoscia podlegajaca dyfuzji
jest w tym przypadku cieplo. W ogólnej postaci
równanie to zapisane jest nastepujaco
gdzie T - temperatura, K - macierz funkcji
rozkladu wspólczynnika przewodzenia ciepla, Q -
predkosc generowania ciepla, jakie powstaje w
wyniku plastycznego odksztalcania sie metalu lub
w wyniku przemian fazowych zachodzacych w
materiale, ? - gestosc metalu w temperaturze
T, cp - cieplo wlasciwe w tejze temperaturze, v
wektor predkosci.
5
Warunki brzegowe

• Równanie przewodzenia ciepla musi spelniac
  odpowiednie warunki brzegowe. Brzeg
  odksztalcanego materialu zmienia swoja
  temperature w wyniku
• konwekcji (unoszenia ciepla),
• promieniowania,
• przewodzenia.

6
Warunek brzegowy pierwszego rodzaju (warunek
Dirichleta)
Warunek ten jest przyjmowany, jesli caly brzeg
lub jego czesc posiada znana temperature
okreslona poprzez znana, zalezna od czasu funkcje
f(t)
Rys.1. Przyklad warunku brzegowego I rodzaju.
7
Warunek brzegowy drugiego rodzaju (warunek
Neumanna)
Warunek jest przyjmowany, gdy znana jest funkcja
okreslajaca natezenie strumienia cieplnego na
brzegu obszaru
Rys.2. Przyklad warunku brzegowego II rodzaju.
8
Warunek graniczny trzeciego rodzaju (warunek
Fouriera)
Warunek jest przyjmowany, gdy nastepuje swobodny,
niczym nie skrepowany przeplyw ciepla przez
powierzchnie brzegowa ciala. Opiera sie on na
bilansie natezenia strumieni cieplnych
przeplywajacych przez powierzchnie brzegowa
gdzie a - wspólczynnik wymiany ciepla, Ta -
temperatura otoczenia
Rys.3. Przyklad warunku brzegowego III rodzaju.
9
Stosowalnosc warunków brzegowych
W procesach przetwórstwa materialów praktycznie
nie wystepuje warunek brzegowy Dirichleta.
Dlatego do celów sledzenia zmian temperatury
wyrobów w trakcie tych procesów w wielu
nastepujacych po sobie operacjach bardzo czesto
nalezy zastosowac polaczony warunek brzegowy
drugiego i trzeciego rodzaju zadany na calym
brzegu obszaru, w postaci
W powyzszym równaniu funkcja q moze reprezentowac
strumien ciepla przekazywany do materialu w
wyniku pracy sil tarcia na powierzchni styku z
narzedziem
gdzie t - naprezenie tarcia, ?v predkosc
poslizgu miedzy odksztalcanym materialem i
narzedziem.
10
Wprowadzanie warunków brzegowych w MES
Wprowadzenie warunków brzegowych nastepuje
poprzez wykonanie odpowiednich mody?kacji
macierzy wspólczynników ukladu równan oraz
wektora prawych stron.
?
?
?
Macierz wspólczynników elementu
?
Globalna macierz wspólczynników
11
Wprowadzanie warunków brzegowych w MES - przyklad
Wprowadzenie warunków Neumanna
?
?
Wprowadzenie warunków Dirichleta
?
12
Warunki brzegowe automaty komórkowe

(a)
(b) Rys.4. Poczatkowa
struktura z róznymi warunkami brzegowymi a)
periodyczne, b) otwarte.
13
Ciecie i skladanie modelu
Rys.5. Operacje ciecia oraz skladania w widoku 3D.
14
Literatura

1. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L, Finite Element
   Method, T. 1-3, Elsevier, 2000
2. Pietrzyk M., Metody numeryczne w przeróbce
   plastycznej metali, skrypt AGH 1303, Kraków, 1992
3. F. P. Incropera, D. P. DeWitt, Fundamentals of
   heat and mass transfer, New York John
   WileySons, 2001.

15
Dziekuje za uwage