Zakon potencije (

1
Zakon potencije (Power Law)

• f(x) x?a
• logf(x) ?alogx

2
Zakon potencije u biomehanici
Celija
Molekul
Tkivo
Sistem
3
Karakteristike zakona potencije

• Zakon potencija nema odredenu vremensku skalu.
  Konsekventno
• Puzanje J(t) ta
• Relaksacija G(t) t?a
• Fazni pomak tgf ? a

4
Frakcioni izvod kao matematicki okvir za opis
ponašanja po zakonu potencije

• Rimanova definicija frakcionog izvoda
• gde je 0 ? a lt 1.

5
Osnovni reološki model

• Relacija napon-deformacija pri smicanju
• T ? Dt(a)(?)
• a 0 ? T ? Dt(0)(?) ?(t) - Hukov zakon
• a ? 1? ? T ? Dt(1)(?) - njutnovski
  fluid

6
Generalni reološki model
gde su 0 ? ß lt 1 and 0 ? a1 lt a2 ltlt an lt 1.
(Pritz, 1996)
7
Rezultati reoloških merenja na živim celijama
G ? M/u
(Fabry et al., 2001)
8
Prelaz iz vremenskog u frekventni domen
Dinamicki modul G FT/F? G? iG?
FDt(a)(f) (i?)aFf
9
Ponašanje na visokim frekvencijama
Merenja ? ? ?, ? d(logG?)/d(log?) ? 1. Model ?
? ?
? an ? ß ? 1 ? an ? 1 i ß ? 0.
?
10
Pojednostavljenje modela
Pretpostavke i definicije b 0 an 1 n 2
?1 ? ? ?2 ? µ a1 ? a
?
11
Predvidanja modela

• Dinamicki modul ? ?0ei?t

• Modul relaksacije napona ? ?0H(t)

• Modul puzanja T T0H(t)

Zadovoljen uslov G(t) 1/J(t) kada t ? 0, ?.
12
Elasticni i viskozni moduli
13
Fitovanje modela
Uslovi l a Gs m
  Pa(s/rad)a   (Pa) (Pa.s)
Kontrolni 1162.1905 0.2335 598.4835 1.5393
p 0.0064 lt0.0001 0.1552 lt0.0001
Histamin 1383.2984 0.2212 1139.7425 1.067
p 0.0125 0.0002 0.0545 lt0.0001
DBcAMP 345.0529 0.3097 186.1381 1.3356
p 0.009 lt0.0001 0.2506 lt0.0001
CytoD 215.1585 0.286 0 0.7654
p lt0.0001 lt0.0001 1 lt0.0001
14
Dalje pojednostavljenje modela

• GS 0, ? ? G0/O0a

15
Fitovanje pojdnostavljenog modela
Vrednosti parametara sa intervalom sigurnosti od
95
16
Fizicka interpretacija modela - reologija mekog
stakla

• Kada je efektivna temperatura fluktuacije ? 0,
  element ostaje zarobljen u energetskom kavezu
  cvrsto (stakleno) stanje.
• Kada je ? gt 0, element iskace iz kaveza prelaz
  od cvrstog ka tecnom stanju.
• Kada je ? 1 njutnovski fluid.

Enegretski kavez
(Sollich, 1998)
17
Veza izmedju reologije stakla i modela sa
frakcionim izvodima

• a 0 ? G? G0, G? 0 cvrsto telo ciji je
  modul elasticnosti G0
• a 1 ? G? 0, G? (G0/O0)? njutnovski fluid
  cija je viskoznost G0/O0.

(Fabry et al., 2001)
18
Furijeova naponska mikroskopija
E 1.3 kPa h 70 µm
20 mm
Faza
Fluorescencija (0.2 µm) Celijski prednapon
deformiše elasticnu podlogu
19
Furijeova naponska mikroskopija
Matematicki algoritam
(Butler et al., 2002)
20
Furijeova naponska mikroskopija
Matematicki algoritam
Polje Polje
deformacije napona
(Butler et al., 2002)
21
Izracunavanje prednapona
PA? tA?
22
Fizicka interpretacija modela uloga prednapona
(Stamenovic et al., 2002)
23
Veza izmedu eksponenta a i prednapona
Za ? 0.1 Hz
(Stamenovic et al., 2004)
24
(No Transcript)
25
On Power Laws in Nature
In ordinary systems all quantities follow bell
curves, and correlations decay rapidly, obeying
exponential laws. But all that changes if the
system is forced to undergo a phase transition.
Then power laws emerge natures unmistakable
sign that chaos is departing in favor of order.
The theory of phase transitions told us that
power laws are not just another way of
characterizing a systems behavior. They are the
patent signatures of self-organization in complex
systems. Albert-László Barabási Linked The
New Science of Networks. Perseus Publishing,
Cambridge, MA, 2002.