Cap

1
Capítulo 15 Los Griegos ya vienen! Los Griegos
ya vienen! Los parámetros de sensibilidad Delta
? Gamma ? Theta ? Vega ? Rho ?
2
EJEMPLO S 100 X 100r 0,08 ? 0,3 T
180 días. Call Put Precio 10,30 6,43 ? 0
,6151 -0,3849 ? 0,0181 0,0181 ? -12,2607 -4,
5701 ? 26,8416 26,8416 ? 25,2515 -22,1559 Todo
s son dólares por unidad.
3
LOS GRIEGOS SON MEDIDAS DE SENSIBILIDAD. La
pregunta es como va a cambiar el valor de la
opción cuando se cambie el valor de uno de los
parámetros que definen su valor. delta ? Delta
mide la sensibilidad del valor de la opción ante
un pequeño cambio en el precio de mercado del
activo subyacente. En términos matemáticos ?(c)
?c/ ?S ?(p) ?p/ ?S Obsérvase que el
delta del activo subyacente es 1 por
definición ?(S) ?S/ ?S 1. En
general, la delta de cual quier posicion es el
cambio de dicha posición antes un pequeño cambio
en el valor del activo subyacente.
4
Delta(Figura 15.2, pág. 347)

• Delta (?) es el cociente entre el cambio del
  precio de la opción con respecto al cambio en el
  precio del activo subyacente.

5

• Resultados
• El delta de una put es el delta de la call (mismo
  subyacente, mismo precio de ejercicio y mismo
  vencimiento) menos 1.
• ?(p) ?(c) - 1.
• Usando la fórmula de Black y Scholes, se puede
  mostrar que
• ?(c) n(d1) ? 0 lt ?(c) lt 1
• ?(p) n(d1) - 1 ? -1 lt ?(p) lt 0
• en el ejemplo inicial
• ?(c) 0,6151
• ?(p) - 0,3849

6
Cobertura delta

• Implica mantener una cartera delta-neutral.
• La delta de una opción Europea de compra sobre
  acciones que pagan dividendos a un tipo q es N(d
  1)e qT.
• La delta de una opción Europea de venta es
• e qT N(d 1) 1
• 0 ?c 1
• - 1 ?p 0

7
(No Transcript)
8
(No Transcript)
9
EJEMPLO ?(c) 0,64 ? ?(p) - 0,36. Un
STRADDLE comprado tiene un delta de 0,64 (-
0,36) 0,28. Una estrategia (STRIP)en la que
compramos dos de las puts y una call tiene un
delta de 0,64 2(- 0,36) - 0,08 Y está casí
neutralizada. Con los dados datos, la compra de
la put con una acción del subyacente nos da una
estrategia con delta 1 (- 0,36) 0,64, Así
que la estrategia de comprar la put, caomprar el
subyacente y vender la call, siempre está delta
neutral. Por fin, la compra de 100 acciones del
subyacente, venta de 100 calls y compra de y 100
puts nos da una posición con ? 100
(-100)(0,64) 100(-0,36) 0.
10
Estretegias que definen un nivel fijo de
delta PosicióN de DELTA NEUTRAL Acabamos de
comprar una opción call porque está subvaluadada.
Para proteger el valor de la opción ante posibles
cambios del precio del activo subyacente, vamos a
comprar acciones del mismo. Problema Cuántas
acciones del activo subyacente es necesario
comprar para obtener una posición neutralizada.
Es decir, una posición cuyo valor no se cambia
cuando se cambie el precio del subyacente? V
n(S)S n(c)c ?(V) n(S)
n(S,c)?(c) Una posición cuyo valor no se cambie
es una posición DELTA NEUTRAL (? 0) ?(V) 0
? n(S) n(S,c)?(c) 0, n(S) - n(S,c)?(c)
0,
11
EJEMPLO Supongamos que delta de una call es
0,50. Acabamos de comprar 100 calls. Cuantas
acciones del subyacente necesitamos comprar para
tener una posición delta neutral? n(s) -
n(S,c)?(c) 0, ?(c) 0,50 y n(S,c) 100, se
desprende que n(s) - n(S,c)?(c) -
100(0,50) - 50. Esta solución significa que la
call y las acciones están en posiciones opuestas.
Las acciones deben haber vendidas en corto. De la
ecuación n(S) - n(S,c)?(c) 0, es
claro que ?(c) - n(S)/n(S,c). Resulta
que se puede definir el delta como la razón de
cobertura. Es decir, delta indica la cantidad del
subyacente que está requerida para neutralizar el
riesgo de la posición.
12
Ilustración(pág. 343)

• Una institución financiera ha vendido por 300.000
  dólares una opción Europea de compra sobre
  100.000 acciones de unas acciones que no pagan
  dividendos.
• S0 49, X 50, r 0,05, s 0,02, T 20
  semanas, µ 0,13.
• El precio Black-Scholes de la opción es
  aproximadamente 240.000 dólares.
• Cómo se enfrenta el banco con el problema de
  cubrir los riesgos?

13
Posiciones cubiertas y descubiertas

• Posición descubierta
• No hacer nada.
• Posición cubierta
• Comprar 100.000 acciones hoy.
• Ambas estrategias dejan al banco expuesto a un
  riesgo significativo.

14
Estrategia para frenar pérdidas (stop-loss)

• Esta estrategia implica
• Comprar 100.000 acciones tan pronto como el
  precio alcance los 50 dólares.
• Vender 100.000 acciones tan pronto como el precio
  descienda por debajo de 50 dólares.
• Esta sencilla, pero engañosa, estrategia de
  cobertura no funciona bien.

15
Cobertura delta

• La posición de cobertura debe ajustarse
  periódicamente.
• La cobertura delta sobre la venta de una opción
  implica una regla comercial comprar caro,
  vender barato.
• En las Tablas 15.3 (pág. 352) y 15.4 (pág. 353)
  se observan ejemplos de cobertura delta.

16
THETA ? Theta mide la sensibilidad del valor de
la opción antes un cambio pequeño del tiempo que
reste hasta el vencimiento de la opción. En el
ejemplo inicial ?(call) -12,2607 ?(put)
-4,5701
17
GAMMA ? Gamma mide el cambio de la delta antes un
pequeño cambio del precio del subyacente. En
términos matemáticos gamma es la segunada
derivada del valor de la opción. ?(c)
?2c/ ?S2 ?(p) ?2p/ ?S2 Obsérvase que el
delta del activo subyacente es 1 por que por la
definición ?(S) ?2S/ ?S2 0. En general,
Gamma de cual quier posicion es el cambio del
delta de dicha posición ante un pequeño cambio
del precio de mercado del subyacente. En el
ejemplo inicial ?(c ) ?(p) 0,0181
18
Error de cobertura introducido por la curvatura,
o gamma(Figura 15.7, pág. 359)

Precio de la opción de compra
C
C
C
Precio de la acción
S
S
19

• Resultado
• Los gammas de una call y una put son iguales. Gc
  Gp
• Ejemplo
• Con una ?(c) 0,70 ? ?(p) - 0,30 y gamma de
  0,2345, una estrategia de Venta de la call y
  compra de la put tiene una
• ? - 0,70 (- 0,30) -1,00,
• ? - 0,2345 0,2345 0.
• La estrategia de comprar el subyacente
• comprar la put
• vender la call
• ?(estrategia) 1 - 0,70 (- 0,30) 0
• ?(estrategia) 0 - 0,2345 0,2345 0.
• Esta estrategia es delta - gamma neutral.

20
Interpretación de gamma

• Para una cartera delta-neutral
• ?? ? T ?t ½ G?S2

??
??
?S
?S
Gamma positiva
Gamma negativa
21
In our example DELTA CALL ?C 0.6151 The
Delta neutral position with 100 CBOE short calls
requires the holding of n(s) -n(cS)?C n(s)
--10,000(.6151) n(s) 6,151shares long. The
value of this portfolio is -10,000(10.3004)
6,151(100) 512,056
22
Interpretation of GammaThe delta neutral
position with 100 CBOE short calls and 6,151 long
shares has G -181
Position value
512,056
S
75 100 125
More negative G
Negative Gamma means that the position loses
value when the stock price moves more and more
away from it initial value.
23
(No Transcript)
24
(No Transcript)
25
THETA ? Theta measures the sensitivity of the
options price to a small change in the time
remaining to expiration ?(c) ?c/?(T-t) ?(p)
?p/?(T-t) Theta is given in terms is /1 year.
Thus, if ?(c) - 12.2070/year, it means that if
time to expiration increases (decreases) by one
year, the call price will increase (decreases) by
12.2070. Or, 12.2070/365 3.34 cent per day.
26
VEGA ? La vega (?) es la tasa de variación del
valor de la cartera de derivados con respecto a
la volatilidad. Vega mide la sensibilidad del
valor de la opción antes un pequeño cambio de la
volatilidad del precio del activo subyacente. En
el ejemplo inicial ?(call) ?(put)
26,8416 Véase la Figura 15.11 sobre la
variación de ? con respecto al precio de la
acción para una opción de compra o de venta.
27
(No Transcript)
28
(No Transcript)
29
RHO ? Rho es la tasa de variación del valor de
un derivado con respecto al tipo de
interés. Rho mide la sensibilidad del
valor de la opción antes un cambio pequeño de la
tasa de interés. En el ejemplo inicial ?(call)
25,2515 ?(put) -22,1559 En el caso de
opciones sobre divisas, hay dos rhos
correspondientes a los dos tipos de interés.
30
RESUMEN DE LOS GRIEGOS Posición Delta Gamma
Vega Theta Rho S comprado 1 0
0 0 0 S
vendido - 1 0 0
0 0 C comprada
- C
vendida - -
- - P comprada -
-
- P vendida -
-
31

• La sensibilidad de carteras
• 1. Una cartera es una combinación de activos y
  opciones.
• Todas las medidas de sensibilidad son derivadas.
• Teórema La derivada de una combinación de
  funciones es la combinación de las derivadas.
• Por ende, la sensibilidad de una cartera es la
  suma de las medidas de sensibilidad de las
  posiciones incluidas en la cartera.

32

• ESTRATEGIAS BASADAS EN GRIEGOS
• Estrategias basadas en griegos son estrategias en
  las que el inversionista trata de conseguir un
  nivel de sensibilidad. Es decir, la estrategia
  está construida con el objetivo de que tenga una
  dada exposición al riesgo.
• La abrumadora mayoría de este tipo de estrategias
  tratan de que la estrategia no tenga ninguna
  exposición al riesgo.
• En las siguientes pájinas analizamos ejemplos de
  posiciones
• delta neutral
• delta-gamma neutral
• Delta-gamma-vega-rho neutral
• En dicho ejemplo el activo subyacente es el
  índice SP100 y las opciones sobre el mismo son
  europeas.

33
EJEMPLO 1 Delta-Gamma neutral posicion Supuesto
el precio actual de una libra de cobre es S
USD0,7525. Además, esxisten dos opciones con los
siguientes parámetros Delta() Gamma() Call
1 0,6300 0,2200 Call 2 0,4500 0,1375 S 1,0 0
,0 Es importante recordar que estos valores son
por libra y que una opción en NYMEX cubre
25.000libras.
34
EJEMPLO 1 Delta-Gamma neutral posicion VALOR(port
afolio) Sn(s) c1n1 c2n2 ?(portafolio)
n(s) ?1n1 ?2n2 0 G(portafolio)
G1n1 G2n2 0. ? n(s) .6300n1
.4500n2 0 G .2200n1 .1375n2
0 Supongamos que vendemos 100 calls 1.
35
EJEMPLO 1 bajo este supuesto n1 - 10.000 y ?
n(s) .6300(-10.000) .4500n2 0 G
.2200(-10.000) .1375n2 0 n1 -10.000
vender corto 100 calls 1 n2 16.000 comprar
160 calls 2 y ns - 900 vender corto 900
acciones del activo subyacente.
36

• EJEMPLO 2
• S 300
• X 300
• T 365 días
• ? 0,18 Desviación estándar annual de 18
  
• r 0,08 Tasa anual de interés sin riesgo 8
  
• d 0,03 Tasa anual de dividendos es 3
• C 28,25 ? 0,6245 ? 0,0067
• ? 0,0109 ? 0,0159.

37

• ESTRATEGIA DE DELTA NEUTRAL
• n0 - 10.000 ? posición corta en 100 calls.
• nS 6.245 ? Comprar 6.245 acciones del
  subyacente.
• Primer caso A El precio del subyacente 300 a
  301.
• Cartera Valor inicial Nuevo valor cambio
• 100Calls - 282.500 - 288.800 - 6.300
• 6.245S 1.873.500 1.879.700 6.200
• Error - 100
• Primer caso B El precio del subyacente 300 a
  299.
• Cartera Valor inicial Nuevo valor cambio
• 100Calls - 282.500 - 276.200 6.300
• 6.245S 1.873.500 1.867.300 - 6.200
• Error 100

38

• Segundo caso El precio del subyacente 300 a
  310.
• Cartera Valor inicial Nuevo valor cambio
• 100Calls - 282.500 - 348.100 - 6.560
• 6.245S 1.873.500 1.975.900 6.240
• Error - 320
• El problema es que delta se cambia cuando se
  cambie el precio del subyacente.
• S 300 301 310
• ? 0,6245 0,6311 0,6879.
• Conclusión Para neutralizar el impacto de
  grandes cambios en el subyacente es necesario
  usar una posición delta-gamma neutral. Sin
  embargo, para hacerlo es necesario tener otras
  opciones.
• Supongamos que existe otra opción sobre el mismo
  subyacente con los siguientes parámetros

39
Call inicial(0) Call (1) S 300 S
300 X 300 X 305 T 365 días T 90
días ? 0,18 ? 0,18 r 0,08 r
0,08 d 0,03 d 0,03 c 28,45 c
10,02 ? 0,6245 ? 0,4952 ? 0,0067 ?
0,0148 ? 0,0109 ? 0,0059 ? 0,0159 ?
0,0034
40

• POSICION DELTA-GAMMA NEUTRAL
• WS W0(0,6245) W1(0,4952) 0 ? ?
  0
• W0(0,0067) W1(0,0148) 0 ? ? 0
• Para crear cartera delta-gamma neutral las dos
  condiciones deben cumplirse simultáneamente,
  mantentiendo la posición corta en la call
  inicial
• Solución W0 -1
• W1 - (0,0067)(-1)/0,0148 0,453
• WS - (0,6245)(-1) (0,453)(0,49520 0,4
• Corto la call inicial W0 -1.000
• Largo 0,453 de call 1 W1 0,453
• Largo 0,4 del subyacente WS 0,400

41
LA CARTERA DELTA-GAMMA NEUTRAL Primer caso El
precio del subyacente 300 a 301. Cartera Valor
inicial Nuevo valor cambio (-1,0)0 - 28,25 -
28,88 - 0,63 (0,453)1 4,54 4,77
0,23 (0,4)S 120 120,4
0,40 Error Cero Segundo caso El precio
del subyacente 300 a 310. Cartera Valor
inicial Nuevo valor cambio (-1,0)0 -
28,25 - 34,81 - 6,56 (0,453)1 4,54
7,11 2,57 (0,4)S 120 124 -
4,00 Error 0,01 La cartera está
neutralizada contra cambios pqueños tal como
cambios grandes en el precio del activo
subyacente.
42
Sin Embargo, al examinar la exposición entera,
se ve que
Cartera Delta Gamma Vega Rho
-1,00(0) -0,6245 -0,0067 -0,0109 -0,0159
0,453(2) 0,2245 0,0067 0,0027 0.0015
0,400S 0,4000 0 0 0
Riesgo Cero Cero -0,0082 -0,0144
Es claro que la cartera todavía esté expuesta al
riesgo de dos factores la volatilidad la tasa
de interés.
43
La distribución del error asociado con la cartera
delta nuetral para volatilidad 12, 18 Y 24,
para varios cotizaciones del subyacente
Subyacente !2 18 24
270 2,73 - 3,26 - 9,45
275 4,05 - 2,24 - 8,61
280 5,08 - 1,42 - 7,92
285 5,82 - 0,79 - 7,38
290 6,29 - 0,35 - 6,97
295 6,47 - 0,08 - 6,70
300 6,40 0,00 - 6,56
305 6,09 - 0,08 - 6,56
310 5,57 - 0,32 - 6,67
315 4,84 - 0,71 - 6,89
320 3,94 - 1,24 - 7,24
325 2,89 - 1,90 - 7,69
330 1,72 - 2,67 - 8,82
44
La distribución del error asociado con la cartera
delta-gamma nuetral volatilidad 12, 18 Y 24,
para varios cotizaciones del subyacente
Subyacente !2 18 24
270 5,54 - 0,45 - 6,64
275 6,04 - 0,25 - 6,62
280 6,38 - 0,12 - 6,62
285 6,57 - 0,04 - 6,63
290 6,62 - 0,01 - 6,63
295 6,55 0,00 - 6,62
300 6,40 0,00 - 6,56
305 6,17 0,00 - 6,48
310 5,89 0,01 - 6,34
315 5,56 0,01 - 6,17
320 5,19 0,01 - 5,99
325 4,80 0,01 - 5,78
330 4,38 - 0,01 - 5,56
45
La tasa de interés es el cuarto parámetro. En el
siguiente caso analizamos el error cuando se
cambie la tasade interés Tercer caso El precio
del subyacente 300 a 310 y
simultáneamente, la tasa de interés sin riesgo
se alza por 1, de 8 a 9. Cartera Valor
inicial Nuevo valor cambio (-1,0)0 - 28,25 -
33,05 - 4,80 (0,453)1 4,54 6,91
2,37 (0,4)S 120 124 -
4,00 Error - 1,57
46
Para eliminar la entera exposición al riesgo,
vamos a usar el activo subyacente, S 300 y la
siguientes opciones CALL 0 1 2 3 X 300 305 29
5 300 T(días) 365 90 90 180 Volatilidad 18 18
18 18 r 8 8 8 8 Dividendos 3 3 3 3 P
RECIO 28,25 10,02 15,29 18,59
47
Las medidas de exposición al riesgo
son CALL 0 1 2 3 S Delta ? 0,6245
0,4952 0,6398 0,5931 1,0 Gamma ? 0,0067
0,0148 0,0138 0,0100 0,0 Vega ? 0,0109
0,0059 0,0055 0,0080 0,0 Rho ? 0,0159
0,0034 0,0044 0,0079 0,0
48
LA CARTERA DELTA-GAMMA-VEGA-RHO NEUTRAL Para
eliminar la entera exposición al riesgo buscamos
las ponderaciones de inversión en el subyacente y
las dadas opciones de manera que asegure que
todos los parámetros de sensibilidad
son SIMULTANEAMENTE CERO Delta ?
cero Gamma ? cero Theta ?
cero Vega ? cero Rho ? cero
49
Delta ? 0 WSW0(0,6245)W1(0,4952)W2(0,6398)
W3(0,5931) 0 Gamma ? 0 W0(0,0067)W1(0,0
148)W2(0,0138)W3(0,0100) 0 Vega ?
0 W0(0,0109)W1(0,0059)W2(0,0055)W3(0,0080)
0 Rho ? 0 W0(0,0159)W1(0,0034)W2(0,0044)W3
(0,0079) 0 Se debe resolver las 4 ecuaciones
simultáneamente.
50
Para llegar a la solución, fijamos W0 - 1,0 y
resolvaemos las ecuaciones. El resultado
es Posición W0 -1,0000 ? Corta call
0 WS 0,2120 ? larga 0,2120 del subyacente W1
0,8380 ? Larga 0,8389 call 1 W2
-1,9000 ? Corta 1,9000 call 2 W3
2,0420 ? Larga 2,0420 call 3 En realidad,
cada una de las opciones cubre 100 acciones del
subyacente. Los resultados arriba se pueden
reescribir Corta 100 calls Larga 2.120
acciones del subyacente Larga 84 calls 1 Corta
190 calls 2 Larga 204 calls 3
51

• LA CARTERA DELTA-GAMMA-VEGA-RHO NEUTRAL
• Cuarto caso El precio del subyacente 300 a
  310 y simultáneamente, la tasa de interés
  sin riesgo se alza por 1, de 8 a 9 y
  simultáneamente, la volatilidad annual se
  cambia de 18 a 24
• Cartera Valor inicial Nuevo valor cambio
• 1,0(0) - 28,25 - 42,81 - 14,56
• (0,212)S 63,60 65,72 2,12
• (0,838)1 8,40 16,42 8,02
• (-1,9)2 - 29,05 - 48,97 - 19,92
• (2,042)3 37,97 62,20 - 24,25
• Error - 0,09