PREDIKAT dan FUNGSI PROPOSISIONAL

1
PREDIKAT dan FUNGSI PROPOSISIONAL
Diperhatikan kalimat yang memuat variabel x lt
2. Subjek x Predikat kurang dari 2

• Pernyataan x kurang dari 2 dinyatakan dengan
  P(x), dimana
• P merujuk sifat kurang dari 2 dan x variabel.
• P disebut juga fungsi proposisional dimana P(x)
  adalah nilai fungsi
• P di x. Nilai P(x) hanya dua macam, yaitu benar
  (T) atau salah (F).
• CONTOH
• Bila P(x) x lt 2 maka P(1) benar, P(2) salah,
  P(3/2) benar, dst
• Fungsi proposisional dengan beberapa varibel
• Q(x,y) x2 y2 25
• Q(3,4), Q(4,3) bernilai benar, Q(1,2),
  Q(5,3) salah, dst.

2
Contoh penggunaan fungsi proposisional pada
program komputer
Misalkan perintah berikut jika x gt 0 maka x
x1 dimasukkan pada suatu program. Fungsi
proposisi P(x) x gt0. Bila P(x) benar maka
perintah x x 1 dieksekusi, tetapi bila
P(x) salah maka nilai x yang dimasukkan tidak
berubah. x 1 P(1) benar
x 1 1 2 x 0 P(0) salah
x 0
3
KUANTOR
Misalkan P(x) suatu fungsi proposisional, x
berasal dari suatu domain yang disebut semesta
pembicaraan. DEFINISI Kuantifikasi universal
adalah proposisi sbb
x, P(x) dibaca untuk setiap x,
berlaku P(x). Notasi disebut kuantor
universal, dibaca untuk setiap.
CONTOH Nyatakan kalimat berikut dalam
kuantifikasi universal semua mhs di kelas ini
mengambil kuliah kalkulus Penyelesaian Misal
P(x) x mengambil kuliah kalkulus, x varibel
mhs. Diperoleh x,
P(x). Bentuk lainnya misalkan S(x) x yang ada
di kelas ini, maka pernyataan Di atas dapat juga
disajikan sebagai
x,
S(x) P(x)
4
KUANTOR (Lanjutan)
DEFINISI Kuantifikasi eksistensial adalah
proposisi sbb x, P(x) dibaca
ada x sehingga berlaku P(x). Notasi
disebut kuantor eksistensial dibaca ada atau
terdapat.
Pengertian terdapat berarti paling tidak ada
satu x dalam semesta Pembicaraan sehingga P(x)
benar.
CONTOH Diberikan pernyataan P(x) x2 1.
Tentukan nilai kebenaran
x, P(x). Penyelesaian
Karena x 1 dan x -1 membuat persamaan x2
1 benar maka kuantifikasi eksistensial ini
bernilai benar. Bila Q(x,y) x2y2 lt 0 maka
kuantifikasi eksistltensial (x,y), Q(x,y)
benilai salah, sebab tidak ada x dan y yang
memenuhi.
5
NILAI KEBENARAN KUANTOR
PERNYATAAN BENAR SALAH
x, P(x) P(x) bernilai benar untuk setiap nilai x di dalam semesta pembicaraan Ada x di dalam semesta sehingga P(x) bernilai salah.
x, P(x) Ada x di dalam semesta (minmal satu) sehingga P(x) bernilai benar P(x) bernilai salah untuk setiap x di dalam semesta pembicaraan
Tabel ini dapat dikembangkan untuk fungsi
propo- sisional yang terdiri dari beberapa
variabel. LATIHAN Coba buat tabel yang sama
untuk fungsi proposisional P(x,y).
6
CONTOH
Misalkan ? himpunan bilangan bulat positif yang
tidak lebih dari 4 sebagai semesta pembicaraan.
Pernyataan P(x) didefinisikan sebagai x2 gt 10.
Selidikilah kebenaran kuantor x, P(x).

• PENYELESAIAN ? 1, 2, 3, 4
• untuk x 1 diperoleh pernyataan 1 gt 10 (salah)
• untuk x 2 diperoleh pernyataan 4 gt 10 (salah)
• untuk x 3 diperoleh pernyataan 9 gt 10 (salah)
• untuk x 4 diperoleh pernyataan 16 gt 10 (benar)
• Karena ada x di dalam semesta pembicaraan yang
  membuat P(x) benar
• maka kuantor ini bernilai benar.

Catatan Bila semesta pembicaraan tidak
dinyatakan secara eksplisit maka ia dianggap
sebagai semua bilangan real.

• LATIHAN Misalkan P(x) x2 gt 0. Selidikilah
  kebenaran kuantor berikut
• x, P(x)
• x, P(x)

7
TERJEMAHAN KUANTOR KE DALAM BAHASA INDONESIA

• LANGKAH-LANGKAH
• Tulis makna dari setiap kuantor
• Sajikan makna ini dalam kalimat sederhana (mudah
  dimengerti)

CONTOH Misalkan x, y variabel untuk mahasiswa
di kampus ini. C(x) x mempunyai komputer,
F(x,y) x dan y berteman. Nyatakan ke dalam
bahasa Indonesia kuantor berikut
?x ( C(x) ? ?y ( C(y) ? F(x,y) ))
PENYELESAIAN Setiap mahasiswa x di kampus ini
memiliki komputer, atau ada mahasiswa lainnya y,
dimana x dan y berteman.
LATIHAN untuk fungsi C dan F sama seperti di
atas, terjemahkan kuantor berikut ke dalam
bahasa Indonesia ?x ?y ?z ( (F(x,y) ? F(x,z) ?
(y ? z) ) ? F(y,z) ) )
8
TERJEMAHAN BAHASA INDONESIA KE DALAM SIMBOL
KUANTOR
CONTOH Sajikan kalimat berikut dalam bentuk
kuantor ! 1. Beberapa mhs dalam kelas ini pernah
datang ke Jakarta 2. Setiap mhs dalam kelas ini
pernah datang ke Surabaya atau Jakarta. PENYELESA
IAN Misalkan J(x) x pernah datang ke Jkt,
S(x) x pernah datang ke Sby. Maka kalimat di
atas dapat disajikan dalam kuantor berikut
1. ? x, P(x) , 2. ?x ( J(x) ? S(x) ).

• LATIHAN Nyatakan kalimat berikut dalam bentuk
  kuantor
• Setiap mhs dalam kelas ini mempunyai tepat satu
  teman dekat
• Jika ada seseorang wanita dan ia pernah
  melahirkan maka pasti
• ia merupakan ibu dari seseorang.
• 3. Selalu terdapat wanita dalam setiap
  penerbangan di dunia ini

9
NEGASI KUANTOR
Diperhatikan kalimat setiap mhs di kelas ini
sudah mengambil Kalkulus. Pernyataan ini dapat
ditulis dalam simbol ?x, P(x) dimana P(x) x
sudah mengambil Kalkulus. Negasi dari pernyataan
ini dapat diungkapkan sbb Tidaklah benar bahwa
setiap mhs di kelas ini sudah mengambil
Kalkulus. Ini berarti ada mhs yang belum
(tidak) mengambil kalkulus, ditulis ?x, P(x)
dibaca ada x yang tidak bersifat P(x).
KUANTOR NEGASINYA
?x, P(x) ?x, P(x).
?x, P(x). ?x, P(x)

• Latihan Tentukan negasi dari pernyataan berikut
  
• Ada mahasiswa di kelas ini yang belum pernah
  browsing internet.
• Tidak satupun mhs di kampus ini yang tertarik
  olahraga terjun payung