Math

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Mathématiques CST

• - GRAPHES - Composantes et types

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Mathématiques CST- GRAPHES Composantes et
types -
? Définitions
Les graphes sont des représentations
mathématiques qui servent à illustrer des
situations qui ont une certaine organisation.
Ex. Organisation du système de santé.
Elles permettent souvent de faire des choix
dorganisation optimaux.
Ex. Le facteur qui distribue le courrier de
manière à minimiser ses déplacements.
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Les graphes sont constitués densemble de points,
appelés  sommets  et de liens, appelés
 arêtes  reliant ses sommets.
Sommets
Boucle
Arêtes
Note La forme de larête na pas dimportance
(ligne droite ou courbe)
Boucle Arête qui débute et se termine au même
sommet.
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Les graphes illustrent les relations qui existent
entre les sommets.
Ex. Voici la représentation dun mini-réseau
Facebook de 5 personnes.
On constate donc, entre autres, que A est  ami 
avec B.
Cependant, A nest pas  ami  avec C.
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Voici un graphe quelconque
Degré dun sommet Nombre darêtes qui
touchent au sommet.
A
1
B
2
C
4
D
3
E
2
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Voici un graphe quelconque
Chaîne Suite darêtes consécutives.
Ex. ADBE
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Voici un graphe quelconque
Chaîne Suite darêtes consécutives.
Ex. ADBE
Cycle Chaîne qui commence et se termine au
même sommet.
Ex. BECDB
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Voici un graphe quelconque
Chaîne simple Chaîne qui ne passe pas deux
fois par la même arête.
Ex. ADBE est une chaîne simple.
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Voici un graphe quelconque
Chaîne simple Chaîne qui ne passe pas deux
fois par la même arête.
Ex. ADBE est une chaîne simple.
Ex. ADBECDB nest pas une chaîne simple.
Cycle simple Cycle qui ne passe pas deux fois
par la même arête.
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Voici un graphe quelconque
Longueur dune chaîne Nombre darêtes dans la
chaîne ou le cycle.
Ex. La chaîne ADBE a une longueur de 3.
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Voici un graphe quelconque
Longueur dune chaîne Nombre darêtes dans la
chaîne ou le cycle.
Ex. La chaîne ADBE a une longueur de 3.
Distance entre 2 sommets Longueur de la
chaîne la plus courte entre
ces 2 sommets.
Ex. La distance entre E et C est de 1.
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Mathématiques CST- GRAPHES Composantes et
types -
? Types de graphes
A) Graphe CONNEXE
Graphe où il existe une chaîne pour aller à
nimporte quel des sommets du graphe.
CONNEXE
NON-CONNEXE
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B) Graphe ORIENTÉ
Graphe où chacune des arêtes est orientée
(flèche).
ORIENTÉ
NON-ORIENTÉ
Terminologie des graphes orientés
Arcs Arêtes
Chemins Chaînes
Circuits Cycles
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C) Graphe VALUÉ
Graphe où chacune des arêtes a une valeur
numérique.
12
4
6
2
10
VALUÉ
NON-VALUÉ
Poids de larête Valeur attribuée à larête
Poids dune chaîne Somme des valeurs attribuées
à chaque
arête de la chaîne.
Poids du graphe Somme des valeurs attribuées à
chaque arête du
graphe.
Ex. Le poids du graphe ABCDE est de 34.
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D) ARBRE
Graphe, connexe et non-orienté, qui ne comporte
aucun cycle simple.
ARBRE
ARBRE
Cycle simple !
PAS UN ARBRE
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Mathématiques CST- GRAPHES Composantes et
types -
? Chaîne et cycle EULÉRIENS
A) Chaîne EULÉRIENNE
Chaîne qui passe une seule fois par toutes les
arêtes du graphe.
Conditions pour avoir une chaîne eulérienne dans
un graphe
Avoir exactement 2 sommets de degré impair.
Ces 2 sommets sont le début et la fin de la
chaîne eulérienne.
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Exemple 1
Impair
Impair
La chaîne BADEC est une chaîne eulérienne.
La chaîne CEDAB est aussi une chaîne eulérienne.
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Exemple 2
Impair
Impair
Impair
Impair
Il ny a pas de chaîne eulérienne, car il ny a
pas seulement 2 sommets de degré impair.
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B) Cycle EULÉRIEN
Cycle qui passe une seule fois par toutes les
arêtes du graphe.
Conditions pour avoir un cycle eulérien dans un
graphe
Avoir tous les sommets de degré pair.
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Exemple 1
Pair
Pair
Pair
Pair
Pair
Le cycle BCEDAB est un cycle eulérien.
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Exemple 2
Pair
Impair
Pair
Pair
Impair
Il ny a pas de cycle eulérien, car tous les
sommets ne sont pas de degré pair.
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Mathématiques CST- GRAPHES Composantes et
types -
? Chaîne et cycle HAMILTONIENS
A) Chaîne HAMILTONIENNE
Chaîne qui passe une seule fois par tous les
sommets du graphe.
Pour savoir si un graphe contient ou non une
chaîne hamiltonienne, il faut procéder par
essai-erreur.
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Exemple 1
La chaîne ABCDEFG est une chaîne hamiltonienne.
24
Exemple 2
Ce graphe ne contient pas de chaîne
hamiltonienne.
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B) Cycle HAMILTONIEN
Cycle qui passe une seule fois par tous les
sommets du graphe.
Pour savoir si un graphe contient ou non un cycle
hamiltonien, il faut procéder par essai-erreur.
Exemple 1
Le cycle EFADCBE est un cycle hamiltonien.
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B) Cycle HAMILTONIEN
Cycle qui passe une seule fois par tous les
sommets du graphe.
Pour savoir si un graphe contient ou non un cycle
hamiltonien, il faut procéder par essai-erreur.
Exemple 2
Ce graphe ne contient aucun cycle hamiltonien.
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Mathématiques CST- GRAPHES Composantes et
types -
? Nombre CHROMATIQUE
Cest le plus petit nombre de couleurs quil est
possible dutiliser pour colorier les sommets
dun graphe sans que deux sommets adjacents
soient de même couleur.
On utilise le nombre chromatique avec des graphes
dont les arêtes illustrent une situation
dincompatibilité ou de conflit.
MÉTHODE
1. Placer les sommets en ordre décroissant de
degré.
2. Attribuer une 1re couleur au sommet de plus
grand degré.
3. Attribuer cette même 1re couleur au sommet
suivant sil ne lui est pas relié, sinon utiliser
une 2e couleur.
4. Répéter létape 3 jusquà ce que tous les
sommets soient coloriés.
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Exemple 1
Trouver le nombre chromatique du graphe suivant
Sommets (en ordre décroissant de degré)
A (3)
A (3)
E (3)
E (3)
B (2)
B (2)
F (2)
F (2)
C (1)
C (1)
D (1)
D (1)
Le nombre chromatique du graphe est 3.
Réponse
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Exemple 2
Sébastien veut envoyer un message à tous ses amis
par Facebook. Cependant, certains de ses amis
sont en conflits entre eux et se bloquent
laccès, donc ils ne peuvent voir le message
envoyé à lautre personne. Le graphe ci-dessous
illustre les conflits entre les amis de
Sébastien. Combien de messages différents
doit-il écrire pour rejoindre tous ses amis ?
Sommets (en ordre décroissant de degré)
D (4)
D (4)
F (3)
F (3)
A (2)
A (2)
C (2)
C (2)
E (2)
E (2)
B (1)
B (1)
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Exemple 2
Sébastien veux envoyer un message à tous ses amis
par Facebook. Cependant, certains de ses amis
sont en conflits entre eux et se bloquent
laccès, donc il ne peuvent voir le message
envoyé à lautre personne. Le graphe ci-dessous
illustre les conflits entre les amis de
Sébastien. Combien de messages différents
doit-il écrire pour rejoindre tous ses amis ?
Le nombre chromatique du graphe est 3.
Réponse
3 messages.