Techniques of Integration

1
Chapter 8

• Techniques of Integration
• ?????

2
????????? Leibniz

• Leibniz(1646-1716)??????
• ?????,??????????
• ????dy/dx
• ????
• ????????????
• ???????
• ?????????

3
????

• 8.1 Integration by Parts
• ?????
• 8.2 Trigonometric Integrals
• ???????
• 8.3 Trigonometric Substitution
• ?????
• 8.4 Integration of Rational Functions by Partial
  Fractions
• ?????
• 8.8 Improper Integrals
• ???

4
8.0
?????????

• Basic Integration Formulas
• ??????

5

• u C

n ? -1,
lnuC
6
- cos x C
sin x C
tan x C
- cot x C
7
sec x C
- csc x C
-lncos x C
lnsin x C
8
lnsec x tan x C
- lncsc x cot x C
9
(No Transcript)
10
8.1

• Integration by Parts
• ?????

11
????

• ??By Parts??????
• ???By Parts??????????????

12
Leibniz???
??? ??????? dx
?u f(x), v g(x) ????
13
Leibniz???
????
??
????
14
?????Integration by parts
??
????
15
??????? 1,2,3
??

1. ? u ?,? u ??? du
2. ? dv ?,? dv ??? v
3. ?u, v, du ??????

16
?????????1,2,3

• 1. ???
• xn sinx, xn cosx
• xn ex
• 2. ???
• ex sinx, ex cosx
• 3. lnx?sin-1x???

17
?????????1

• 1. ???
• xn sinx, xn cosx
• u xn,
• dv sinx dx ? cosx dx
• xn ex
• u xn,
• dv ex dx

18
Example 1
u x, ? du dx dv sinxdx , ?
v -cosx
ò
ò
-

sin
x dx
x
19
Example
u dv
x3 sin x
- 3x2 - cos x
6x - sin x
- 6 cos x
0 sin x
ò

3
xdx
x
sin

C
20
Q1 Example 3
21
?????????2

• 2. ???
• ex sinx, ex cosx
• u sinx ? cosx,
• dv ex dx

22
Example 4
u cosx, ? du -sinxdx dv ex dx , ? v
ex
ò
ò
-

x
cos
xdx
e
23
Example 4-1
u sinx, ? du cosxdx dv ex dx , ? v ex
-

24
Example 4-2
25
(No Transcript)
26
Q2 Example 4
27
?????????3

• 3. lnx ? sin-1x???
• u lnx ? sin-1x,
• dv ????dx

28
Example 2
u lnx, ? du 1/xdx dv dx , ? v x
-

29
Example
u tan-1x, ? du 1/(1x2)dx dv dx , ? v
x
1
1
0
0
0
p/4
30
Q3
31
0
1
0
32
Q4