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Prof. Hebert Monteiro

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Movimento em I dimens o Prof. Hebert Monteiro Iniciaremos o nosso curso estudando a mec nica como ci ncia que estuda o movimento. A mec nica dividida em duas ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: Prof. Hebert Monteiro


1
Movimento em I dimensão
  • Prof. Hebert Monteiro

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Introdução
  • Iniciaremos o nosso curso estudando a mecânica
    como ciência que estuda o movimento.
  • A mecânica é dividida em duas partes
  • Cinemática que é o estudo do movimento sem
    referência às suas causas. Na cinemática
    definimos grandezas utilizadas na mecânica tais
    como velocidade e aceleração.
  • Dinâmica é o estudo que engloba as leis do
    movimento, permite-nos prever o movimento de um
    objeto com base em informações sobre o mesmo e
    seu ambiente. Além das grandezas acima citadas a
    dinâmica aborda conceitos como força e massa.

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  • Para descrevermos o movimento de um objeto em I
    dimensão, o primeiro passo é fixarmos um sistema
    de coordenadas, ou sistema de referência. Para o
    movimento ao longo de uma reta, isto exige
    primeiro a escolha de uma origem em algum ponto
    da reta e, em seguida, de uma direção positiva.

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  • Verifiquem então o movimento realizado pelo
    carro de fórmula 1 do slide anterior.
  • Estipulamos como origem o ponto início
    (correspondente à origem do plano cartesiano) e a
    direção positiva como a direita ou leste (direção
    positiva do eixo x do plano cartesiano).
  • Na cena em questão analisada o carro realiza um
    movimento que vai de sua posição inicial x1 até a
    sua posição final x2. A sua posição inicial
    corresponde ao seu tempo inicial, assim como a
    sua posição final corresponde ao seu tempo final.
  • Determinadas essas grandezas, já podemos
    calcular o deslocamento do carro que é medido em
    metros, através da fórmula
  • ?x x2 x1

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  • Como nosso objeto se moveu na direção positiva,
    tanto seu deslocamento quanto as outras grandezas
    que serão medidas são positivas.
  • Da mesma forma que calculamos o seu deslocamento
    através das suas posições iniciais e finais,
    também podemos calcular o tempo gasto para
    realizar o movimento através da equação que
    representa a variação de tempo do movimento
  • ?t t2 t1
  • A unidade de tempo utilizada nesse tipo de
    movimento é o segundo, portanto a nossa variação
    de tempo tem como unidade de medida o segundo.

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  • Exercício
  • 1) Uma pessoa sai de sua casa e caminha em linha
    reta pela calçada no sentido oeste-leste, passa
    então por um ponto de ônibus e caminha 15 m até
    parar. Considerando sua casa como posição inicial
    e sabendo que ela está a 30 m a Oeste do ponto de
    ônibus. Determine o deslocamento total da pessoa
    e o seu sentido.

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Velocidade Vetorial e Velocidade Média
  • A velocidade de um objeto nos diz quão
    rapidamente ele caminha e a direção que ele segue
    em determinado instante. A melhor maneira de
    entender o significado do vetor velocidade é
    definir e discutir primeiro a velocidade vetorial
    média e utilizá-la em seguida para definir
    velocidade vetorial.
  • A velocidade média de um objeto que se deslocou
    do ponto x1 ao ponto x2 no intervalo de tempo de
    t1 a t2 é dada por
  • v x2 x1 ?x
  • t2 t1 ?t
  • Como a unidade do deslocamento é metros e a do
    tempo é segundos, sendo assim, a unidade de
    medida que representa a média de velocidade do
    objeto no S.I. é m/s.

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  • De acordo com a explicação anterior, a
    velocidade média é a média de rapidez que o
    objeto executou o seu deslocamento, durante um
    intervalo de tempo, sendo assim, ela é constante.
  • Quando pensamos em vetor velocidade ou
    velocidade propriamente dita, estamos falando em
    velocidade instantânea, ou seja, a velocidade em
    um determinado instante e não uma média que se
    encontra dentro de um tempo.
  • Para encontramos a velocidade o intervalo de
    tempo necessariamente tenderá a zero, ou seja
  • v lim v lim ?x
  • ?t 0 ?t

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  • Exercício
  • 1) Um carro sai de um posto de combustível e
    movimenta-se em uma auto-estrada no sentido
    leste-oeste. Depois de 15 s vê a sua frente uma
    placa de trânsito que está a exatamente 81 m de
    distância. O carro continua o seu movimento e
    para 13 metros após a placa de trânsito
    decorridos 22 segundos após a sua partida.
    Calcule a) O seu deslocamento e a sua velocidade
    média. b) Caso o carro estivesse no sentido
    oeste-leste, como ficariam os resultados da
    pergunta a)?

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Aceleração e aceleração média
  • Assim como a velocidade indica uma taxa da
    variação da posição com o tempo, a aceleração
    descreve uma taxa de variação da velocidade com o
    tempo. Como a velocidade, a aceleração também é
    uma grandeza vetorial.
  • Imaginem uma partícula em movimento ao longo do
    eixo x. Suponha que em um dato instante t1 a
    partícula esteja no ponto x1 e possua uma
    velocidade instantânea de Vx1. Em outro instante
    chamado de t2 a partícula está no ponto x2 e
    possui velocidade instantânea de Vx2. Definimos
    aceleração média como uma grandeza vetorial que é
    dada pela razão da variação da componente x da
    velocidade e o intervalo de tempo ?t.
  • a v2 v1 ?v
  • t2 t1 ?t

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  • Como a unidade de medida da velocidade é m/s e
    da variação de tempo é dada em segundos, a
    unidade de medida que representa a aceleração ou
    a aceleração média de um objeto é m/s2.
  • Podemos agora definir aceleração ou aceleração
    instantânea seguindo o mesmo procedimento adotado
    quando definimos velocidade instantânea.
  • Imaginem que um piloto de um carro de corridas
    acaba de entrar na reta final do Grand Prix como
    ilustra a figura a seguir

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  • Para definir a aceleração instantânea no ponto
    P1, imaginamos que o ponto P2 da figura se
    aproxima continuamente do ponto P1, de modo que a
    aceleração média seja calculada em intervalos de
    tempos cada vez menores. A aceleração instantânea
    é o limite da aceleração média quando o intervalo
    de tempo tende a zero.
  • a lim ?v
  • ?t 0 ?t

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Exercícios
  • 1) A velocidade de um carro aumenta de 18 para
    23 m/s em um intervalo de tempo de 5,8 s. a)
    Tomando a direção x segundo a direção do
    percurso do carro, determine a aceleração média.
    b) Supondo a direção x oposta a direção do
    percurso, determine a aceleração média.
  • 2) Em um teste para um novo modelo de automóveis
    da empresa Motores Incríveis, o velocímetro é
    calibrado para ler em m/s ao invés de Km/h. A
    série de medidas a seguir foi registrada durante
    o teste ao longo de uma estrada retilínea muito
    longa.
  • tempo (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16
  • velocidade (m/s) 0 0 2 6 10 16 19 22 22
  • Calcule e a aceleração média durante cada
    intervalo de 2 s. A aceleração é constante? Ela é
    constante em algum trecho do teste?

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Movimento com Aceleração Constante
  • O tipo de movimento acelerado mais simples é o
    movimento retilíneo com aceleração constante.
    Neste caso a velocidade dele varia com a mesma
    taxa durante todo o movimento. É um caso especial
    embora ocorra freqüentemente na Natureza. Por
    exemplo, um corpo em queda livre, que possui
    aceleração constante quando os efeitos da
    resistência do ar são desprezados.
  • Quando a aceleração é constante a aceleração
    média para qualquer intervalo de tempo é a mesma
    que a aceleração instantânea. Logo a a. Assim
    é fácil deduzirmos equações para a posição de X e
    a velocidade Vx em função do tempo.

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  • Para a aceleração média temos a v2 v1
    t2 t1
  • Se chamarmos v2 de Vx, v1 de V0x e t2 de t e
    fizermos o tempo t1 0, teremos que
  • a Vx V0x gt Vx V0x a.t
  • t - 0
  • Da mesma forma, através de múltiplas combinações
    de equações, encontramos outras fórmulas que
    representam o movimento retilíneo com aceleração
    constante em função das outras grandezas como
    posição, velocidade e tempo.

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  • Sabendo-se que V x2 x1
  • t2 t1
  • Se chamarmos x2 de x, x1 de xo, t1 0 s e t2
    t, então teremos
  • V x xo
  • t
  • Sabendo-se que quando a aceleração é constante, a
    velocidade média pode ser dada pela simples média
    aritmética
  • V Vo V
  • 2
  • Para movimento com a aceleração constante, a
    velocidade pode ser encontrada a qualquer
    instante através da equação
  • V Vox a.t , então
  • V Vo (Vox a.t) gtgt
  • 2

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  • V Vox ½ a.t
  • Se V V, então
  • X Xo Vox 1 a.t
  • t
    2
  • X Xo (Vox ½ a.t) . t
  • X Xo Vox.t ½ a.t2

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  • Se isolarmos o tempo na primeira equação do
    movimento com aceleração constante, teremos
  • t V Vox
  • a
  • Substituindo essa equação na anterior que
    encontramos, teremos
  • X Xo Vox. (V Vox) ½ a . (V Vox)2 gtgt
  • a
    a
  • Finalmente chegaremos a
  • V2 Vox2 2.a.(X-Xo)

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  • A utilização de uma ou de outra equação
    dependerá da necessidade apresentada na questão
    que estamos estudando, assim como das grandezas
    apresentadas.

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Exercícios
  1. O movimento de um corredor pode ser aproximado
    por uma aceleração constante de módulo 3,4 m/s2
    para os primeiros 40 m a contar da linha de
    partida. Qual a velocidade do corredor após
    percorrer? a) 20 m b) 40 m ?
  2. O motorista de um carro que percorre uma estrada
    retilínea a uma velocidade de 18 m/s, vê um sinal
    que indica o limite da velocidade de 25 m/s. O
    sinal está a 85 m adiante, no momento em que o
    motorista começa a acelerar o carro. Determine o
    módulo da aceleração constante que fará com que o
    carro passe no sinal à velocidade limite
    indicada.

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  • 3) Um motociclista se dirige para o leste ao
    longo de uma cidade do Estado de São Paulo e
    acelera a moto depois de passar pela placa que
    indica os limites da cidade. Sua aceleração é
    constante e igual a 4 m/s2. No instante t 0 ele
    está a 5,0 m a leste do sinal, movendo-se para
    leste a 15 m/s. a) Determine sua posição e
    velocidade para t 2,0 s. b) Onde está o
    motociclista quando sua velocidade é de 25 m/s?
  • 4) Ao ser lançado pela catapulta da plataforma de
    um porta aviões, um caça a jato atinge a
    velocidade de decolagem de 270 km/h em uma
    distância aproximada de 90 m. Suponha a
    aceleração constante. a) Calcule a aceleração do
    caça em m/s2. b) Calcule o tempo necessário par
    ao caça atingir essa velocidade de decolagem.
  • 5) Um antílope que se move com aceleração
    constante leva 7,0 s para percorrer uma distância
    de 70,0 m entre dois pontos. Ao passar pelo
    segundo ponto, sua velocidade é de 15 m/s. a)
    Qual era a sua velocidade quando passava pelo
    primeiro ponto? b) Qual era a sua aceleração?

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Movimento de Queda Livre
  • Todos nós estamos familiarizados com objetos em
    queda, como por exemplo um peso de papel caindo
    de cima da mesa. Quase sempre quando descrevemos
    o movimento de tais objetos, podemos desprezar a
    resistência do ar, pelo seu valor ínfimo. Se a
    resistência do ar é desprezada é válido dizer
    então que a aceleração do objeto é única e
    exclusivamente por causa da gravidade. Neste caso
    o movimento é chamado de queda livre.
  • Os objetos em queda livre tem uma aceleração
    constante para baixo. A aceleração é a mesma em
    qualquer ponto da queda, além disso é a mesma
    para qualquer tipo de objeto.
  • O Módulo da aceleração devida a gravidade é
    representado pelo símbolo g, que na superfície
    da terra é
  • G 9,8 m/s2

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  • No estudo da queda livre utilizamos o eixo y ao
    longo da direção do movimento, com o vetor
    unitário j apontando para cima. A aceleração de
    um objeto em queda livre será
  • a - g
  • Como o movimento de queda livre é um movimento
    com aceleração constante, podemos utilizar as
    fórmulas da aceleração, fazendo a -g e mudando
    a coordenada x para y

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2
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  • Quando lançamos um objeto como uma bola de
    beisebol para cima na vertical, com velocidade
    inicial V0, pode-se determinar logo duas
    quantidades
  • Tempo médio Tempo (Tm) necessário para que a
    bola atinja altura máxima.
  • Altura máxima (Hm) atingida pela bola.

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  • Exercícios
  • Um vaso de flores cai da janela de um segundo
    andar. Qual a sua velocidade quando tocar o solo
    3,0 metros abaixo? Despreze a resistência do ar.
  • Uma moeda de 1 euro é laçada da Torre de Pisa.
    Ela parte do repouso e se move em queda livre.
    Calcular a sua posição e a sua velocidade nos
    instantes 1,0 s, 2,0 s, e 3,0 s.
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