Procedimento per studiare una funzione - PowerPoint PPT Presentation

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Procedimento per studiare una funzione

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Title: Procedimento per studiare una funzione


1
Procedimento per studiare una funzione
1
  • Lo studio di una funzione, reale di una variabile
    reale yf(x), consiste nel determinare gli
    elementi
  • caratterizzanti la funzione che permettono di
    disegnarne il graficosi può procedere con il
    seguente schema.
  • 1.Determinazione del campo di esistenza (C.E.)
    i casi che si possono presentare sono i seguenti.
  • Funzioni razionali intere il C.E.è costituito
    da qualunque valore della x.
  • Funzioni razionali fratte il C.E. è costituito
    da ogni valori della x , esclusi, se ci sono,
    quelli che rendono nullo il denominatore della
    funzione.
  • Funzioni irrazionalisi devono distinguere due
    casi in relazione allindice n della radice
  • se n è dispari il C.E. è formato
    da ogni x reale esclusi quelli, eventuali,
    che annullano denominatori,
  • se n è pari il C.E. è costituito
    soltanto da quegli x che rendono positivo o
    nullo il radicando.
  • Funzioni goniometriche ysen(x) e ycos(x)
    esistono per ogni x reale mentre ytg(x)
    esiste per
  • con k intero
    relativo , e yctg(x) esiste per ogni
    con k intero relativo.
  • Funzioni esponenziali del tipo
    la condizione che determina il C.E.
    è che la base sia positiva cioè, f(x)gt0.
  • Funzioni logaritmiche del tipo
    le condizioni che individuano il
    C.E. sono le seguenti f(x)gt0 e g(x)gt0,
    .

Avanti continua il procedimento
2
2
  • g) Funzioni goniometriche inverse yarcsen(x)
    e yarccos(x) sono definite per
    ,mentre
  • yarctg(x) e yarcctg(x) esistono per
    ogni x reale.
  • h) Funzioni iperboliche
  • sono definite per ogni x .
  • Funzioni in valore assoluto il valore assoluto
    non induce alcuna limitazione al C.E. della
    funzione.
  • 2. Intersezioni con gli assi cartesiani
  • per lintersezione con lasse x , si
    risolve il sistema formato dalle due equazioni
  • cioè si risolve lequazione f(x)0
  • per lintersezione con lasse y , si
    risolve il sistema formato da
    .
  • Può essere utile individuare anche le
    eventuali simmetrie rispetto allasse y o
    allorigine e le eventuali periodicità.
  • 3. Studio del segno della funzione
  • La funzione è positiva quando il suo grafico
    si trova, rispetto agli assi cartesiani, dalla
    parte del semiasse positivo delle y
    lintervallo di positività si determina
    risolvendo la disequazione
    .

Avanti continua il procedimento
Indietroinizio del procedimento
3
3
4.Calcolo di limiti Si calcolano i limiti
negli estremi del C.E. per vedere landamento
della funzione si trovano gli eventuali punti
di discontinuità e si stabilisce la specie. 5.
Ricerca degli asintoti Gli asintoti possono
essere di tre tipi verticali, orizzontali e
obliqui. a) Asintoti verticali una retta del
tipo xa è un asintoto verticale se è
soddisfatta la condizione b) Asintoti
orizzontali una retta di equazione yk è un
asintoto orizzontale se c) Asintoti obliqui
la retta di equazione ymxq risulta un asintoto
obliquo, per il grafico della funzione,
se,dopo avere verificato che è soddisfatta la
condizione ,
risultano finiti i valori dei due limiti
Si noti che trattando lo studio di
funzioni univoche la presenza di un asintoto
orizzontale esclude la presenza di quello
verticale e viceversa.
Indietroprocedimento
Inizio procedimento
Avanticontinua procedimento
4
4
6. Studio del segno della derivata prima La
funzione è crescente negli intervalli che sono
soluzione della disequazione
mentre è decrescente per
. Un punto di ascissa è un massimo
relativo, , se sono soddisfatte le
condizioni Il punto è un minimo
relativo se 7. Studio del segno della derivata
seconda La funzione ha la concavità rivolta
verso lalto negli intervalli che costituiscono
la soluzione della disequazione
mentre la concavità è rivolta
verso il basso quando In un punto di
massimo relativo risulta pertanto
mentre in un minimo relativo si ha Un punto si
dice di flesso, F , quando risulta
in un punto di flesso la retta
tangente alla curva-grafico della funzione,
attraversa la curva stessa. Quando la tangente
inflessionale è parallela allasse x ,deve
essere
.
Inizio del procedimento
Indietroprocedimento
Avanticontinua procedimento
5
5
8. Esame di situazioni particolari a) Punti
in cui non esiste la derivata prima flessi
verticali, cuspidi, punti angolosi. b)
Simmetrie rispetto a punti o rette
particolari. Studiamo ora un esempio di
funzione razionale fratta.
Inizio procedimento
Indietro. procedimento
6
Funzioni razionali fratte
Sono funzioni razionali fratte quelle del tipo
in cui la x compare al
denominatore. Sono caratterizzate dal fatto che
generalmente presentano degli asintoti verticali
del tipo per i valori della x in cui
si annulla il denominatore. Cioè per gli x tali
che risulta ,tali valori sono
esclusi dal C.E. Esempio 1
Torna a procedimento studio funzioni
7
Esempio 1
Grafico
Funzione
Campo di esistenza C.E.
(Clic per visualizzare)
1
Avantipag.seguente
Torna a procedimento
Torna a funz.raz.fratte
8
Intersezione asse y
Intersezioni asse x
Segno della funzione

Grafico
Grafico
(Clic per visualizzare)
Grafico
Avanti
Procedimento
Funz.raz.fratte
Indietropag.precedente
9
Calcolo limiti in estremi C.E.
(fare clic per visualizzare)
Y1
Asintoti verticali x1
X1
Asintoti orizzontali y1
Asintoti obliquinon ce ne sono
Procedimento
Funz.raz.fratte
Indietro
Avanti
10
Calcolo della derivata prima
Studio del segno della derivata prima
Intervalli di crescenza decrescenza La funzione è
crescente per 1ltxlt4
Massimi e minimi relativi Cè un massimo relativo
in Mr(4,4/3)
Avanti
Funz.raz.fratte
Procedimento
Indietro
11
Calcolo derivata seconda
Studio segno derivata seconda
Concavità verso lalto e verso il basso La
funzione ha la concavità verso lalto perxgt11/2,
verso il basso per xlt4 ma
Punti di flessocè un punto di flesso per x11/2
Procedimento
Funz.raz.fratte
Indietro
Avanti
12
Grafico della funzione
(fare clic per visualizzare gli
elementi)
X1
Y1
Flesso
C(2,0)
B(-2,0)
A(0,-4)
Fine
Procedimento
Funz.raz.fratte
Indietro
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