A cura di Maria Giovanna Melis

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Relazioni

• A cura di Maria Giovanna Melis

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Un possibile itinerario didattico Relazioni
legate a situazioni reali e loro
rappresentazione 1- fra due insiemi diversi
1a) relazioni di vario tipo è sorella
di è madre di si nutre di 2b)
corrispondenze univoche e biunivoche
cartella alunno tappo bottiglia tazza
piattino 2- fra due insiemi uguali (in uno stesso
insieme) 2a) relazioni di equivalenza
ha la stessa forma di è nato nello
stesso anno di pratica lo stesso sport di
2b) relazioni di ordine è più alto
di è maggiore di contiene più di 3-
Proprietà delle relazioni in un insieme
proprietà riflessiva , proprietà simmetrica,
transitiva 4- Relazioni inverse 5- Utilizzo delle
relazioni nei diversi ambiti disciplinari. 6-
Situazioni combinatorie Prodotto cartesiano
di due insiemi - individuazione di tutti i
casi possibili di combinazione di oggetti o di
attributi (coppie ordinate) - Rappresentazione
con frecce, tabelle a doppia entrata, albero.
Riferimenti Bozzolo, Primi elementi di logica,
insiemi, relazioni, La scuola, 1993
Filipozzi Maricchiolo, Logica, probabilità,
statistica e informatica, Fabbri editori, 1990
Tenuta, Itinerari di logica,
probabilità, statistica, informatica, La scuola,
1992 Lanciotti, Marazzani,
Logica, Carocci Faber, 2004
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Una coppia ordinata è costituita da due elementi,
per esempio a e b, uno dei quali viene indicato
come primo elemento e laltro come secondo. Con i
simboli (a,b) Caratteristica delle coppie (a,b)
(b,a). Essendo ordinate non possono essere la
stessa coppia.
Coppia ordinata
Il concetto di coppia ordinata permette di
definire linsieme prodotto di due insiemi. Dati
due insiemi F, P si dice insieme prodotto o
prodotto cartesiano di F e P linsieme che ha per
elementi tutte le coppie ordinate in cui il primo
elemento appartiene a F e il secondo elemento
appartiene a P. Linsieme prodotto si indica con
F x P Es F 0, 1, 2 P a, b F x P
(0, a), (0, b), (1,a), (1,b), (2,a), (2,b)
Il prodotto cartesiano non è commutativo F x P
P x F
Il prodotto cartesiano può avvenire anche con
linsieme per se stesso F x F
torna
4
F x F
Utilizzando le sillabe pe ra, costruiamo nella
tabella linsieme di tutte le coppie
PE RA
PE PEPE PERA
RA RAPE RARA
La stessa situazione può essere rappresentata con
un grafico a frecce
RA
PE
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Una relazione consiste in 1- un insieme A 2- un
insieme B 3- unespressione P (x, y) tale che è
vera o falsa per ogni coppia ordinata del
prodotto cartesiano A x B. Oppure 1- un insieme
A 2- unespressione P (x, y) tale che è vera o
falsa per ogni coppia ordinata del prodotto
cartesiano A x A. La relazione è un sottoinsieme
del prodotto cartesiano A x B o A x A, poiché al
loro interno si vanno a cercare le coppie che
rispondono a tali relazioni.
1 esempio A 1, 2, 3, 4 e B a, b R
ltltil primo elemento della coppia è un numero
parigtgt R (2,a) (2,b) (4,a) (4,b) . Su otto
possibili coppie del prodotto cartesiano quattro
rispondono alla relazione.
2 esempio A 1, 2, 3, 4 R ltltx ygtgt R
(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) . Su sedici possibili
coppie del prodotto cartesiano quattro rispondono
alla relazione.
torna
6
Corrispondenze univoche o applicazioni Una
applicazione è una corrispondenza tra due insiemi
che mette in relazione ogni elemento del primo
insieme con un solo elemento del secondo insieme.
Nella rappresentazione sagittale da ogni elemento
del primo insieme parte una sola freccia. Per
esempio, la relazione ltltè nato nel mese digtgt
tra linsieme degli alunni di una classe e
linsieme dei mesi dellanno determina una
corrispondenza univoca, in quanto ciascun alunno
è nato in un mese e solo in quel mese.
A
B
Luigi
A R B R è figlio di
Giovanni
Martina
Luca
Alessia
Stefano
Fabiana
Piero
Mattia
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Corrispondenze biunivoche o biiezioni Una
relazione tra A e B si dice corrispondenza
biunivoca se essa associa ad ogni elemento di A
uno e un solo elemento di B e ogni elemento di B
è associato a uno e un solo elemento di A (A e B
potrebbero anche coincidere).
R è lo strumento di lavoro di
A R B
A
B
falegname
pennello
asciugacapelli
imbianchino
sarto
sega
ago
muratore
parrucchiere
cazzuola
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Tutte le attività di classificazione richiedono
sostanzialmente di mettere in relazione attributi
di oggetti in modo da stabilire uguaglianze o
differenze.
Vai a esempi di attività
Diversi tipi di relazione
Relazione fra un insieme e i suoi elementi
Relazione tra insiemi
Relazione tra gli elementi di due insiemi.
Si possono verificare due casi
Rappresentazione grafica di una relazione
Alcune proprietà delle relazioni in un insieme
I due insiemi sono diversi
Altre proprietà
I due insiemi sono uguali
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Se i due insiemi sono uguali, cioè sono lo stesso
insieme, si parla di relazioni in un insieme.
A Angelo, Cinzia, Luigi, Aurora, Carla A R
A R ha il nome che inizia con la stessa
lettera di
Angelo Cinzia Luigi Aurora Carla
Angelo x x
Cinzia x x
Luigi x
Aurora x x
Carla x x
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Relazione fra gli elementi di due insiemi diversi
B
A
15
2
16
3
17
18
4
19
5
20
torna
11
Per semplicità, in ognuno degli esempi che
seguono viene considerata una sola proprietà,
anche se tale relazione gode di altre proprietà.
A 2, 3, 5, 7, 11, 13 R è divisore di
A
11
Viene evidenziata la proprietà riflessiva della
relazione, perché ogni elemento è in relazione
con se stesso.
torna
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B
R ha lo stesso numero di lati di
B
La relazione gode della proprietà simmetrica ,
perché per tutti gli elementi dellinsieme dato
si verifica che se un elemento a è in relazione
con un elemento b, anche b è in relazione con a.
torna
13
C
R è più lungo di
La relazione gode della proprietà transitiva ,
perché per tutti gli elementi dellinsieme dato
si verifica che se a è in relazione con b e b è
in relazione con c, anche a è in relazione con c.
torna
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Proprietà antiriflessiva P Antonio, Bruno,
Cristiano, Domenico P è un insieme di persone
sappiamo che Antonio è il più vecchio di tutti,
Domenico è il più giovane e Bruno è nato prima di
Cristiano. Rappresentiamo con le frecce la
relazione R è nato dopo di
Bruno
P
Antonio
Cristiano
Domenico
Nessun elemento è in relazione con se stesso
quando capita questa situazione si dice che la
relazione considerata gode della proprietà
antiriflessiva
torna
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U poligoni T triangoli
U
T
Appartenenza Il triangolo appartiene
allinsieme (è elemento dellinsieme) T dei
triangoli. Si scrive T Non appartenenza
Il pentagono non appartiene allinsieme T dei
triangoli Si scrive T
torna
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Relazione tra insiemi linclusione
U numeri naturali fino a 10 A numeri
naturali pari fino a 10 Si scrive A U Si
legge A è strettamente incluso in U
U
3
1
0
2
9
8
5
4
6
10
7
A
Gli elementi dellinsieme A sono tutti anche
elementi di U. Si dice che A è strettamente
incluso nellinsieme U, cioè che A è un
sottoinsieme di U. Per indicare che un insieme
non è incluso in un altro si usa il simbolo
torna
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Consideriamo i due insiemi A Parigi, Madrid,
Roma, Bruxelles, Vienna P, M, R, B, V B
Italia, Austria, Francia, Spagna, Belgio I,
A, F, S, B Determinare le coppie che soddisfano
la relazione R ltlt è la capitale di gtgt Si
può rappresentare graficamente AxB e quindi il
sottoinsieme R delle coppie che soddisfano la
relazione in vari modi
Diagramma sagittale
Tabella a doppia entrata
Rappresentazione cartesiana
torna
18
Diagramma sagittale
A
B
I
M
P
A
F
R
B
B
V
S
Si uniscono con frecce gli elementi delle coppie
appartenenti alla relazione.
torna
19
Rappresentazione cartesiana
s
B
S
F
A
I
r
P
M
R
B
V
Si reticola il piano secondo due direzioni
perpendicolari (rette r e s ) e si evidenziano i
punti di incrocio che rappresentano coppie
appartenenti a R. (Non è un riferimento
cartesiano perché r e s non sono orientate e su
di esse non è stata fissata ununità di misura).
torna
20
Tabella a doppia entrata
B
I A F S B
P
M
R
B
V
A
Si evidenziano con un simbolo le caselle
corrispondenti ad un elemento di R. Si usa
mettere linsieme di partenza a sinistra e quello
di arrivo in alto.
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1- relazioni di equivalenza Le relazioni di
equivalenza si ricavano dal prodotto cartesiano
AxA. Si tratta di una relazione binaria che gode
delle proprietà riflessiva, simmetrica e
transitiva.
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A R ha la stessa forma di
Si può ottenere una partizione dellinsieme A in
sottoinsiemi, mediante la relazione. Si
formeranno tre sottoinsiemi E, F, G. Ciascun
sottoinsieme è detto classe di equivalenza e il
loro insieme, che è quindi un insieme di insiemi,
è detto insieme quoziente. Si usa indicare tale
insieme con Q.
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U Poligoni R ha lo stesso numero di lati
di
Triangoli
Esagoni
Quadrilateri
Tale relazione è di equivalenza e le classi di
equivalenza sono triangoli quadrilateri
esagoni Linsieme quoziente è Q triangoli
quadrilateri esagoni ,
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2- relazioni di ordine Tra le diverse relazioni
che legano gli oggetti, i fatti e le situazioni,
alcune si configurano come relazioni dordine, di
queste fanno parte anche le successioni
spazio-temporali. La relazione dordine si ricava
dal prodotto cartesiano AxA. Si tratta di una
relazione binaria e può essere di due ordini -
Ordine stretto è una seriazione che gode della
proprietà transitiva, antisimmetrica e non
riflessiva. - Ordine largo è una seriazione che
gode della proprietà transitiva, riflessiva e
antisimmetrica
I diagrammi di Hasse
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I diagrammi di Hasse (Helmut Hasse 1898 1980)
servono a rappresentare una relazione dordine su
un insieme finito. Sono una semplificazione dello
schema sagittale della relazione stessa
R ltlt x è divisore di ygtgt Osserviamo questa
relazione in due insiemi diversi
A 1, 3, 9, 27 R è di ordine
totale
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B 1, 2, 3, 4, 6, 12 R è di ordine
parziale
Diagramma a frecce
Diagramma di Hasse
1-Nei diagrammi di Hasse si sopprimono i cappi
che indicano la riflessività 2-Quando una freccia
va da x a y e unaltra da y a z, si sopprime la
freccia che va da x a z. 3-Le frecce rimanenti
sono rimpiazzate da un semplice tratto e gli
elementi sono disposti in modo che un elemento
precede (nel senso della relazione) tutti gli
elementi posti più in alto di quello considerato.
Riferimento Bozzolo, Primi elementi di logica,
insiemi, relazioni, La Scuola, 1993
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Una relazione è di ordine largo se gode della
proprietà transitiva, della proprietà riflessiva
e della proprietà antisimmetrica Es. A 2, 3,
4, 5 R è minore o uguale a (lt )

A
Si formano le coppie (2,2), (2,3), (2,4),
(2,5) (3,3), (3,4), (3,5) (4,4), (4,5) (5,5)
2
3
5
4
La relazione è riflessiva (2,2), (3,3), (4,4),
(5,5) La relazione è transitiva (2,3), (3,4),
(2,4) La relazione è antisimmetrica (2,2)

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A primi sei numeri naturali
R è maggiore di
5
1
4
3
6
2
I cappi risultano assenti nessun numero è
maggiore di se stesso. Non ci sono frecce di
andata-ritorno perché la relazione non è
simmetrica (se a è maggiore di b, b non è
maggiore di a). Vale però la proprietà
transitiva. Ogni freccia corrisponde ad una
coppia ordinata di numeri nellinsieme dato, la
relazione è soddisfatta dalle coppie (6,5) (6,4)
(6,3) (6,2) (6,1) (5,4) (5,3) (5,2) (5,1) (4,3)
(4,2) (4,1) (3,2) (3,1) (2,1)
Tutte le coppie di elementi dellinsieme sono tra
loro confrontabili la relazione si dice di
ordine totale
se a ogni coppia si fa corrispondere un punto
avremo lo schema
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U 0, 1, 2, 3, 4, 6, 12, 15
R è multiplo di
R è divisibile per
Tutte le caselle della diagonale principale sono
contrassegnate (riflessività) (0,0) (1,1) (2,2)
(3,3) (4,4), . Sono contrassegnate le caselle
(12,4) e (4,2) e anche la casella (12,2)
(proprietà transitiva) Non è contrassegnata né la
casella (15,6) né la casella (6,15), perché
lordine indotto dalla relazione non è totale
Lenunciato aperto ltltè divisibile pergtgt è
equivalente a ltltè multiplo digtgt sulle coppie
ordinate di numeri naturali, con il secondo
elemento diverso da 0, pertanto definisce la
medesima relazione dordine
30
Nellinsieme dei numeri naturali lenunciato
aperto ltltè multiplo digtgt induce una relazione
binaria -riflessiva, perché ogni numero naturale
è in relazione con se stesso -transitiva, in
quanto se a è multiplo di b e b è multiplo di c,
allora a è multiplo di c -antisimmetrica, in
quanto se a è multiplo di b e b è multiplo di a,
allora a è uguale a b. Si tratta, dunque, di una
relazione dordine tuttavia, lordinamento non
è totale , poiché vi sono coppie di numeri
naturali che non rendono vero lenunciato aperto.
Riferimento Bozzolo, Costa, Nel mondo dei numeri
e delle operazioni, volume 4, Erickson, 2003
31
R è multiplo di
6
7
A
3
5
8
9
2
4
1
10
0
32

• Per es., dal 2 parte una freccia che torna su se
  stessa e una freccia che va ad 1, perché il 2 è
  multiplo di se stesso e multiplo di 1.
• Pertanto
• - Ogni numero è multiplo di se stesso quindi nel
  grafico ogni numero risulta dotato di cappio
  (riflessività)
• Nessuna coppia di numeri risulta collegata da
  frecce di senso opposto perché se a è multiplo di
  b allora b non può risultare multiplo di a (cioè
  la relazione non è simmetrica)
• se a è multiplo di b e b è multiplo di c , a è
  multiplo di c (transitività).
• Cè da notare, però, che la relazione ltltè
  multiplo digtgt non consente di confrontare tra
  loro tutte le coppie di numeri dellinsieme (ad
  esempio, tra 2 e 3 non cè relazione, per cui
  tale relazione va considerata di ordine parziale

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Relazione inversa (o conversa) di una
relazione Data una relazione R fra A e B,
invertendo tutte le frecce si ha una relazione
fra B e A, che si dice inversa di R. Ecco alcuni
esempi di predicati che danno luogo a relazioni
una inversa dellaltra ltltè maggiore digtgt,
ltltè minore digtgt ltlt è figlio digtgt,
ltltè genitore digtgt ltltè multiplo digtgt,
ltltè divisore digtgt ltltè la capitale digtgt,
ltltha per capitalegtgt E da notare come, quasi
sempre, se una relazione è espressa in forma
attiva la sua inversa è in forma passiva e
viceversa.
34
E adesso si gioca.
Torna a itinerario
35
Al parco si incontrano dei bambini. Gabriele,
Luigi, Mario e Eleonora incontrano per prima
Sonia, la sorella di Luigi e Mario. Più avanti,
incontrano Matteo, il fratello di Eleonora, che
gioca a rincorrersi con Sandra, la sorella di
Sonia. Traccia le frecce che vogliono dire è
il fratello di
Mario
Gabriele
Luigi
Eleonora
Sandra
Aiutino?
Sonia
Matteo
Avere almeno un fratello Non avere fratelli
Avere almeno una sorella
Non avere sorelle
36
Mario
Gabriele
Luigi
Eleonora
Sandra
Sonia
Matteo
Avere almeno un fratello Non avere fratelli
Avere almeno una sorella Luigi, Mario, Sonia, Sandra Matteo
Non avere sorelle Eleonora Gabriele
torna
37
In un insieme di maschi e femmine, le frecce
indicano la relazione ltltha come fratellogtgt
b
a
c
d
e
c non ha fratelli a è una femmina che ha come
fratello b d e e sono due maschi
38
La freccia indica la relazione ltlt è minore di
gtgt Che numeri potrebbero rappresentare le
lettere a, b e c?
a
c
b
I valori di a, b e c dovranno soddisfare la
relazione c lt b lt a
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Traccia delle frecce da ogni quadrato verso tutti
quelli più piccoli
40
Ecco un insieme di parole. Traccia tutte le
frecce che significano termina con la stessa
sillaba di..
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Unisci le sillabe per formare delle parole. Le
frecce che collegano le sillabe di una stessa
parola devono essere dello stesso colore.
la
pa
go
sto
ma
co
Puoi scrivere nel quaderno le parole che hai
trovato
pala
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Questa è una famiglia composta da papà, mamma e
un figlio che si chiama Rinaldo. Che cosa può
dire Rinaldo alla mamma e al papà con la stessa
freccia rossa? Che cosa dice il papà a Rinaldo,
con la freccia gialla? Che cosa dice la mamma a
Rinaldo, con la freccia verde?
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Questi tre animali si parlano con la freccia
rossa che vuol dire Io sono più alto di te.
Dicono tutti la verità oppure cè qualcuno che
dice una bugia? Guarda le zampe di questi
animali sapresti far parlare gli animali con una
freccia verde che dice Io ho lo stesso numero
di zampe che hai tu?
Tutti dicono la verità
Non tutti dicono la verità
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Sta davanti Marco Luigi Piero Mario Matteo
Marco 0 0 1 0 1
Luigi 1 0 1 1 1
Piero 0 0 0 0 1
Mario 1 0 1 0 1
Matteo 0 0 0 0 0
1
2
3
4
5
Ogni volta che un ragazzo, nella fila, sta
davanti ad un altro, si scrive 1 nella casella
che rappresenta la coppia formata da questi due
ragazzi altrimenti si scrive 0. Usa le
indicazioni della tabella per scrivere il nome di
ogni ragazzo nella tabella di arrivo.
fine