Le programme de 6

1
Le programme de 6 organisé autour de la notion
de grandeur

• Recherche du Groupe Collège
• IREM de POITIERS

Les mathématiques ont pour objet de mesurer, ou
plutôt de comparer les grandeurs par exemple
les distances, les surfaces, les vitesses, etc.
Bossut, 1784
2
Organisation générale du travail

• Structurer le programme de 6 autour de PER
• PER construits sur 6 grandeurs permettant de
  recouvrir les contenus du programme de 6
• Chaque PER est construit autour de grandes
  questions qui organisent létude de la grandeur.

3
Mises en œuvre présentées

• Aires 2008
• Angles 2009

 Mais létude des aires et des volumes a une
utilité plus haute quil faut envisager  elle
fait comprendre comment, pour des fins pratiques,
les hommes ont pu être conduits à construire la
géométrie et elle justifie leur effort. 
Lebesgue, La mesure des grandeurs, 1935
Lart de prendre la valeur des Angles est une
opération dun grand usage dune grande étendue
dans lArpentage, la Navigation, la Géographie,
lAstronomie, c. LEncyclopédie, art. Angle
1751
4
ANALYSE
Pourquoi ces choix ?

• Un constat
• Un questionnement

5
Un constat présentation des programmes (1)

• Une myriade de connaissances et de capacités

6
Présentation des programmes (2)

• Quelques grands domaines

• Collège
• Organisation et gestion
• de données, fonctions
• Nombres et Calculs
• Géométrie
• Grandeurs et mesures

7
Un questionnement sur les raisons dêtre des
mathématiques

• Des techniques sans raison dêtre
• - ajouter des fractions
• - développer, factoriser
• - rendre rationnel un dénominateur
• - étudier des figures
• - calculer une longueur, un angle
• Savoir doù viennent et à quoi servent ces
  techniques, et pourquoi les hommes les ont
  inventées permet de comprendre ce que sont les
  mathématiques, cest pouvoir donner du sens à
  leur enseignement.

8
Conséquence

• Recontextualiser les techniques dans létude des
  problèmes dont soccupent les mathématiques.
• Doù, recherche sur les questions et les outils.
• Quelles sont les questions dont soccupent les
  mathématiques ?
• Quels sont les outils quelles ont élaborés
  pour y répondre ?
• Il ny a pas des problèmes quon se pose, il y
  a des problèmes qui se posent. Il ny a pas de
  problèmes résolus, il y a seulement des problèmes
  plus ou moins résolus. H. Poincaré  

9
Les deux axes de la recherche

• Revenir aux sources du savoir histoire,
  épistémologie
• Chercher où vivent les mathématiques dans notre
  société écologie des savoirs
• Cerner les enjeux des grands domaines des
  mathématiques

10
Les grands domaines des mathématiques

• Arithmétique
• Géométrie
• Algèbre
• Analyse
• Statistiques
• et probabilités

• Collège
• Organisation et gestion de données, fonctions
• Nombres et Calculs
• Géométrie
• Grandeurs et mesures

• Seconde
• Statistiques,
• Calcul et fonctions,
• Géométrie

11
Les grands domaines des mathématiques? La
classification de Bossut, 1784 (1)
Les mathématiques ont pour objet de mesurer, ou
plutôt de comparer les grandeurs par exemple
les distances, les surfaces, les vitesses, etc.
Elles se divisent en mathématiques pures et en
mathématiques mixtes. Les mathématiques pures
considèrent la grandeur dune manière simple,
générale et abstraite Elles comprennent 1)
Larithmétique ou lart de compter 2) La
géométrie qui apprend à mesurer létendue 3)
Lanalyse, science des grandeurs en général 4)
La géométrie mixte, combinaison de la géométrie
ordinaire et de lanalyse
12
Les grands domaines des mathématiques? La
classification de Bossut, 1784 (2)
Les mathématiques mixtes empruntent de la
physique 1) La méchanique, science de
léquilibre et du mouvement des corps solides 2)
Lhydrodynamique qui considère léquilibre et le
mouvement des corps liquides 3) Lacoustique ou
la théorie des sons 4) Loptique ou la théorie
des mouvements de la lumière 5) Lastronomie,
science du mouvement des corps célestes. 
13
I. Arithmétique. Définitions (1)

• Encyclopédie Méthodique, Bossut, 1734
•  Cest lart de dénombrer, ou cette partie des
  Mathématiques qui considère les propriétés des
  nombres. On y apprend à calculer exactement,
  facilement, promptement. Larithmétique est la
  base de toutes les Sciences mathématiques, car
  les rapports de toutes les espèces de quantités
  se réduisent finalement en nombres.
• Quelques auteurs définissent lArithmétique la
  Science de la quantité discrète. 

14
I. Arithmétique. Définitions (2)

• Bézout, 1739
•  On appelle en général, quantité, tout ce qui
  est susceptible daugmentation ou de diminution.
  Létendue, la durée, le poids, etc. sont des
  quantités. Tout ce qui est quantité est de
  lobjet des Mathématiques  mais lArithmétique
  qui fait partie de ces Sciences, ne considère les
  quantités, quen tant quelles sont exprimées en
  nombres. LArithmétique est donc la science des
  nombres  elle en considère la nature et les
  propriétés  et son but est de donner des moyens
  faciles, tant pour représenter les nombres, que
  pour les composer et décomposer, ce quon appelle
  calculer.   

15
I. Arithmétique ses origines

• Besoins sociaux échanges, partages, commerce,
  évaluation des biens, impôts, héritages,
  salaires, calendrier
• Besoins toujours actuels

16
I. Arithmétique les grandes questions

• - Comment dénombrer ? (un troupeau, une récolte)
• - Comment calculer ? (un prix, une durée, un
  nombre douvriers)
• - Comment comparer ? (des masses, des prix,
  problèmes de conversions, de comparaison absolue
  et relative )
• - Comment partager ? (des richesses, des biens,
  des ressources, des productions)

17
I. Arithmétique les réponses

• - Les réponses à ces questions ont amené à
  élaborer des notions et des techniques et à les
  améliorer bases de numération, techniques de
  calcul, format des nombres, système métrique
• - Les questions sont toujours actuelles
  larithmétique est toujours très présente dans
  notre vie sociale.

18
II. Géométrie définitions

• ?

- Mesurer Lobjet principal de la géométrie
est de mesurer les différentes espèces détendues
que lesprit considère.  Montucla. Histoire
des Mathématiques, 1758 - Construire Dès
quon a fait de la géométrie, comme on tendait
vers des buts concrets, on a effectué des
constructions   Lebesgue. La mesure des
grandeurs, 1935
19
II. Géométrie origine

•  Mais létude des aires et des volumes a une
  utilité plus haute quil faut envisager  elle
  fait comprendre comment, pour des fins pratiques,
  les hommes ont pu être conduits à construire la
  géométrie et elle justifie leur effort. 
  Lebesgue, La mesure des grandeurs, 1935)
• - Arpentage bornage, partage des terrains,
  travaux publics (routes, canaux, déblais,
  remblais)
• - Construction dédifices, de décors
• - Besoins de lastronomie, cartographie,
  géographie, navigation, fortification

20
II. Géométrie Les grandes questions

• - Comment mesurer une grandeur ? (longueur, aire,
  volume, angle)
• - Comment mesurer des grandeurs inaccessibles ?
  (distances)
• - Comment construire ? (une figure, un solide
  ayant des caractéristiques données, avec des
  instruments donnés)
• - Comment se repérer ? (à la surface de la Terre,
  sur mer, dans les airs, par rapport au Ciel)
• - Comment représenter lespace sur un plan ?
  (perspective, peinture, écran)

21
II. Géométrie les réponses (1)

• - Les réponses à ces questions ont amené à
  élaborer tout un corpus de notions, techniques et
  instruments angle, parallèles, tangente,
  symétries, cercles, triangles, polygones,
  polyèdres, corps ronds, constructions, lieux,
  triangles isométriques, figures semblables,
  compas, astrolabe
• - Questions toujours actuelles, et qui se
  renouvellent GPS, images numériques

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II. Géométrie les réponses (2)

• Clairaut  Elemens de Géométrie, 1741
•  
• PREMIERE PARTIE (pages 1 à 72)
• Des moyens quil était le plus naturel demployer
  pour parvenir à la mesure des Terrains.
•  
• DEUXIEME PARTIE (pages 73 à 102)
• De la méthode géométrique de comparer des figures
  rectilignes.
•  
• TROISIEME PARTIE (pages 103 à 144)
• De la mesure des figures circulaires et de leurs
  propriétés.
•  
• QUATRIEME PARTIE (pages 145 à 215)
• De la manière de mesurer les solides et leurs
  surfaces.

23
III. Algèbre définition

•   Science du calcul des grandeurs considérées
  généralement. On a choisi pour représenter les
  grandeurs ou les quantités les lettres de
  lalphabet comme étant dun usage plus facile et
  plus commode quaucun autre signe.
• Lalgèbre a deux parties
• La méthode de calculer les grandeurs, en les
  représentant par les lettres de lalphabet,
• La manière de se servir de ce calcul pour la
  solution des problèmes (partie la plus étendue et
  la principale).
• Encyclopédie Méthodique, DAlembert, 1734

24
III. Algèbre origines

• - Algèbre numérique résolution de problèmes
  par mise en équation, puis résolution des
  équations.
• - Algèbre littérale outil pour résoudre tous
  les problèmes.
• Nullum non problema solvere
•  LArt analytique sattribue justement le
  magnifique problème des problèmes qui est
  résoudre tout problème.  Viète. Introduction à
  lArt analytique, 1591

25
III. Algèbre les grandes questions

• - Comment résoudre un problème à laide
  déquations ?
• - Comment exprimer des relations entre grandeurs
  ? (formules générales, équations de courbes,
  équations différentielles)
• - Comment calculer sur les grandeurs ?

26
III. Algèbre les réponses (1)

• Les réponses à ces questions ont fait de
  lalgèbre le langage universel de la science.
• Elle a remplacé en ce sens la Géométrie.

IREM de POITIERS - LYON 05 09
26
27
III. Algèbre les réponses (2)

• Clairaut. Elemens dAlgèbre, 1768, 4 éd.
• -   Je me suis proposé de suivre dans cet
  ouvrage la même méthode que dans mes Elemens de
  Géométrie. Jai tâché dy donner les règles de
  lAlgèbre dans un ordre que les Inventeurs
  eussent pu suivre. Nulle vérité ny est présentée
  sous forme de théorème. Toutes, au contraire,
  semblent être découvertes en sexerçant sur les
  problèmes que le besoin ou la curiosité ont fait
  entreprendre de résoudre. 
• -  Parmi les différents Problèmes dont les
  premiers Mathématiciens qui ont noms
  dAlgébristes se sont occupés, je choisis
  celui-ci, comme un des plus propres à faire voir
  comment ils sont parvenus à former la Science
  quon nomme Algèbre ou Analyse   ltPartager une
  somme, par exemple 890 à trois personnes, en
  sorte que la premièregt

IREM de POITIERS - LYON 05 09
27
28
IV. Analyse définition
ANALYSE est proprement la méthode de résoudre
les problèmes mathématiques, en les réduisant à
des équations. Lanalyse, pour résoudre tous
les problèmes, emploie le secours de lAlgèbre,
ou le calcul des grandeurs en général  aussi ces
deux mots, analyse, algèbre, sont souvent
regardés comme synonymes. // Lanalyse est
divisée, par rapport à son objet, en analyse des
quantités finies, et analyse des quantités
infinies. Analyse des quantités finies, est ce
que nous appelons autrement Arithmétique
Spécieuse ou Algèbre. Analyse des quantités
infinies ou des infinis, appelée aussi la
nouvelle Analyse Encyclopédie Méthodique,
DAlembert, 1734
29
IV. Analyse origine

• - Méthodes infinitésimales pour le calcul des
  longueurs de courbes, aires, volumes, centres de
  gravité.
• - Étude des mouvements et trajectoires
  (astronomie, mécanique, optique, physique)
• - Recherche de lois inconnues (problèmes de
  mécanique et de physique)

30
IV. Analyse les grandes questions

• - Comment étudier les variations dune grandeur ?
• - Comment comparer des grandeurs variables ?
• - Comment construire une courbe (trajectoire) ?
• - Comment résoudre un problème doptimisation ?
• - Comment trouver une courbe astreinte à des
  conditions (trajectoire, calcul différentiel)
  ?
• - Comment mesurer des grandeurs liées à des
  courbes ? (longueur, aire, volume, calcul
  intégral).

31
IV. Analyse les réponses

• ?Les réponses à ces questions ont amené à
  élaborer tout un corpus de notions, méthodes,
  techniques
• équations, graphiques, fonctions, dérivées,
  intégrales

IREM de POITIERS - LYON 05 09
31
32
V. Statistiques et probabilités définitions
-  La Géométrie du hasard  Pascal, 1654 -
 Quy a-t-il de commun entre la statistique,
ensemble de routines administratives nécessaires
pour décrire un état et sa population, et le
calcul des probabilités, subtile façon dorienter
les choix en cas dincertitude, imaginée vers
1660 par Huygens et Pascal, et les estimations de
constantes physiques et astronomiques à partir
dobservations empiriques disparates, effectuées
vers 1750 ?  A. Desrosières. La politique des
grands nombres. Histoire de la raison
statistique, 1993, rééd. 2000
33
V. Statistiques et probabilités origine

• - Statistiques
• - Statistique allemande recueil et
  organisation de données pour gouverner, gérer
  lÉtat
• - Arithmétique sociale anglaise extrapoler à
  partir de données (population) pour rentes,
  assurances,
• - Probabilités
• - Jeux de hasard jeu équitable, partage
  équitable
• - Contrôle des estimations
• - Aide à la décision juste (Condorcet, Laplace,
  Poisson)
• - Théorie des erreurs

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V. Statistiques et probabilités les grandes
questions

• - Comment mesurer lincertain ?
• - Comment recueillir et transmettre de
  linformation ?
• - Comment situer un individu dans une population?
  ( Lhomme moyen )
• - Comment estimer une population à partir dun
  échantillon ?
• - Comment prévoir ?

35
V. Statistiques et probabilités les réponses
- Les réponses à ces questions ont amené à
lutilisation de tableaux et de graphiques, aux
notions de moyenne, médiane, fréquence,
espérance, probabilité, et à leurs calculs. -
 Le chômage, linflation, la croissance, la
pauvreté, la fécondité  ces objets et leurs
mesures statistiques constituent des points
dappui pour décrire des situations économiques,
dénoncer des injustices sociales, justifier des
actions politiques. Ils fournissent une langue
stable et largement acceptée pour exprimer le
débat.  A. Desrosières. 1993, 2000. -   Ce
calcul délicat sétend aux questions les plus
importantes de la vie qui ne sont, en effet, pour
la plupart, que des problèmes de probabilités. 
Laplace. 1812
36
Bilan 1. Quelques grandes questions

• Comment comparer ?
• Comment partager ?
• Comment dénombrer ?
• Comment mesurer ?
• Comment calculer ?
• Comment construire ?
• Comment prévoir ?

37
2. Bilan général

• Questions
• ?enracinées dans la vie sociale et dans létude
  des grandeurs (commerce, propriété, navigation,
  calendrier, astronomie, géographie, mécanique,
  religion )
• ?transversales à plusieurs domaines.
• Doù
• ?des méthodes et des outils transférables aux
  différents domaines,
• ?la fabrication doutils et de méthodes généraux.
• Cest ainsi que ce sont constitués des domaines
  aux objets et méthodes très généraux
  Arithmétique, Algèbre et Analyse (Nombre,
  équations, fonctions).

38
MISE EN ŒUVRE EN 6

• 1. Organisation générale
• 2. Un exemple
• LES ANGLES

39
MISE EN ŒUVRE (1a)

• Loubli de la notion de grandeur ferme les
  mathématiques sur elles-mêmes.
• En sens inverse, lexploration de lunivers des
  grandeurs constitue le point de départ de
  lexploration mathématique de la diversité du
  monde.
• Lintroduction mathématique au monde qui nous
  entoure suppose donc prise de contact et
  familiarisation avec lunivers des grandeurs.
• Y. CHEVALLARD, M BOSCH, 2002

40
MISE EN ŒUVRE (1b)

• Organisation de lannée autour de létude de 6
  grandeurs (angles, durées, aires, prix, volumes,
  longueurs), thèmes transversaux aux 4 grandes
  parties du programme, et donc aux différents
  domaines des mathématiques
• Organisation de létude de chaque grandeur autour
  de quelques grandes questions
• Comment comparer ? Comment mesurer ? Comment
  calculer ? (qui en entraînent dautres comment
  multiplier, diviser ou partager ?)

F4T
IREM de POITIERS - LYON 05 09
40
41
MISE EN ŒUVRE (2)

• Un exemple
• LES ANGLES en 6

42
Un parcours en 3 moments

• 1) Comparer des angles
• 2) Partager des angles
• 3) Mesurer des angles

43
LES ANGLES en 6

• Éléments danalyse

44
I. Sources de réflexion

• I.1. Quest-ce quun angle ?
• I.2. Pourquoi des angles ?
• I.3. Comment construire le chapitre ?

45
I.1. Quest-ce quun angle ?

•  ANGLE, s. m. (Géom.) cest louverture que
  forment deux lignes ou deux plans, ou trois plans
  qui se rencontrent  tel est l'angle BAC, tab. de
  Géom. fig. 91, formé par les lignes AB, AC, qui
  se rencontrent au point A. Les lignes AB, AC,
  sont appellées les jambes ou les côtés de
  langle  le point dintersection A en est le
  sommet.
• Les angles se marquent quelquefois par une seule
  lettre, comme A, que lon met au sommet ou point
  angulaire, quelquefois par trois lettres, dont
  celle du milieu marque la pointe ou sommet de
  langle, comme BAC.
• La mesure dun angle, par laquelle on exprime sa
  quantité, est un arc tel que DE, décrit du sommet
  A entre les côtés AC, AB, avec un rayon pris à
  volonté. Voyez ARC MESURE.
• Doù il sensuit que les angles se distinguent
  par le rapport de leurs arcs à la circonférence
  du cercle entier. Voyez CERCLE CIRCONFERENCE.
  Ainsi lon dit quun angle est dautant de degrés
  quen contient larc DE, qui le mesure. Voyez
  DEGRE. / /
• Encyclopédie, 1751, p. 461-464

T
TO
46
I.2. Pourquoi des angles ? A.

• A. Arpentage
• Les Elemens de Geometrie de CLAIRAUT (1753)
• XXVII
• Si on ne pouvoit mesurer que deux des trois côtés
  du triangle ABC (FIG. 3.), les deux côtés AB, BC,
  par exemple il est clair quavec cela seul, on
  ne pourroit pas déterminer un second triangle
  égal semblable à ABC. Car quoiquon eût pris
  DE, égal à BC, DF égal à BA on ne sçauroit
  quelle position donner à celle-ci, relativement à
  lautre. Pour lever cette difficulté, la
  ressource qui se présente est simple on fait
  pancher DF, de la même maniere sur DE, que AB
  panche sur BC ou, pour sexprimer comme les
  Géomètres, on donne à langle FDE la même
  ouverture quà langle ABC. (FIG. 3. 4)
• (Lorthographe de lépoque a été conservée)

T
Pl.III
Pl.V
47
I.2. Pourquoi des angles ? B.

• B. Navigation

Rose des vents et navigation Carte marine de
1559
48
Comment construire le chapitre

• Regard sur des manuels anciens

Nathan, (Plessier Morlet, 1965) Chapitre 3. Angles, cercles et arcs de cercles. I. Plan. Demi-plan. Angles. Égalité et addition des angles. Multiples et sous multiples. III. Cercles et arcs de cercles. Chapitre 4. Mesure des angles et des arcs. Longueur du cercle. I. Mesure des angles et des arcs. Longueur du cercle. II. Calculs sur le nombre mesurant angles et arcs de cercle. Longueur dun arc de cercle. Longueur du cercle. Hachette, (Cahen, 1958) Chapitre 2. Angles. I. Notion dangle. II. Opérations sur les angles. III. Mesure des angles. IV. Opérations sur les mesures dangles en degrés.
49
LES ANGLES en 6

• Mise en œuvre

50
Introduction les 3 questions

• 1) Quand parle-t-on d'angle ?
• 2) Quand utilise-t-on des angles ?
• 3) Qu'a-t-on besoin de savoir faire avec les
  angles ?

51
Étude 1 comparer des angles

• 1) Rugby angle de tir (définition, comparaison)
• Cours 1. Définitions, méthodes de comparaison
• 2) Cerf volant et charpente (angles égaux,
  figures symétriques, codage)
• Construction de figures symétriques (programmes
  de construction).
• Cours 1. Angles égaux et symétrie
• 3) Éventail et spirale
• Cours 1. Addition des angles, multiple
  dun angle

52
Étude 2 partager des angles

• 1) Rose des vents (boussole, compas de
  navigation)
• Partager en 2,4,8,12... Rapporteur "binaire".
• Équerres et menuiserie demi-triangle
  équilatéral, demi-carré
• Cours 2. Bissectrice, axes de symétrie, angles
  des triangles rectangle isocèle et équilatéral.
• 2) Le rapporteur
• Trisection de langle. Partager un cercle en
  360.
• Cours 2. Rapporteur
• 3) Polygones réguliers
• A partir du partage du cercle et de 360
  (division, diviseur, quotient exact, approché)
• Cours 2. partager un angle en n parties

53
Étude 3 mesurer des angles

• 1) L'aviateur prendre le cap pour faire le tour
  de France (s'orienter)
• Cours 3. mesurer un angle
• 2) Largeur d'une baie (mesurer l'inaccessible)
• Cours 3. reproduire un angle de mesure donnée
• 3) Reproduire une figure (à l'échelle)
• Constructions de figures, dictées géométriques
• 4) Les robots construire un trajet
• 5) Rose des vents et navigation

54
Bibliographie sur les angles

• ENCYCLOPÉDIE OU DICTIONNAIRE RAISONNÉ DES
  SCIENCES, DES ARTS ET DES METIERS par une société
  de gens de lettres  mis en ordre et publié par
  M. Diderot,... et quant à la partie mathématique,
  par M. dAlembert, Paris  Briasson, David, Le
  Breton. Tome 1, 1751. gallica.
• 4 CD-Rom  LEncyclopédie de Diderot et
  dAlembert. Redon éditeur, 26740 MARSANNE.
• ENCYCLOPÉDIE MÉTHODIQUE MATHÉMATIQUES. Par MM.
  dAlembert, lAbbé Bossut, de la Lande, Le
  Marquis de Condorcet, c. Tome premier, Paris 
  Panckoucke et Leyde  Plomteux 1784. Réédition du
  Bicentenaire, Paris  ACL-éditions 1987. gallica
• CLAIRAUT Alexis. Les Éléments de Géométrie de
  Clairaut Paris  Lambert et Durand, 1741. Rééd.
  Paris  J. Gabay, 2006. Fac simile de lédition
  de 1753, Laval  éd. Siloë, 1987.
• GAMBIN Marie-Thérèse.  Des cartes portulans à la
  formule dEdward Wright  lhistoire des cartes à
   rhumbs . M A.T.H., MNEMOSYNE n 11. IREM de
  Paris VII 1996, pp. p. 31-62. Repris en partie
  dans Lhistoire des cartes à  rhumbs . In ASSP
  Rouen 2005, Sciences et Techniques aux 15e et 16e
  siècles, disponible en document pdf, 10 p., sur
  le site  http//assprouen.free.fr/publications/sc
  iences_et_techniques.php
•  La cartographie dieppoise . In É. Hébert
  (dir.), Instruments scientifiques à travers
  lHistoire, Paris Ellipses 2004, p. 43-55 et
  1996, p. 31-62.
• STOLL André.  Les spirales . In LOuvert n 96
  et 97, resp. p 1-13 p 1-15, IREM de Strasbourg
  1999 et Repères IREM, n 39, Metz 2000, Topiques
  éditions p. 73-99. En document pdf, 27 p., sur le
  site Le Portail des Irem 
• http//www.univ-irem.fr/commissions/reperes/consul
  ter/39stoll.pdf

55
Bibliographie générale

• CHARNAY R. (2006) Quelle culture mathématique
  partagée à la fin de la scolarité obligatoire ?
  Repères IREM n 64 ( article en ligne)
• CHEVALLARD Y. (2006) Les mathématiques à
  lécole. Bulletin APMEP n 471, 2007
• CHEVALLARD Y., BOSCH M. (2000), Les grandeurs en
  mathématiques au collège. Partie I. Une Atlantide
  oubliée. Petit x, 55, p. 5-32.
• CHEVALLARD Y., BOSCH M. (2000), Les grandeurs en
  mathématiques au collège. Partie II.
  Mathématisations. Petit x, 59, p. 43-76.
• DAHAN-DALMEDIC0 A. et PEIFFER J. (1982) Une
  histoire des mathématiques. Routes et dédales. Le
  Seuil, Points Sciences N 49, 1986.
• Grandeurs. N spécial. Repères-IREM n 68,
  juillet 2007.
• LEBESGUE H. (1935).  La mesure des grandeurs .
  Monographies de LEnseignement Mathématique n 1
  Genève. Rééd. A. Blanchard, Paris 1975.
• PRESSIAT A. Grandeurs et mesures.IUFM .Equipe
  DIDIREM INRP.
• ROUCHE N. Le sens de la mesure " Des grandeurs
  aux nombres rationnels ". Collection Formation,
  Edition DidIer Hatier, 1992.

56
Le programme de 6 organisé autour de la notion
de grandeur

• FIN

57
Clairaut Pl.III
Pl.V
58
Clairaut Pl.V
Pl.III
59
Cours. Chapitre 1 ANGLES

• 1. Comparer des angles
• 1) Définition on appelle angle louverture
  formée par deux demi droites de même origine.
  Cette origine sappelle le sommet de langle et
  les demi droites les côtés de langle. Illustrer

To
60
Spirales - construction

• Spirale de Théodore
• donnée à construire aux élèves
• 2.Spirale dArchimède
• 1) A quoi te fait penser cette figure ?
• 2) Comment construire cette figure ?
• Voici la méthode donnée par Archimède 
• On fait tourner une demi-droite autour dun point
  O en décrivant des angles égaux
• Sur le deuxième côté du premier angle on place un
  point A1 (près de O).
• Quand la demi-droite tourne, le point séloigne
  de O avec pour règle  sa distance à O est égale
  à celle de OA1 multipliée par le nombre dangles
  dont on a tourné.
• Choisis un angle et construis une spirale
  dArchimède avec au moins 10 angles égaux.

61
La Rose des Vents

• Plusieurs instruments de mesure sont basés sur
  les mesures des angles, la rose des vents est
  lun dentre eux.
• La rose des vents nest pas une fleur, cest une
  étoile à plusieurs branches indiquant les points
  cardinaux.
• Les marins lutilisaient pour sorienter en mer.
  La marche dun bateau dépendant de sa position
  face au vent, ils identifiaient le vent dominant
  qui soufflait puis fixaient leur route en
  conséquence.
• Pour indiquer la direction des vents, on a
  dessiné sur un cadran une sorte de rosace dont
  les flèches rayonnent autour du centre comme les
  pétales dune rose. Mais ce dessin ne ressemble
  guère à une rose.
• 1. 2. 3.
  4.
• 1) Observe bien. Combien de directions sont
  indiquées sur la rose des vents n1 ? sur la
  n2 ? sur la n3 ? sur la boussole n4 ?
• 2) Comment construire les flèches de la rosace ?
• 3) Sur papier uni, construis une rose des vents à
  partir dun cercle de 3,5 cm de rayon.

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Mesurer la largeur d'une baie 1.
? La construction du triangle en réduction À
l'aide de son schéma et de ses mesures, le
géomètre va construire avec soin sur un bout de
terrain plat ou sur une feuille de papier un
modèle réduit du triangle ABC  c'est le triangle
EFG que l'on voit à droite sur la gravure. Tu
vas faire son travail sur ton cahier. 4. Il
dessine une échelle bien divisée en graduations
égales (elle est représentée en D, en bas et au
centre de la gravure). Combien de graduations
faut-il prévoir ? 5. Il construit le triangle
EFG. Écris les étapes de sa construction.
Justifie. 6. Pour tracer l'angle FEG, comment
fait-il ? (observe l'instrument placé en E sur la
gravure) La réponse au problème ---------?

• On veut connaître la distance entre la porte A et
  la porte C, distance inaccessible directement
• ? Les mesures du géomètre sur le terrain
• 1. Où se place le géomètre ? Pourquoi ? Que
  mesure-t-il ? (observe la gravure)
• 2. Comment fonctionne l'instrument qu'il est en
  train d'utiliser ? (Observe les gravures du
  graphomètre)
• 3. En H est représenté son mémento (ou bloc
  note)  c'est une feuille de papier qu'on roule
  (appelée à l'époque mémorial). Que note-t-il sur
  sa feuille ?

TO
63
Mesurer la largeur d'une baie 2.

• ? La réponse au problème
• 7. Comment, avec son triangle EFG, le géomètre
  va-t-il trouver la distance entre la porte A et
  la porte C ? Combien trouve-t-il ?

TO
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Les robots

• Devoir sur feuille pour le jeudi 24 mai 2007
• Le robot Sexto est programmé pour avancer de 30
  cm puis tourner à gauche de 60, et continuer
  ainsi sans jamais s'arrêter. Il part d'un point
  A. Dessine avec précision son trajet (à l'échelle
  1/10). Que peux-tu dire de son trajet ? Explique.
• Le robot Quinto, lui, avance de 40 cm et tourne à
  droite de 72. Dessine et explique de la même
  façon son trajet.
• Le robot Spirou avance de 50 cm et tourne à
  gauche de 100. Dessine et explique de la même
  façon son trajet.
• Peux-tu prévoir les trajets de tous les robots
  que l'on pourrait inventer sur le même modèle ?
• Pour quels angles peut-on programmer le robot
  pour qu'il s'arrête en A?

T.él
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Les robots (2)