Mod

1
Modèle Faible Mach et simulations numériques 2D
de l'amplification d'onde thermoacoustique
O. Hireche, K. Sodjavi, C. Weisman, D.
Baltean-Carlès, M. Xavier-François, P. Le Quéré
, LIMSI-CNRS, Orsay, France et L. Bauwens,
Université de Calgary, Canada
Générateur dondes Thermoacoustique
Charge refrigérateur
Résonateur
Qf
Qc
2
Objectif simulation et analyse de
lamplification donde thermoacoustique , à
partir dun zoom sur la cellule active

• Modèle en 2 parties analyse multi-échelle
• Equations dEuler Développement Faible Mach
  dans les résonateurs gauche et droit (acoustique
  linéaire) solution analytique 1D par méthode
  des caractéristiques
• Equations de Navier-Stokes Développement
  Faible Mach dans la cellule active (échangeurs
  stack) solution numérique 2D

Echangeur chaud
Echangeur froid
Acoustique Linéaire 1D
Acoustique linéaire 1D
Domaine de simulation 2D cellule active
3
Couplage au niveau des section dentrée et sortie
de la cellule active
Demie-plaque stack
Echangeur chaud
Echangeur froid
Acoustique linéaire 1D
Acoustique linéaire 1D
uL
uR
Domaine de simulation 2D cellule active
4
Hypothèses fondamentales
Résonateurs
Même échelle de temps tpériode
référence /2
Stack Échangeurs
Mltlt1 hypothèse stack court ou acoustiquement
compact
p
v
l/2
Développements asymptotiques
lt ? gt lt ? gt M lt ? gt(1) M2 lt ? gt(2)
5
Exemple de cas test (exp. A. Atchley, 1992-95)

LL9 cm
LR91cm
2,2 cm
0,8 cm
3,8cm
3,5 cm
LT1 m
Ensemble
6 cm
Hélium
0,74 mm
h0,78 mm
H1,06mm
Inox 304 L
Nickel
Cellule active
6
Conditions de lexpérience
Gaz hélium à pmoy 1,5 4,4 bar Tfroid TC
293K, Lstack 3,5cm rref 0,25 - 0,74 kg/m3
cref 1008 m/s f500 Hz t1ms Uref 35
m/s M0,035 Pe11000-31500 Re16000-46500
Plaques stack Inox 304 L Plaques échangeurs
Nickel Epaisseurs de couche limite thermique
et visqueuse
7
Exemple de cas test (inspiré dune expé. LIMSI,
2007)

LL7 cm
LR7,5cm
0,75 cm
0,75 cm
5,6cm
15 cm
LT7,57 m
Ensemble
45 cm
Hélium
h0,77 mm
H0,97mm
Inox 304 L
Nickel
Cellule active
8
Conditions de lexpérience
Gaz hélium à pmoy 10bar Tfroid TC 293K,
Lstack0,15 m rref 1,63kg/m3 cref 1008 m/s
f67 Hz t7,8ms Uref 19,2 m/s M0,02
Pe1,7.105 Re2,4.105 Plaques stack et
échangeurs Inox 304 L Epaisseurs de couche
limite thermique et visqueuse
9
Résonateurs
Cellule active
Acoustique linéaire
Acoustique linéaire
LL
LR

• Adhérence aux parois du résonateur négligées
• Frontières adiabatiques
• (sur chaque partie du résonateur)
• Ecoulement 1D, non visqueux, faiblement
  conducteur
• Ecoulement isentropique
• Equations adimensionnées, termes jusquen O(M)

10
Développement Faible Mach
Cellule active
Acoustique linéaire
LR
LL
cR
cL
Acoustique linéaire
solution analytique (dAlembert)
Variables de Riemann L et R constantes sur les
caractéristiques se déplaçant à la vitesse
, avec à gauche, 1
à droite
11
Conditions aux limites
Tube fermé à lextrémité gauche
Charge (résistive) positionnée à lextrémité
droite
avec
12
Cellule active, Stackéchangeurs
H
Faible Mach
Equations de Navier-Stokes 2D Développement
Faible Mach
13
Cette formulation autorise les variations
temporelles de p(0)
Mais à cause du couplage avec lacoustique dans
le résonateur, seules les variations temporelles
de p(1) sont autorisées, que ne voit pas le
modèle stack échangeurs
14
Gravité négligée
Conduction dans les plaques
Bilan dénergie dans le domaine de calcul
(conservation masseenergie)
15
Traitement des échangeurs
Tchaud
Tfroid
Echangeurs  idéaux 
Tchaud
Tfroid
Echangeurs à température fixée
qchaud
qfroid
Echangeurs à flux de chaleur fixé
qchaud
qfroid
16
Couplage
charge
Extrémité fermée
Tfroid
Tchaud
uL
uR
Modèle 2D
LL
LR
C.L. aux sections dentrée et de sortie P(0) est
le même dans la cellule active et à lextérieur
Bilan dénergie (conservation de la masse
energie)
17
Conditions aux limites
et Conditions initiales
Frontières extérieures (bleues)
adiabatiques Glissement sur les frontières
ouvertes horizontales adhérence, continuité de
température et de flux de chaleur aux interfaces
fluide/solide stack et échangeurs) Différents
modèles de CL sur les échangeurs Vitesses uL et
uR calculées à partir du couplage avec
lacoustique et le bilan dénergie
Distribution linéaire de température entre les
échangeurs (gaz et stack) OU température sol.
stationnaire du pb de conduction sans
écoulement Résonateur bruit aléatoire ou/ onde
stationnaire de faible amplitude
18
Méthode numérique

• Volumes finis/second ordre
• Traitement implicite des termes visqueux et
  diffusifs
• Discrétisation explicite des termes convectifs
• Intégration temporelle de type
  Prédicteur-correcteur
• Calcul des champs sur tout le domaine
  solidefluide (utilisation dune fonction
  scalaire pour différentier les points solides des
  points fluides)
• A chaque pas de temps, calcul de uL, uR et p(1)
  en fonction des valeurs calculées aux instants
  antérieurs tenant compte de la propagation dans
  les deux parties du résonateur, et de lintégrale
  du flux de chaleur sur le domaine fluide

19
Algorithme

• Début du pas de temps
• Calcul (ADI ou GMRES) du nouveau champ de
  température à partir de
• Résolution des 3 équations de couplage utilisant
  lintégrale du flux de chaleur, et les valeurs de
  L et R aux instants antérieurs en tenant compte
  des allers-retours. Calcul des vitesses uL et uR
  qui serviront de CL et calcul de la pression
  acoustique p(1) .
• Mise à jour de la masse volumique
• Calcul de la divergence souhaitée en chaque point
  
• Calcul (ADI ou GMRES) des vitesses intermédiaires
• Calcul de la correction de pression
  (algorithme multigrille)
• 
  C.L. Homog.
  Neumann
• Update des vitesses et de la pression
• Fin du pas de temps

20
Adimensionnement code
Les distances sont adimensionnées par H et non
par LStack
Paramètres numériques
Maillages uniformes de 512x32 (grossier) à
2048x128 (fin) Minimum 500 pas de temps par
période acoustique de référence (1 ms/point/pas
de temps sur NEC SX8, Idris-CNRS) 0.5-2 hr
CPU/run pour la phase initiale de
lamplification, 50 hr CPU/run pour les
calculs jusquà saturation
21
Isothermes, milieu du stack, bruit initial
aléatoire
Stack plate
Stack plate
22
Développement de vitesse entre stack et échangeur
chaud
23
Simulations Pm 5 bar, Tchaud 1.5Tfroid

Variation temporelle de la pression totale (à
partir dun bruit aléatoire). Tube fermé aux
deux extrémités. Mode Fondamental mode instable
(période adimensionnée2)
24
Simulations Pm 5 bar, Tchaud 2Tfroid

Variation temporelle de la pression totale (à
partir dun bruit aléatoire). Tube fermé aux
deux extrémités. Mode fondamental instable
(période adimensionnée2), solution non linéaire
25
Simulations Pm 5 bar, Tchaud 2 Tfroid

Variation temporelle pression acoustique,
vitesses (à partir dun bruit aléatoire). Tube
fermé aux deux extrémités.
26
Simulations Pm 1.7 bar, Tchaud 1.2 Tfroid

Variation temporelle de la pression totale (à
partir dun bruit aléatoire). Tube fermé aux
deux extrémités. Mode fondamental et premier
harmoniques semblent instables
27
Simulations Pm 1.7 bar, Tchaud 1.5 Tfroid

Variation temporelle de la pression totale (à
partir dun bruit aléatoire). Tube fermé aux
deux extrémités. Mode fondamental et premier
harmonique instables. Le second mode croît.
28
Simulations Pm 1.7 bar, Tchaud 2 Tfroid

Variation temporelle de la pression totale (à
partir dun bruit aléatoire). Tube fermé aux
deux extrémités. Mode fondamental et premier
harmonique semblent instables. Le second mode
semble le plus instable.
29
Résultats Atchley
30
Influence du champ initial de température

• Saturation obtenue par introduction dune charge
  f à la place de lextrémité fermée.
• - Deux champs initiaux testés .

40s
120s
31
Conclusion
Lapproche faible Mach permet de décrire
lamplification thermoacoustique, et de détecter
les modes instables On a montré linfluence du
champ initial de température (effets 2D)
Perspectives

• Etudes paramétriques, exploitation du code
  déplacement du stack dans le résonateur,
  variation de la distance échangeur/stack
• Calage de la charge pour comparaison avec des
  situations expérimentales réelles
• Analyse de stabilité pour interpréter la
  sélection des modes