Aplicatii ale integralei definite

1
Aplicatii ale integralei definite
Cum ar fi viata mea fara matematica?
Aria suprafetelor plane
2
1.Aria unei suprafete plane
a,b
Fie f 0 ) o functie
continua. Reamintim cele doua moduri de abordare
a problemei ariei marginita de curba yf(x), axa
Ox si dreptele verticale xa si xb(fig.1 a)
Figura 1
Pentru a calcula aria A se împarte figura
în benzi verticale(fig1 b) si fiecare banda se
aproximeaza cu aria unui dreptunghi. În final se
face suma ariilor dreptunghiului. Aceasta
operatie ne da o aproximare a ariei A, care este
cu atât mai buna cu cât numarul dreptunghiurilor
este mai mare.
3
2. Subgraficul unei functii continue si
pozitive Daca fa,b R este o functie
continua, pozitiva, atunci multimea cuprinsa
între graficul functiei f, axa Ox si dreptele
de ecuatii xa si xb se noteaza cu

si se numeste
subgraficul functiei f, figura 1.

4
2.2. Aria subgraficului unei functii continue.
Teorema. Daca fa,b
este subgraficul functiei f, atunci multimea
Comentarii

• Daca f(x) 0, graficul functiei f este situat
• deasupra axei Ox aria ( ) 0

2) Daca f(x) 0, graficul functiei f este
situat sub axa Ox Aria ( ) -
.
5
3. Aria subgraficelor. Probleme rezolvate
Exemplu Sa se calculeze aria figurii
determinate de graficul functiei
f-2,2?R,f(x)x², axa 0x si dreptele x-2,
x2 (Fig 3).
Solutie. Aria ceruta este egala cu aria
Observatie Regiunea hasurata este simetrica în
raport cu axa 0y (functia este para). Deci aria
6
Cerinta Sa se determine ariile subgraficelor
functiilor
Figura 5
Rezolvare
Rezolvare
Figura 6
Aria
7
Rezolvare
Figura 7
Aria
Rezolvare
Aria
Figura 8
8
4. Aria suprafetei plane cuprinsa între graficele
a doua functii continue
Daca f,g a,b R sunt functii continue
astfel încât f(x) g(x), x a,b
atunci multimea cuprinsa între graficele
functiilor f si g si dreptele de ecuatii xa si
xb notata cu

are arie si aria
Figura 12

1.În general daca f,g ? R sunt
functii continue atunci aria suprafetei plane
cuprinsa între graficele functiilor f, g si
dreptele de ecuatii xa ,xb este aria

.
2. Daca , atunci
aria
9
4.1. Aria suprafetei plane cuprinsa între
graficele a doua functii continue. Probleme
rezolvate
1. Sa se determine aria suprafetei plane
marginite de graficele functiilor
Solutie Reprezentarile geometrice ale
graficelor celor doua functii sunt redate în
figura 13.
Aria
2. Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse
între axa Ox si imaginea geometrica a graficului
functiei
Solutie Imaginea geometrica a graficului
functiei f este redata în figura 16. Aria
suprafetei plane hasurate este
10
5. Aria unei suprafete plane. Probleme rezolvate
Cerinta Sa se determine aria suprafetei plane
pentru a)
Figura 9
Solutie Expresia f(x) se expliciteaza astfel

1-x, x -1,1
x-1, x (1,2
Subgraficul este reprezentat în figura 9.
În acest caz, aria
11

0,1
b)
(1,2
Solutie Subgraficul este reprezentat în
figura 10. Aria
12
Cerinta Sa se determine aria cuprinsa între
graficul lui , axa Ox
si dreptele x1,x2 (Fig.5).
Solutie. Observam ca
daca
Deci aria
13
6.Aria unei regiuni cuprinse între graficul lui
f, axa Ox si dreptele xa, xb
Daca este
continua, atunci aria multimii A delimitata de
graficul lui ,axa Ox si dreptele
xa, xb este egala cu aria
(Fig.6)
14
Exemplu. Sa se calculeze aria multimii A
determinate de graficul lui
,axa Ox si dreptele x0, x2 (Fig.7)
Solutie Aria ceruta este egala cu aria
,unde
Deci aria (A)aria(A1)(A2)
15
7.Probleme rezolvate

• Fie
• a) Sa se determine aria limitata de graficul
  functiei f, axa Ox si dreptele x0 si x

Solutie
2.Sa se calculeze aria figurii delimitate de
graficul functiei
si de dreapta y6.
16
4.Se da functia definita
prin
Sa se calculeze aria suprafetei
marginite de dreptele x-2, x2, axa Ox si
graficul functiei. Solutie Se impune
explicitarea functiei ecuatia
are solutia
Aria cautata este
17
7. Sa se determine aria marginita de graficul
functiei
,axa Ox si dreptele SolutieCum
,aria cautata
este
. Prin urmare
18
8. Probleme propuse
1. Se considera
functiile date prin si

• Sa se calculeze aria suprafetei plane determinate
  de graficul functiei f, axa Ox si dreptele

si
2. Se considera functia ,
a)Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse
între graficul functiei f, axa Ox si dreptele
si .
3.Pentru se considera functiile
definite prin
si
a)Sa se calculeze aria suprafetei plane marginita
de graficul functiei axa Ox si dreptele de
ecuatii si
4.Se considera functia
a)Sa se determine numarul real
astfel încât aria suprafetei plane determinata
de graficul functiei f, axa Ox, dreptele de
ecuatii si sa fie egala
cu
19
si
a)Sa se determine aria suprafetei plane cuprinse
între graficul functiei g, axa Ox si dreptele de
ecuatii
si

1. Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse
   între graficul functiei f, axa

si dreptele de ecuatii
si
20
Bibliografie

1. Matematica- Manual pentru clasa a XII-a, Marius
   si Georgeta Burtea, Editura Carminis
2. Matematica- clasa XII- Culegere de probleme,
   B.Enescu, L.Vlaicu, Editura Europontic
3. Matematica- Manual pentru clasa a XII-a, Mircea
   Ganga, Editura Mathpress
4. http//www.ideiindialog.ro/articol_167/umanismul_m
   atematicii.html
5. www.math.msu.edu/mshapiro/KidMath/KidMath.html

21
Realizatori
1.Adalinean Paula Iulia 2.Capâlna Tamara
Eunicia 3.Crisan Roxana Veronica 4.Marian Andrada
Bianca 5.Palii Mirel Ionut 6.Stef Camelia Mirela