PHY1501

1
PHY1501 circuits linéairesRikard Blunck
rikard.blunck_at_umontreal.ca
2
PHY1501 - Les circuits linéaires RLC

• Le but du cours
• Circuit linéaire RLC
• Régime transitoire et alternatif
• Impédance complèxe

3
Le filtre passe-bas
Les boîtes noires
4
Définitions

• charge q Coulomb 1 C
• courant i ampère 1 A 1 C/s
• potentiel v, u volt 1V 1 J/C
• tension v, u volt 1V

charge élémentaire e 1.6022 10-19 C
5
Champ électrique de deux charges q et -q
? const
E
6
Le circuit électrique
i dq/dt
V (?1)
-V (?2)
Les éléments lineaires I(2V) 2I(V)
7
Définitions

• charge q Coulomb 1 C
• courant i ampère 1 A 1 C/s
• potentiel v volt 1 V 1 J/C
• tension v volt 1 V
• source de voltage e volt
• source de courant i ampère
• résistance R Ohm 1 ? 1 V/A
• inductance L Henry 1 H Vs/A
• condensateur C Farad 1 F 1 C/V

8
Définitions

• charge q Coulomb 1 C
• courant i ampère 1 A 1 C/s
• potentiel v volt 1 V 1 J/C
• tension v volt 1 V
• source de voltage e volt
• source de courant i ampère

9
La résistance
R
i
V

• R ? l/A
• avec ? résistance spécifique
• l longeur
• A surface
• R U / I (loi dOhm)

Wel U q U ? I dt U I t P W/t U I t/t
U I U2/R I2R
10
La résistance
R
i
V

• R ? l/A
• avec ? résistance spécifique
• l longeur
• A surface
• R U / I (loi dOhm)

Wel U q U ? I dt U I t P W/t U I t/t
U I U2/R I2R
11
Le condensateur

• E Q / (? A)
• ? ?0 ?r
• ?0 8.85 10-12 As/Vm
• Matériel ?r
• Vide 1.0000
• Aire 1.0006
• Verre 4..12
• Plexiglas 3
• Eau 81
• Bariumtitanat gt1000

- - - - - - - - -
Q
-Q
d
V
12
Le condensateur

• Fchamp E q
• Wchamp Fchamp d E q d
• Welec U q
• Welec Wchamp
• U q E q d
• U E d (EQ/?A)
• U Q d / ? A

E

- - - - - - - - -
Q
-Q
d
13
Le condensateur

• U Q d / ? A
• U ? Q
• La capacité C
• C Q / U
• Farad 1 F 1 C/V
• Condensateur de plan
• C ? A/d

E

- - - - - - - - -
Q
-Q
d
14
Le condensateur
C Q/V

• i(t) dq/dt
• d(C v(t))/dt
• i(t) C dv(t)/dt
• v(t) 1/C ?i(t) dt

V
15
Linductance la bobine
µ q v 4 ? r2
B µ µ0µr (perméabilité magnétique) µ0
1/?0c2 1.26 10-6 Vs/Am
16
Linductance la bobine
Bobine de N tours B µ I N / 2? r (Loi de
Biot-Savart) u(t) d(AB)/dt N tours,
Aconst u(t) N A dB/dt
17
Linductance

• uL(t) N A dB/dt
• N A d/dt(µ i(t) N / 2? r)
• N2µA/2?r di(t)/dt
• uL(t) ? di(t)/dt
• uL(t) L di(t)/dt
• L inductance
• L N2µA/2?r

18
Linductance la bobine
19
Définitions

• charge q Coulomb 1 C
• courant i ampère 1 A 1 C/s
• potentiel v volt 1 V 1 J/C
• tension v volt 1 V
• source de voltage e volt
• source de courant i ampère
• résistance R Ohm 1 ? 1 V/A
• inductance L Henry 1 H Vs/A
• condensateur C Farad 1 F 1 C/V

20
Les lois de Kirchhoff

• U R I loi dOhm
• ? qk ?ik 0 1. loi de Kirchhoff
• ?ek - ?uk 0 2. loi de Kirchhoff

d dt
21
Deux résistances en série

• Diviseur du tension

22
Extension déchelles des mètres de voltage et
courant
23
Série et parallèle
1 Ck
1 Ctotal
Rtotal ?Rk Ltotal ?Lk ?
1 Rtotal
1 Rk
1 Ltotal
1 Lk
? ? Ctotal ?Ck
24
Courant dans une ampoule
25
Circuit RRC

• i i1 i2
• E V R1i
• V R2i1

V
26
Circuit RRC
dv/dt (1/R2C 1/R1C) v e/R1C 0 équation
différentielle homogène dv/dt (1/R2C 1/R1C)
v 0 v(t) v0e-at const a
(R1R2)/R1R2C v(t0) 0 ? const -v0 v(t8)
i R2 E R2/(R1R2) const v(t) E
1-e
27
Régime variable

• u(t) E
• 0 tlt0
• u(t)
• E tgt0
• u(tT) u(t)

t0
T
28
Le circuit LRC en série
i iL iR iC
e vL vR vC
Ldi/dt Ri Q/C
de d2i di i dt dt2 dt C
Solution i(t) e sin(?0t) avec
?0(4L/C R2)1/2
E ?0L
Rt/2L
29
LRC régime transitoire
30
Régime variable

• u(t) E
• 0 tlt0
• u(t)
• E tgt0
• u(tT) u(t)

t0
T
31
Régime alternatif

• sinus
• triangle
• rectangle
• dents de scie

32
Régime alternatif génération
u(t) d(BA)/dt B dA/dt B r l cos(?t)
33
Régime alternatif - génération
u(t) d(BA)/dt B dA/dt B r l cos(?t)
34
Le courant alternatif
u(t)
û
t
T 1/f 2?/?
u(t) û cos(?t) û cos(2?f t) û cos(2? t/T)
35
Le courant alternatif
u(t)
?? ?2 - ?1
?1
û1
?2
t
u1(t) û1 cos(?t ?1) u2(t) û2 cos(?t ?2)
36
Le courant alternatif
u(t)
?? ?2 - ?1
?1
û1
?2
t
u1(t) û1 cos(?t ?1) u2(t) û2 cos(?t ?2)
37
Le circuit LRC en série

• de d2i di i
• dt dt2 dt C

e(t) Ê cos(??t) i(t) Î cos(??tf)
38
Impédance déphasage
résonance ?01/(LC)1/2
1/?C -?L R
Î Ê/(R2(1/?C -?L)2)½
tan (f)
39
La phase
40
Le condensateur en régime alternatif
C Q/U i(t) C d/dt u(t) u(t) e(t) E
cos(wt) i(t) -wCE sin(wt) wC E cos(wt ?/2)
u(t) L d/dt i(t) i(t) 1/L E cos(wt)
dt i(t) E/wL sin(wt) 1/wL E cos(wt - ?/2)
i(t) 1/R u(t) 1/R E cos(wt 0)
41
Le courant alternatif
u(t)
?? ?2 - ?1
?1
û1
?2
t
u1(t) û1 cos(?t ?1) u2(t) û2 cos(?t ?2)
42
C, L et R en régime alternatif
C Q/U i(t) C d/dt u(t) u(t) e(t) E
cos(wt) i(t) -wCE sin(wt) wC E cos(wt ?/2)
u(t) L d/dt i(t) i(t) 1/L E cos(wt)
dt i(t) E/wL sin(wt) 1/wL E cos(wt - ?/2)
i(t) 1/R u(t) 1/R E cos(wt 0)
43
Impédance complexe

• uc(t) Ûejwt Û cos(wt) jÛ sin(wt)
  (Euler)
• Re(uC(t)) Û cos(wt) u(t)
• Im(uC(t)) Û sin(wt) (aucun sens)

44
Impédance complexe

• uc Ûej? Û cos(?) jÛ sin(?) Re(uc) j
  Im(uc)
• Û Re(uc)2 Im(uc)2
• tan(?)

Im(uc) Re(uc)
45
Impédance complexe Z

• ej(??/2) cos(??/2) j sin(??/2)
• -sin(?) j cos(?)
• j (cos(?) j sin(?))
• j ej(?) d/d? ej(?)
• ej(?-?/2) cos(?-?/2) j sin(?-?/2)
• sin(?) - j cos(?)
• -j (cos(?) j sin(?))
• -j ej(?) 1/j ej(?)
• ? ej(?) d?

46
Impédance complexe Z

• ej(??/2) j ej(?) d/d? ej(?)
• ej(?-?/2) -j ej(?) 1/j ej(?) ej(?) d?
• Condensateur
• u(t) 1/C ? i(t) dt
• 1/C ? Î ej?t dt 1/j?C Î ej?t
• 1/j?C i(t)
• Inductance
• u(t) L di(t)/dt L d/dt Î ej?t
• j?L Î ej?t
• j?L i(t)

47
Impédance complexe Z

• Z impédance complexe
• Condensateur
• u(t) 1/j?C i(t) Z 1/j?C
• Inductance
• u(t) j?L i(t) Z j?L
• Résistance
• u(t) R i(t) R Î ej?t Z R

48
Impédance complexe Z

• série parallèle
• Ztotal Z1 Z2 1/Ztotal 1/Z1 1/Z2
• R R1R2 Rtotal 1/R11/R2 1/Rtotal
• L j?L1 j?L2 1/j?L1 1/j?L2
• j? (L1 L2) 1/j? (1/L1 1/L2)
• j? Ltotal 1/j?Ltotal
• C 1/j?C1 1/j?C2 j?C1 j?C2
• 1/j? (1/C1 1/C2) j? (C1 C2)
• 1/j?Ctotal j?Ctotal

49
Impédance complexe ZL dune inductance réelle

• ZL RL j ?L
• ZL RL2 (?L)2
• tan (?)
• ZL ZL ej?

?L Im(ZL) R Re(ZL)
50
Le circuit LRC en série

• ic(t) uc(t) / Z
• i(t) Reic Reuc(t)/Z
• u(t) E cos(?t)
• uc(t) E ej?t
• Série Ztotal ZcZRZL
• 1/j?C R j?L
• R j(?L-1/?C)
• Z ej?
• avec Z (R2 Z02)1/2
• Z0 ?L 1/?C
• ? arctan(Z0/R)

ic(t) uc(t)/Ztotal E/Z ej?t e-j?
E/(R2Z02)1/2 ej(?t-?) i(t) Reic(t)
E/(R2Z02)1/2 cos(?t-?)
51
Impédance déphasage
résonance ?01/(LC)1/2
résonance ?01/(LC)1/2
52
Puissance
53
Puissance complèxe
puissance réelle puissance imaginaire
54
Puissance
55
Puissance
56
Le filtre passe-bas
Les boîtes noires
UeÛe cos(?t) Ûe ej?t UsÛs ej(?t?) AUs/Ue
? ? ?
57
Le filtre passe-bas
58
Le filtre passe-haut
UeÛe cos(?t) Ûe ej?t UsÛs ej(?t?) AUs/Ue
? ? ?
59
Le filtre passe-haut
60
Voltages dans une circuit LRC
61
LRC filtre
62
LRC filtre
63
Le filtre passe-bande
UeÛe cos(?t) Ûe ej?t UsÛs ej(?t?) AUs/Ue
? ? ?
64
Le filtre passe-bande