Diapositiva 1

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INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO
AMBIENTE
CONTENIDOS
TRIGONOMETRIA BASICA ANGULOS Y SUS
MEDIDAS TRIANGULOS CONCEPTOS BASICOS SENO,
COSENO Y TANGENTE Y SUS FUNCIONES RECIPROCAS
TEOREMA DE PITAGORAS, LEY DEL SENO TEOREMA DEL
COSENO APLICACIONES INGENIERILES
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Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso
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Qué es un ángulo?
Son dos rayos cualesquiera que determinan dos
regiones del plano.
Cual es su notación?
Para nombrar los ángulos, utilizaremos los
símbolos ? abc en donde el angulo estaria en el
vertice b . Podemos además nombrarlos mediante
una letra griega ß. También se puede nombrar
por la letra que represente al vértice.
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Cómo pueden ser los ángulos?
(Definición de cada uno)
Nulos Si su medida es Cero
Agudos Si su medida esta comprendida entre 0 y
90.
1
1
Rectos si su medida es 90
Obtusos Si su medida esta comprendida entre 90
y 180.
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Cuál es el instrumento para medir un ángulo y en
que consiste?
El transportador en el cual consiste en un
semicírculo dividido en unidades que van desde 0
hasta 180. Cada una de estas medidas es un grado
(1) sexagesimal y todas las medidas que se tomen
con este instrumento corresponden al sistema
sexagesimal.
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ANGULOS EN GRADOS
ES LA MEDIDA DE ANGULOS MAS UTILIZADA EN EL MUNDO
ENTERO, PERO NO ES LA UNICA, ESTA CONSISTE EN QUE
LOS CUATRO CUADRANTES DEL PLANO CARTESIANO QUEDAN
TOTALIZADOS EN 360, CADA CUADRANTE ENTONCES SERA
UN APORTE DE 90, POR ESO
PRIMER CUADRANTE DE 0 A 90
SEGUNDO CUADRANTE DE 90 A 180
TERCER CUADRANTE DE 180 A 270
CUARTO CUADRANTE DE 270 A 360
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ANGULOS EN RADIANES
ES LA MEDIDA DE ANGULOS UTILIZADA PARA GRAFICAR
LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS, ESTA CONSISTE EN
QUE LOS CUATRO CUADRANTES DEL PLANO CARTESIANO
QUEDAN TOTALIZADOS EN 2 RADIANES, POR ENDE CADA
CUADRANTE, ENTREGARA UN APORTE DE ½ RADIAN,
POR ESO
PRIMER CUADRANTE DE 0 A ½ RAD
SEGUNDO CUADRANTE DE ½ A RAD
TERCER CUADRANTE DE A RAD
CUARTO CUADRANTE DE A 2
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ANGULOS EN GRADIANES
ES LA MEDIDA DE ANGULOS UTILIZADA PARA GRAFICAR
LAS COORDENADAS MARINAS, ESTA CONSISTE EN QUE LOS
CUATRO CUADRANTES DEL PLANO CARTESIANO QUEDAN
TOTALIZADOS EN 400 GRADIANES, POR ENDE CADA
CUADRANTE, ENTREGARA UN APORTE DE 100 GRADIANES
POR ESO
PRIMER CUADRANTE DE 0 A 100 GRAD
SEGUNDO CUADRANTE DE 100 A 200 GRAD
TERCER CUADRANTE DE 200 A 300 GRAD
CUARTO CUADRANTE DE 300 A 400 GRAD
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Operaciones con ángulos
(suma y resta)
Suma de Ángulos
La suma de dos Angulo, ?ABC y ?DBE es otro ángulo
?ABE tal que m ?ABE m ?ABC m ?DBE.
EJERCICIO Un ángulo mide 49 3845 y otro 31
5418. Cuánto mide la suma de estos ángulos?
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DESARROLLO
63 60 3 1 3 Se sube 1 a la columna
de los minutos y se suma a estos. Quedan 3.
1
1
49 38 45
31 54 18
80 92 63
80 93 63
33
3
93 60 33 1 33 Se sube 1 a la
columna de los grados, y se suma a estos. Quedan
33.

La suma buscada es 81 33 3.
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Clases de ángulos en termino de sus medidas
Ángulos Suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus
medidas es 180.
Ángulos Complementarios
Dos ángulos son complementarios si la suma de sus
medidas es 90.
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Ángulos opuesto por el vértice
Dos ángulos son opuesto por el vértice si sus
lados forman dos pares de rayos opuestos.
?
?
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Clasificación de los triángulos por sus lados
(definición de cada uno y sus gráficas)
Triángulos Escálenos No tienen ningún lado igual.
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Triángulos Isósceles Son los que tienen dos
lados iguales.
Triángulos Equiláteros Son los que tienen tres
lados iguales.
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Clasificación de los triángulos por sus ángulos
(definición de cada uno y sus gráficos)
Acutángulos Son todos los triángulos con todos
los ángulos menores de 90
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Rectángulos Es cuando uno de sus ángulos es de
90.
Obtusángulos Es cuando uno de sus ángulos es
mayor de 90
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Diferentes tipos de rectas
(definición de cada una y sus gráficos)
Secante o Transversal Es la recta que corta a
otro par de rectas cualesquiera del plano en dos
puntos.
2
1
4
3
5
6
7
8
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Paralelas Es cuando la intersección de dos
rectas y una secante determina pares de ángulos
alternos internos, alternos externos y
correspondiente congruentes.
L
L1
1
2
3
4
L2
8
7
5
6
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Perpendiculares Es cuando la intersección de dos
rectas determina un ángulo recto entre ellas (por
ende 4 ángulos rectos).
L1
1
2
L2
4
3
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TEOREMA DE PITAGORAS
Aplicable solamente, para triángulos rectángulos
Siendo a y b los catetos del triangulo y c
la hipotenusa (lado mayor)
a2 b2 c2
c
b
?
a
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TEOREMA DEL COSENO
Aplicable para cualquier tipo de triángulos
Siendo a , b y c los lados de un triangulo
cualquiera
a2 b2 c2 - 2bc Cos a
b2 a2 c2 - 2ac Cos ß
c2 a2 b2 - 2ab Cos ?
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LEY DEL SENO
Aplicable para cualquier tipo de triángulos
Siendo a , b y c los lados de un triangulo
cualquiera
a b c
--------- --------- ---------
Sen a Sen ß Sen ?
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FUNC. TRIGONOMETRICAS
Siendo a y b los catetos del triangulo y c
la hipotenusa (lado mayor)
C. O.
b
c
Sen ?
--------- ---------
b
HIP.
c
?
C. A.
a
Cos ?
--------- ---------
a
HIP.
c
C. O.
b
Tag ?
--------- ---------
C.A.
a
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FUNC. RECIPROCAS
Siendo a y b los catetos del triangulo y c
la hipotenusa (lado mayor)
HIP.
c
--------- ---------
c
Cosec ?
C.O.
b
b
?
HIP.
c
Sec ?
--------- ---------
a
C.A.
a
C. A.
a
Cotag ?
--------- ---------
C.O.
b
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VALORES ELEMENTALES
0º 30º 45º 60º 90º
sen 0 1 / 2 1 / v2 v3 / 2 1
cos 1 v3 / 2 1/ v2 1 / 2 0
tg 0 1 /v3 1 v3 ---
cosec --- 2 / 1 v2 2 / v3 1
sec 1 2 / v3 v2 2 ---
cotg --- v3 / 1 1 1 / v3 0
Obtenga UD. los valores para los ángulos de 180,
270 y 360 y de 120, 135, 240 y 300 Comente
los resultados.
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A EJERCITAR LO APRENDIDO
1) Transformar los ángulos de grados a rad y
viceversa a) 80º b) 150º c) d)
2) Dada la siguiente función trigonométrica,
obtenga los valores de las otras funciones.
3) Resolver un triángulo tal que a 4.5 cm, ß
30º y ? 78º.
4) Resolver un triángulo tal que, a 50, ß
60º, ? 70º con el lado a 10 cm.
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5) En una competencia de natación dos amigos
parten lanzándole al agua desde una balsa al
mismo tiempo, el primero nada a una velocidad
promedio de 6 km/h y el segundo a 5 km/h.
Comienzan a alejarse entre sí con un ángulo de
35 después de media hora de competencia el
segundo sufre un calambre. Qué distancia
recorrerá el primero para ir en su auxilio y que
ángulo tendrá la nueva dirección de este?
6) Halla el radio r de una rueda que gira 300
vueltas por minuto impulsada por una correa que
se mueve a 45 m/s.
7) La rueda de un vehículo tiene un diámetro de
90 cm. Cuántas vueltas da aproximadamente por
minuto cuando viaja a 120 km/h?
8) Qué ángulo forman las agujas de un reloj a
las cuatro y media en punto? Y a las 1020 hrs.?
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