Presentazione di PowerPoint

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       Presenza dellargomento nei temi
ministeriali            Possibilita di utilizzo
dellargomento nelle classi di concorso A047-A048
A049 anche con esempi applicativi della teoria
delle funzioni in due variabili
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Funzioni in due variabili e problemi di ottimo
lineari non lineari      
equazioni
lineari non lineari      
vincoli
disequazioni
lineari non lineari      
equazioni e disequazioni
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Metodi per determinare gli estremi  
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Metodi per determinare gli estremi  
1) Procedimento grafico-geometrico 2)   Metodi
dellanalisi derivate parziali, Hessiano
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Metodi per determinare gli estremi  
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1) Procedimento grafico-geometrico Estremi
liberi

• Definizione e rappresentazione grafica di una
  funzione di due variabili z f(x,y)

• Linee di livello

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(No Transcript)
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• Esempio
• Rappresentare le linee di livello di z x2 y
  2 x per k1,k 0, ecc.

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(No Transcript)
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Max e min con curve di livello
In prossimità di un massimo o di un minimo le
linee di livello si restringono e tendono ad un
punto. Se, ad esempio, le linee sono
circonferenze concentriche di centro O(0,0), nel
primo caso k cresce con le circonferenze che
hanno raggio crescente, allora O (0,0) è un punto
di minimo. Nel caso in cui k cresce verso
linterno, O(0,0) è un punto di massimo.
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Metodi per determinare gli estremi  
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Metodi per determinare gli estremi  
     1) Procedimento grafico-geometrico      Es
tremi liberi Estremi
vincolati
Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio
Vincolo espresso da equazione g(x,y) 0
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1) Procedimento grafico-geometrico Estremi
vincolati Vincolo espresso da equazione
g(x,y) 0

• - g(x,y) linea nel piano xy
• - variabili non indipendenti, soddisfacenti la
  condizione g(x,y) 0
• - max e min nei punti di intersezione del
  dominio con la linea

Si cercano gli estremi nei punti dintersezione
del dominio con la linea del vincolo. Nella
figura Q0 massimo libero, Q1 vincolato. Si
tracciano le linee di livello e la linea del
vincolo. I punti estremi sono quelli in cui
risultano tangenti.
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Metodi per determinare gli estremi  
     1) Procedimento grafico-geometrico      Es
tremi liberi Estremi
vincolati
Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio
Vincolo espresso da equazione g(x,y) 0
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1) Procedimento grafico-geometrico Estremi
vincolati Vincoli determinanti un
sottoinsieme S del dominio
Se il sottoinsieme S è chiuso e limitato e la
funzione f(x,y) è continua in S, per il teorema
di Weierstrass esistono min e max assoluti. Per
determinarli si devono considerare -        i
punti di max e min relativo interni ad
S -        i punti di max e min appartenenti
alla frontiera di S -        si sceglie
lestremo assoluto. Se la superficie si può
rappresentare con curve di livello semplici la
determinazione dei massimi e minimi assoluti
consiste nellindividuare la linea di livello con
k maggiore e quella con k minore, compatibilmente
con il sistema dei vincoli.
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Metodi per determinare gli estremi  
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Metodi per determinare gli estremi  
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(No Transcript)
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• Se ( x0,y0 ) è un punto critico, si calcola il
  valore dellHessiano H(x,y)
• in ( x0,y0 )
• - se H( x0,y0 ) ? 0 e zxx( x0,y0 ) ? 0
  allora ( x0,y0 ) è un minimo relativo
•  
• - se H( x0,y0 ) ? 0 e zxx( x0,y0 ) lt 0
  allora ( x0,y0 ) è un massimo relativo
•  
• - se H( x0,y0 ) lt 0 non si ha né max
  ne min se zxx e zyy hanno segno
  opposto allora ( x0,y0 ) è un punto di sella
•  
• - se H( x0,y0 ) 0 non si può trarre
  alcuna conclusione bisogna esaminare il
  comportamento della funzione nellintorno di (
  x0,y0 )

Punto di massimo Punto di minimo Punto di sella
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Metodi per determinare gli estremi  
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Metodi per determinare gli estremi  
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2)   Metodi dellanalisi Estremi vincolati
Vincolo espresso da equazione g(x,y) 0
  La determinazione degli estremi della funzione
z f(x,y) può essere fatta in modo elementare
se lequazione del vincolo è esplicitabile
rispetto ad una delle due variabili. In tal caso
si ricava la variabile dal vincolo, si
sostituisce nella funzione obiettivo che diventa
una funzione di una sola variabile e quindi il
problema viene ricondotto alla ricerca di estremi
di una funzione in una variabile. Se ciò non è
possibile, si ricorre al metodo dei
moltiplicatori di Lagrange.    
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Metodi per determinare gli estremi  
     2)   Metodi dellanalisi       Estremi
liberi Estremi
vincolati
Vincolo espresso da equazione g(x,y) 0
Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio
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2)   Metodi dellanalisi Estremi vincolati
Vincoli determinanti un sottoinsieme S del
dominio
.     Se il sottoinsieme S è chiuso e limitato e
la funzione f(x,y) è continua in S, per il
teorema di Weierstrass esistono min e max
assoluti. Per determinarli si devono considerare
-        i punti di max e min relativo interni
ad S -        gli eventuali punti interni in cui
la funzione non sia differenziabile -        i
punti di max e min appartenenti alla frontiera di
S -        si sceglie lestremo assoluto.  
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Lavoro proposto( Preparazione Unità didattica
per problemi)

• Distribuzione elenco problemi
• Definire gruppi di lavoro
• Per ogni problema organizzare il modello
  risolutivo ( e la soluzione e/o tipo di metodo
  risolutivo più semplice )
• Stabilire quali sono gli oggetti matematici
  che intervengono nel modello e nella soluzione
  del modello.
• Stabilire il metodo risolutivo più adatto alla
  classe in cui si prevede di affrontare
  largomento
• Definire prerequisiti, obiettivi, approfondimenti

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Testi
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Elenco con testi e modelli
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Esempio 1 Determinare max e min di z x2
y2  
Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti
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Esempio 2
1) Procedimento grafico-geometrico Estremi
vincolati Vincolo espresso da equazione
g(x,y) 0
Combinazione ottima di fattori
produttivi Unimpresa produce un dato prodotto
in quantità q impiegando due fattori produttivi A
e B legati dalla funzione di produzione q
f(x,y) dove x quantità di A, yquantità di B per
produrre la quantità q del prodotto. In
pratica, la funzione di produzione esprime una
relazione tecnico-economica che lega la quantità
di prodotto finito q alle quantità x e y di
fattori produttivi impiegati, in quanto la
quantità q può essere ottenuta con diverse
combinazioni di A e B. Se i costi per unità del
fattore A e del fattore B sono rispettivamente p1
e p2 , il costo totale relativo alla produzione
della quantità q di prodotto è C p1? x
p2? y. Si possono presentare due problemi
  1 problema minimizzare il costo totale
(funzione obiettivo) per produrre una prefissata
quantità di prodotto (vincolo) 2 problema
massimizzare la produzione (funzione obiettivo)
ad un livello di costi prefissato (vincolo)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Esempio 3
1) Procedimento grafico-geometrico Estremi
vincolati Vincoli determinanti un
sottoinsieme S del dominio
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Esempio Determinare max e min assoluto di z
f(x,y) x2 y2 2x 4y nellinsieme S
individuato dal sistema di vincoli
Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti
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Esempio 4
2)   Metodi dellanalisi Estremi liberi  
Esempio Determinazione del massimo profitto per
unimpresa Uno degli obiettivi di unimpresa che
produce più beni è quello di determinare il
livello di produzione dei singoli beni per
massimizzare il profitto. In relazione alle
condizioni di vendita limpresa può operare in un
mercato di libera concorrenza, o di monopolio, o
di oligopolio può vendere in mercati diversi o
in un solo mercato, a prezzi uguali o diseguali
,etc. Se il regime è di concorrenza perfetta i
prezzi sono fissi, indipendenti dalla quantità
richiesta se si opera in condizioni di monopolio
i prezzi non sono fissi, ma dipendono dalla
funzione di domanda dei singoli prodotti  
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  Problema 1 Unimpresa produce due beni e li
vende in un mercato di libera concorrenza ai
prezzi p1 800, p2 1.100 Il costo congiunto di
produzione dei due beni , nelle quantità x e y è
espresso dalla funzione c(x,y) x2xy
2y2 Determinare per quale combinazione dei
fattori produttivi il profitto è
massimo   Soluzione La funzione profitto risulta
G(x,y) 800 x 1.100y - x2 - xy -
2y2 Annullando le derivate parziali prime si
ottiene il punto (x,y) (300,200). Inoltre H
(300,200) 7gt0 e Gxx(300,200 ) -2 lt 0, quindi
(300,200) risulta un massimo della funzione
profitto.    
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Esempio 5
2)   Metodi dellanalisi Estremi vincolati
Vincolo espresso da equazione g(x,y) 0
.   Esempio Data la funzione z - x2 5y2 3xy
6x 8y, determinarne gli estremi con il vincolo
4x 5y 100   Risposta max (83/3 , -32/15,
-2311/5).   Espilicitando il vincolo rispetto a y
e sostituendo in z si ottiene una funzione in una
sola variabile, di cui si trovano max e min
calcolando la derivata prima e seconda .
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Esempio 6
2)   Metodi dellanalisi Estremi vincolati
Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio
.   Esempio Si determinino gli estremi assoluti
della funzione z -3x2 2xy 3y2 2x 7y 1 nel
dominio chiuso definito dal triangolo di vertici
O(0,0) , A(0,2), B(2,0).   Risposta max in
(1/16 , 19/16, 163/32) che è anche un massimo
relativo min in (2, 0 15) che non è anche un
minimo relativo dato che si trova sulla frontiera
.  Si cercano gli estremi liberi, accertandosi
che siano accettabili per i vincoli( derivate
parziali ed hessiano) Si cercano gli estremi
lungo la frontiera (ci si riduce ad una sola
variabile con sostituzione vincolo o valori dei
vertici, poi derivata prima e seconda per
funzioni in una variabile) Si definiscono gli
estremi assoluti dal confronto dei valori
precedentemente determinati.  Oggetti matematici
e ulteriori approfondimenti
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(No Transcript)