NOMBRE: ABIGAIL ALEJANDRA PIO LARA

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• NOMBRE ABIGAIL ALEJANDRA PIO LARA
• MATERIA LENGUAJES Y AUTOMATAS
• TEMA RESUMEN DE LA I UNIDAD
• PROFESOR M.C. JOSE ANGEL TOLEDO

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TEORIA DE CONJUNTOS
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INTRODUCCION

• Según lo leido en este tema la Teoría de
  conjuntos, es una rama de las matemáticas a la
  que el matemático alemán Georg Cantor dio su
  primer tratamiento formal en el siglo XIX. El
  concepto de conjunto es uno de los más
  fundamentales en matemáticas

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ALGUNAS DEFINICIONES

• Un conjunto es una agrupación, clase o colección
  de objetos denominados elementos del conjunto, un
  conjunto se representa frecuentemente mediante
  llaves que contienen sus elementos, ya sea de
  forma explícita, escribiendo todos y cada uno de
  los elementos, o dando una fórmula, regla o
  proposición que los describa. Por ejemplo, S1
  2, 4 S2 2, 4, 6, ..., 2n, ... todos los
  enteros pares S3 x x2- 6x 11 3 S4
  todos los varones vivos llamados Juan. S3 se
  describe como el conjunto de todas las x tales
  que x2- 6x 11 3.
• Subconjuntos y superconjuntos Si todo elemento
  de un conjunto R pertenece también al conjunto S,
  R es un subconjunto de S, y S es un superconjunto
  de R utilizando símbolos, R S, o S R. Todo
  conjunto es un subconjunto y un superconjunto de
  sí mismo.
• Unión e intersección Si A y B son dos
  subconjuntos de un conjunto S, los elementos que
  pertenecen a A, a B o a ambos forman otro
  subconjunto de S llamado unión de A y B Los
  elementos comunes a A y B forman un subconjunto
  de S denominado intersección de A y B .
• Diferencia y complementario El conjunto de
  elementos que pertenecen a A pero no a B se
  denomina conjunto diferencia entre A y B, escrito
  A - B (y a veces A\B). Si A es un subconjunto del
  conjunto l, el conjunto de los elementos que
  pertenecen a l pero no a A, es decir, l - A, se
  denomina conjunto complementario de A (con
  respecto a l), lo que se escribe l - A A' (que
  también puede aparecer como A, Ã o A).

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ALGEBRA DE CONJUNTOS

• LPara cualquier conjunto A, B, y C
• A n A  A
• A ? A  A
• A \ A 
• A n B  B n A
• A ? B  B ? A
• (A n B) n C  A n (B n C)
• (A ? B) ? C  A ? (B ? C)
• C \ (A n B)  (C \ A) ? (C \ B)
• C \ (A ? B)  (C \ A) n (C \ B)
• C \ (B \ A)  (A n C) ? (C \ B)
• (B \ A) n C  (B n C) \ A  B n (C \ A)
• (B \ A) ? C  (B ? C) \ (A \ C)
• A ? B sí y solamente si A n B  A
• A ? B sí y solamente si A ? B  B
• A ? B sí y solamente si A \ B  Ø
• A n B  Ø sí y solamente si B \ A  B
• A n B ? A ? A ? B
• A n   Ø

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MULTIPLICACION DE CONJUNTOS

• Si A y B son dos conjuntos, el conjunto de todos
  los posibles pares ordenados de elementos de la
  forma (a, b), donde a pertenece a A y b pertenece
  a B, se denomina producto cartesiano de A y B,
  que se escribe normalmente A B .

CORRESPONDENCIA ENTRE CONJUNTOS Los elementos del
conjunto A 1, 2, 3 se pueden relacionar,
emparejar o hacer corresponder con los elementos
del conjunto B x, y, z de distintas maneras,
de forma que a todo elemento de B le corresponda
uno de A, a todo elemento de A le corresponda uno
de B, elementos distintos de un conjunto están
emparejados con elementos distintos del otro.
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DIAGRAMA DE VENN

• A cada conjunto se le considera encerrado
  dentro de una curva (plana) cerrada. Los
  elementos del conjunto considerado pueden ser
  específicamente dibujados o pueden quedar
  (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas
  son empleados, para representar tanto a los
  conjuntos como a sus operaciones, y constituyen
  una poderosa herramienta geométrica, desprovista
  de validez lógica
• EJEMPLO

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PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS

• Se dice que si A y B son dos conjuntos, el
  conjunto de todos los posibles pares ordenados de
  elementos de la forma (a, b), donde a pertenece a
  A y b pertenece a B, se denomina producto
  cartesiano de A y B, que se escribe normalmente A
  B.
• Correspondencia entre conjuntos Se dice que
  existe una correspondencia de conjuntos si los
  elementos del conjunto A 1, 2, 3 se pueden
  relacionar o hacer corresponder mediante una
  correspondencia f con los del conjunto B x, y,
  z de modo que a todo elemento de A le
  corresponda uno, ninguno o varios elementos de B.
  
• Como nota importante se debe saber que Cuando
  una correspondencia es tal que a cada elemento
  del primer conjunto le corresponde uno y sólo uno
  del segundo conjunto, entonces se llama
  aplicación

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OPERACIONES CON CONJUNTOS

• Unión Dados dos conjuntos cualesquiera A y B
  llamamos "Unión" de A y B al conjunto formado por
  todos los elementos que pertenecen a A o a B.
• Intersección Dados dos conjuntos cualesquiera A
  y B llamamos "Interseccion" de A y B al conjunto
  formado por todos los elementos que pertenecen a
  A y pertenecen a B.
• Diferencia Dados dos conjuntos cualesquiera A
  y B llamamos "Diferencia" de A "menos" B al
  conjunto formado por los elementos que pertenecen
  a A y no pertenecen a B.

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LOGICA PROPOSICIONAL
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INTRODUCCION

• Se dice que la lógica proposicional trabaja con
  sentencias u oraciones a las cuales se les puede
  asociar un valor de verdad (cierto o falso)
  estas sentencias se conocen como sentencias
  declarativas o, simplemente, proposiciones pueden
  existir proposiciones que son simples, así como
  proposiciones que están construidas por otras
  proposiciones usando elementos (conectivas
  lógicas) que las asocian .
• La lógica proposicional (o cálculo proposicional)
  tiene el propósito de simbolizar cualquier tipo
  de razonamiento para su análisis y tratamiento,
  esta usa sentencias declarativas a las que se
  puede asociar un valor de verdad (cierto o
  falso) es decir, usa proposiciones. Ejemplo P y
  Q son proposiciones
• P El aguila es un ave
• Q La ballena es un mamifero

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CONECTIVAS LOGICAS

• La construcción de fórmulas compuestas requiere
  del uso de elementos que permitan establecer una
  relación entre los átomos que la forman estos
  elementos se conocen como conectivas lógicas.

Conectiva Símbolos asociados
Negación (No) , , -
Conjunción (Y) Ù, ,
Disyunción (O) Ú, ,
Condicional (Si ... entonces)
Bicondicional (Si y solo si) ,
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• Como es posible determinar si una proposición es
  cierta o falsa, al encontrarse con proposiciones
  unidas por conectivas lógicas, es necesario
  conocer cuales son las reglas que se aplican para
  determinar si la proposición completa es cierta o
  falsa.

P Q P PÙQ PÚQ P Q P Q
V V F V V V V
V F F F V F F
F V V F V V F
F F V F F V V
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JERARQUIA DE CONECTIVAS

• para determinar el valor de verdad de una
  proposición compuesta, es necesario conocer
  cuales son las reglas que se aplican para
  determinar si la proposición completa es cierta o
  falsa asimismo, al tener fórmulas con dos o más
  conectivas, se deben conocer las reglas de
  precedencia y asociatividad de las conectivas
  para asegurar que la evaluación es correcta.
• donde (negación) es el operador con mayor
  jerarquía en la secuencia y (bicondicional) es
  el operador con el menor peso.

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INTERPRETACION DE FORMULAS

• Una interpretación de una fórmula es una
  asignación de valores de verdad a un conjunto de
  átomos para una fórmula con dos átomos se tienen
  dos posibles interpretaciones, para una con tres
  se tienen ocho interpretaciones, y en general
  para una fórmula con n átomos de tienen 2n
  interpretaciones.

P Q R S P Q ( P Q) RÙS ( P Q) ( RÙS)
V F V V F V V V
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• De la evaluación de una fórmula, se pueden
  definir los siguientes conceptos
• Tautología o fórmula válida Una fórmula es una
  tautología si es verdadera para todas sus
  posibles interpretaciones. Una tautología también
  se conoce como una fórmula válida.
• Contradicción, fórmula inconsistente o fórmula
  insatisfactible Una fórmula es una contradicción
  si es falsa para todas sus posibles
  interpretaciones. Una contradicción también se
  conoce como una fórmula inconsistente o una
  fórmula insatisfactible.
• Fórmula consistente o fórmula satisfactible Una
  fórmula que al menos tiene una interpretación
  verdadera se conoce como una fórmula consistente
  o satisfactible.
• Fórmula inválida Una fórmula es inválida si es
  falsa para al menos una interpretación

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FORMULAS EQUIVALENTES

• Al evaluar las fórmulas P-gtQ y PvQ se observa
  que todas sus interpretaciones son iguales, por
  lo que se dice que ambas fórmulas son
  equivalentes
• EJEMPLO

P Q P P Q PÚQ
V V F V V
V F F F F
F V V V V
F F V V V
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Ley de equivalencia Fórmula
Doble Implicación FG (F G)Ù(G H)
Implicación F G FÚG
Distribución FÚ(GÙH) (FÚG)Ù(FÚH)
FÙ(GÚH) (FÙG)Ú(FÙH)
Asociación (FÚG)ÚH FÚ(GÚH)
(FÙG)ÙH FÙ(GÙH)
Complementación FÙ F Contradicción
FÚ F Tautología
F F
Conmutación FÚG GÚF
FÙG GÙF
Cero FÚTautología Tautología
FÙContradicción Contradicción
Identidad FÚContradicción F
FÙTautología F
Idempotencia FÚF F
FÙF F
Absorción FÚFÙQ F
FÙ(FÚQ) F
FÚ FÙQ FÚQ
Leyes de Morgan (FÚQÚH) FÙ QÙ H
(FÙQÙH) FÚ QÚ H

• Existen varias equivalencias entre fórmulas de la
  lógica proposicional, las cuales se conocen como
  leyes de equivalencia. La tabla 3 muestra estas
  leyes. Se utiliza el símbolo Tautología para
  indicar una tautología y el símbolo Contradicción
  para indicar una contradicción

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CIRCUITOS LOGICOS

• Debido a que una proposición puede ser evaluada y
  resultar solo verdadera o falsa, se puede deducir
  alguna equivalencia con el álgebra booleana, que
  maneja solamente dos valores (0 y 1). Las
  propiedades del cálculo proposicional son
  equivalentes a las del álgebra desarrollada por
  Boole.
• En el álgebra booleana, una proposición es
  equivalente a una variables, y las conectivas
  lógicas se utilizan como compuertas lógicas. La
  figura 1 muestra las compuestas lógicas más
  representativas de esta álgebra. Los esquemas que
  resultan de aplicar las compuertas lógicas se
  conocen como circuitos lógicos.

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HISTORIA DE LOS LENGUAJES
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INTRODUCCION

• Es muy importante, el lenguaje de programación es
  el medio de comunicación entre el hombre y la
  máquina. El modelo general de las computadoras,
  desde que fue esbozado por von Neumann, no ha
  cambiado mucho, mientras que la invención humana
  para proponerse nuevos problemas a resolver,
  usando la computadora, parece no tener límites.
  Un lenguaje es un conjunto de palabras. Por tanto
  el conjunto 1,12,123,1234,12345,123456 es un
  lenguaje sobre el alfabeto compuesto por digitos.
  De forma similar, la colección de palabras
  inglesas correctas es un lenguaje sobre el
  alfabeto ingles. Obsérvese que si ? es un
  alfabeto, también es un lenguaje, el formado por
  todas las cadenas con un único símbolo.

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• En consecuencia, los lenguajes de programación
  tienen que adaptarse a éstas crecientes
  necesidades y aumentar la expresividad para poder
  resolver problemas muy diversos y cada vez más
  complejos. Además, tienen que ofrecer cierta
  eficiencia en la ejecución. Es un logro difícil
  de alcanzar y por lo tanto, se requiere una
  búsqueda constante de nuevos lenguajes para ello.
  
• Aquí se expone un breve panorama de los más
  importantes tipos de lenguajes de programación.

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AÑO LENGUAJE INVENTOR DESCRIPCION
1900 BINARIO Bool primer lenguaje
1946 Plankalkul Konrad Zuse creado para jugar al ajedrez
1949 Short Code lenguaje traducido a mano
1950 ASM (ensamblador) lenguaje ensamblador
1951 A-0 Grace Hopper fue el primer compilador
1952 AUTOCODE Alick E. Glennie compilador muy rudimentario
1956 FORTRAN IBM sistema de TRAducción de FORmulas matemáticas
1956 COBOL Compilador
1958 ALGOL 58
1960 LISP Interprete orientado a la Inteligencia Artificial
1961 FORTRAN IV IBM sistema de TRAducción de FORmulas matemáticas
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AÑO LENGUAJE INVENTOR DESCRIPCION
1961 COBOL 61 Extendido
1960 ALGOL 60 Revisado
1964 PASCAL Niklaus Wirth programacion estructurada
1964 BASIC Universidad de Dartmouth (california) Beginners All Purpose Symbolic Instruction Code



1965 SNOBOL
1965 APL solo anotacion
1965 COBOL 65
1966 PL/I
1966 FORTRAN 66 IBM sistema de TRAducción de FORmulas matemáticas
1967 SIMULA 67
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AÑO LENGUAJE INVENTOR DESCRIPCION
1968 ALGOL 68
1968 SNOBOL4
1970 GW-BASIC antiguo y clasico BASIC
1970 APL/360
1972 SMALLTALK Centro de Investigación de Xerox en Palo Alto pequeño y rapido
1972 C Laboratorios Bell lenguaje con tipos
1974 COBOL 74
1975 PL /I Lenguaje sencillo
1977 FORTRAN 77 IBM sistema de TRAducción de FORmulas matemáticas
1980s SMALLTALK/V Digitalk pequeño y rapido
1980 C con clases Laboratorios Bell lenguaje con clases
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AÑO LENGUAJE INVENTOR DESCRIPCION
1981 PROLOG Ministerio Japonés de Comercio Internacional e Industria (MITI) Lenguaje estandar para la Inteligencia Artificial
1982 ADA Ministerio de Defensa de los EE.UU lenguaje muy seguro
1984 C ATT Bell Laboratories (Bjarne Stroustrup) compilador
1985 CLIPPER compilador para bases de datos
1985 QuickBASIC 1.0 Microsoft compilador de BASIC
1986 QuickBASIC 2.0 Microsoft soporte de tarjeta gráfica EGA
1987 QuickBASIC 3.0 Microsoft 43 lineas con la tarjeta EGA
1987 QuickBASIC 4.0 Microsoft tarjetas Hercules, VGA
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AÑO LENGUAJE INVENTOR DESCRIPCION
1987 CLIPPER SUMMER '87 compilador para bases de datos
1988 QuickBASIC 4.5 Microsoft tarjeta SVGA
1989 QuickBASIC 7.1 Microsoft ultima version de QuickBASIC
1989 ASIC v5.0 interprete tipo QBASIC shareware
1990 VISUAL C
1990 VISUAL BASICScript Microsoft lenguaje de script
1990 HTML Tim Berners-Lee para internet
1993 XML C. M. Sperberg-McQueen para internet
1993 SGML Charles F. Goldfarb para internet
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AÑO LENGUAJE INVENTOR DESCRIPCION
1990 WML para internet
1990 ASP Microsoft para internet
1990 PHP para internet
1995 JAVA Sun Microsystems para internet y proposito general
1995 CLIPPER 5.01 compilador para bases de datos
1995 GNAT ADA95 Ministerio de Defensa de los EE.UU lenguaje muy seguro
1995 FORTRAN 95 IBM sistema de TRAducción de FORmulas matemáticas
1991 VISUAL BASIC 1.0 Microsoft
1992 VISUAL BASIC 2.0 Microsoft
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AÑO LENGUAJE INVENTOR DESCRIPCION
1993 VISUAL BASIC 3.0 Microsoft
1994 VISUAL BASIC 4.0 Microsoft
1995 VISUAL BASIC 5.0 Microsoft
1998 VISUAL BASIC 6.0 Microsoft
1990s C
2001 VISUAL BASIC .NET Microsoft La evolución de Visual Basic
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• Los primeros lenguajes de programación surgieron
  de la idea de Charles Babagge a mediados del
  siglo XIX.  Consistía en lo que el denominaba la
  maquina analítica, pero que por motivos técnicos
  no pudo construirse hasta mediados del siglo XX.
• Con el colaboro Ada Lovelace, la cual es
  considerada como la primera programadora de la
  historia, pues realizo programas para aquella
  supuesta maquina de Babagge, en tarjetas
  perforadas. Como la maquina no llego nunca a
  construirse, los programas de Ada, lógicamente,
  tampoco llegaron a ejecutarse, pero si suponen un
  punto de partida de la programación.
• En 1936, Turing y Post introdujeron un formalismo
  de manipulación de símbolos (la denominada
  máquina de Turing) con el que se puede realizar
  cualquier cómputo que hasta ahora podemos
  imaginar. Los "Lenguajes Maquina" y los
  "Lenguajes Ensambladores" (primera y segunda
  generación)  son dependientes de la maquina. Cada
  tipo de maquina, tal como VAX de digital, tiene
  su propio lenguaje maquina distinto y su lenguaje
  ensamblador asociado. El lenguaje ensamblador es
  simplemente una representación simbólica del
  lenguaje maquina asociado, lo cual permite una
  programación menos tediosa que con el anterior.
  Sin embargo, es necesario un conocimiento de la
  arquitectura mecánica subyacente para realizar
  una programación efectiva en cualquiera de estos
  niveles lenguajes.
•  Los lenguajes de alto nivel son normalmente
  fáciles de aprender porque están formados por
  elementos de lenguajes naturales, como el inglés.

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• Lenguajes Imperativos. En este tipo de
  lenguajes, cuyo origen está ligado a la propia
  arquitectura de von Neumann, la arquitectura
  consta de una secuencia de celdas, llamadas
  memoria, en la cual se pueden guardar en forma
  codificada, lo mismo datos que instrucciones y
  de un procesador, el cual es capaz de ejecutar de
  manera secuencial una serie de operaciones,
  principalmente aritméticas y booleanas, llamadas
  comandos. En general, un lenguaje imperativo
  ofrece al programador conceptos que se traducen
  de forma natural al modelo de la máquina. Los
  lenguajes imperativos más destacados de la
  historia han sido FORTRAN, Algol, Pascal, C,
  Modula-2, Ada.
• Lenguajes Funcionales.  Una función convierte
  ciertos datos en resultados. Si supiéramos cómo
  evaluar una función, usando la computadora,
  podríamos resolver automáticamente muchos
  problemas. Así pensaron algunos matemáticos, que
  no le tenían miedo a la máquina, e inventaron los
  lenguajes de programación funcionales.
• Aprovecharon la posibilidad que tienen las
  funciones para manipular datos simbólicos, y no
  solamente numéricos, y la propiedad de las
  funciones que les permite componer, creando de
  esta manera, la oportunidad para resolver
  problemas complejos a partir de las soluciones a
  otros más sencillos. También se incluyó la
  posibilidad de definir funciones recursivamente.
• El lenguaje funcional más antiguo, y seguramente
  el más popular hasta la fecha, es LISP.  En la
  década de los 80 hubo una nueva ola de interés
  por los lenguajes funcionales, añadiendo la
  tipificación y algunos conceptos modernos de
  modularización y polimorfismo, como es el caso
  del lenguaje ML.

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• Lenguajes Lógicos.  El conocimiento básico de las
  matemáticas se puede representar en la lógica en
  forma de axiomas, a los cuales se añaden reglas
  formales para deducir cosas verdaderas (teoremas)
  a partir de los axiomas. Algunos matemáticos, a
  finales de siglo XX y principios de XXI,
  encontraron la manera de automatizar
  computacionalmente el razonamiento lógico que
  permitió que diera origen a los lenguajes
  lógicos.
• También se conoce a estos lenguajes, y a los
  funcionales, como lenguajes declarativos, porque
  el programador, parar solucionar un problema,
  todo lo que tiene que hacer es describirlo vía
  axiomas y reglas de deducción en el caso de la
  programación lógica y vía funciones en el caso de
  la programación funcional.
• En los lenguajes lógicos se utiliza el formalismo
  de la lógica para representar el conocimiento
  sobre un problema y para hacer preguntas que, si
  se demuestra que se pueden deducir a partir del
  conocimiento dado en forma de axiomas y de las
  reglas de deducción estipuladas, se vuelven
  teoremas. Así se encuentran soluciones a
  problemas formulados como preguntas.
• El PROLOG es el primer lenguaje lógico y el más
  conocido y utilizado. También en este caso, las
  aplicaciones a la Inteligencia Artificial
  mantienen el lenguaje vivo y útil.
• Lenguajes Orientados a Objetos. 
• A mediados de los años 60 se empezó a vislumbrar
  el uso de las computadoras para la simulación de
  problemas del mundo real. Pero el mundo real está
  lleno de objetos.
• Así es que a dos noruegos, Dahl y Nygaard, se les
  ocurrió el concepto de objeto y sus colecciones,
  llamadas clases de objetos, que permitieron
  introducir abstracciones de datos a los lenguajes
  de programación.  A ellos también les debemos el
  concepto de polimorfismo introducido vía
  procedimientos virtuales.
• Todos estos conceptos fueron presentados en el
  lenguaje Simula 67, desde el año 1967. En los
  años 80 hubo una verdadera ola de propuestas de
  lenguajes de programación con conceptos de
  objetos encabezada por Smalltalk, C, Modula-3,
  Ada 95 y terminando con Java.

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• Lenguajes Concurrentes, Paralelos y
  Distribuidos. 
• La necesidad de ofrecer concurrencia en el acceso
  a los recursos computacionales se remonta a los
  primeros sistemas operativos.  Por ejemplo,
  mientras un programa realizaba una operación de
  entrada o salida otro podría gozar del tiempo del
  procesador para sumar dos números.
• Cuando los procesadores cambiaron de tamaño y de
  precio, se abrió la posibilidad de contar con
  varios procesadores en una máquina y ofrecer el
  procesamiento en paralelo, es decir, procesar
  varios programas al mismo tiempo. Esto dio el
  impulso a la creación de lenguajes que permitían
  expresar el paralelismo. Finalmente, llegaron las
  redes de computadoras, que también ofrecen la
  posibilidad de ejecución en paralelo, pero con
  procesadores distantes, lo cual conocemos como la
  programación distribuida.
• Históricamente encontramos en la literatura
  soluciones conceptuales y mecanismos tales como
  semáforos, regiones críticas, monitores, envío de
  mensajes (CSP), llamadas a procedimientos remotos
  (RPC), que posteriormente se incluyeron como
  partes de los lenguajes de programación en
  Concurrent Pascal, Modula, Ada, OCCAM, y
  últimamente en Java.