Entscheidungstheorie

1

• Entscheidungstheorie

2
Erkenntnisziele der Entscheidungstheorie

• Definitionen
• a) logische Analyse rationalen und intendiert
  rationalen Verhaltens (normative Theorie und
  deskriptive Theorie)
• b) Empirische Analyse intendiert rationalen
  Verhaltens (deskriptive Theorie)

3
Entscheidungstheorie

• Logische Analyse
• - Rationales Verhalten
  (normative Theorie)
• - intendiert rationales Verhalten (Logische
  Untersuchungen über Abweichungen des intendiert
  rationalen Verhaltens vom rationalem Verhalten.
• (Verhaltenstheoretische Ansätze)

• Empirische Analyse
• Experimente und Untersuchungen über tatsächliches
  Verhalten von Entscheidungs-trägern und
  Auswertung dieser Ergebnisse.

Deskriptive Theorie
4
Modell des Entscheidungsprozesses
Objektsystem Entscheidungsfeld Umweltges
etze Vermittlung subjektiven Situationsbildes
Informationen
Handlungen
Informationssystem
Entscheidungslogik Zielsystem Subjektsyste
m
5
Definition einer normativen Entscheidungstheorie

• Analyse von Entscheidungen bei subjektiver
  Formalrationalität (Rationalitätsbegriff bestimmt
  die Variationen)
• a) Unterscheidungskriterium Entscheidungsinhalte
• - Formale Rationalität
• widerspruchsfreies Zielsystem
• Zielsystemkonformes Verhalten
• - Substantielle Rationalität (anerkanntes
  Ent-scheidungsverhalten in Individuengruppen)

6

• b) Unterscheidungskriterium
• Faktische Entscheidungsprämissen
• - objektive Rationalität Subjektives
  Situationsbild entspricht objektiven Umständen
• - Subjektive Rationalität subjektives Bild ist
  Ausgangspunkt der Betrachtungen

7
Deskriptive Entscheidungstheorie

• a) Explikative Aufgabe Definition und
  Begriffsbildung im betrachteten Bereich
• b) explanatorische Aufgabe Erklärung der
  Entscheidungsergebnisse
• Elemente explanatorischer Aussagen
• 1) Explanadum Menge beschriebener und empirisch
  gewonnener Begriffe in dem zu erklärenden
  Sachverhalt
• 2) Explanans
• a) Gesetz zur Erklärung des Sachverhaltes
• b) Anfangsbedingungen zur Ermittlung der
  Gesetzesaussagen im vorliegenden Fall

8
Beispiel Erklärung steigender Unternehmensgewinne

• Explanandum Aussagen über Begriffe Umsatz,
  Gewinn, Investitionen u.a.m.
• Explanans (statische und) kausale Abhängigkeit
  zwischen Umsatz, Gewinn, Investition u.a.m.
• Hierher Versuch der Erklärung unternehmerischer
  Entscheidungen mit verhaltenswissenschaftlichen
  Analysen der kognitiven Prozesse der
  teilnehmenden Individuen. Stand Versuch der
  Lösung der explikativen Aufgabe
• Geschlossenes Verhaltensmodell der Unternehmung
  March, Cyert, Behavioral Theory of the Firm, 1963

9
Heuristisches ModellEntscheidungsprozess
MODELL von R.M. Cyert u. J.G. March
10
Nein
Ja
Ja
Nein
11
Problemlösungsstufen (betriebliche)

• 1) Zielbestimmung
• 2) Suche und Analyse von Alternativen im Hinblick
  auf die Konsequenzen in Handlungszielbeitragseinhe
  iten
• 3) Ausswahl einer Alternative und Festlegung der
  Aktionen
• 4) Sollvorgabe
• 5) Realisation
• 6) Soll-Ist-Vergleich

12

• 1) 2) Planungsstufen
• 3) Eigentliche Entscheidung
• 4) 5) Organisation (funktionale Begriffsversion)
• 6) Kontrolle

13

• Planungsphasenteilprozesse
• 1), 2), 3)
• 1) Problemformulierung
• 2) Handlungszielbestimmung
• 3) Alternativenplanung
• a) Handlungsalternativensuche
• b) Umweltkonstellationsfestlegung
• 4) Datenpräzisierungsprozess
• 5) Planungsrechnung
• 6) Entscheidung i.e.S.
• 7) Sollvorgabe

• Zugehörige Informationsprozesse
• Informationsbedarfsermittlung
• Informationszielsetzung
• Such- und Orientierungsprozesse
• Informationsprüfungs-, Aufbereitungs- und
  Abstimmungsprozess,
• Informationsverarbeitungskalkül-wahl
• Informationsgewichtung und
• Informationsbewertung (Kriterium)
• Informationsweitergabe und
• Informationsspeicherung

14
EntscheidungsbeispielNumerisches Beispiel

• Einem Taxiunternehmer mit 1 PKW werde sehr
  günstig ein PKW vom Typ Mercedes 240D angeboten.
  Dieser Unternehmer überlegt, ob er diesen PKW
  erwerben soll.
• Problem Wird dieser PKW ausgelastet sein, und
  welche Kosten verursacht diese Vergrößerung?
• Der Unternehmer steht vor folgenden Alternativen

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• a) PKW anschaffen und Tagesbetrieb
• b) PKW anschaffen und Tag- und Nachtbetrieb
  (reiner Nachtbetrieb scheide als ungünstiger als
  Tagesbetrieb aus)
• c) PKW nicht anschaffen
• Weiter sei dem Unternehmer bekannt, dass eine
  Gesetzesvorlage der Revision der Abschreibung für
  Firmen-PKW u.U. durchgesetzt werde, wodurch seine
  Tagesauslastung um 30 erhöht würde.

16

• Es seien ihm folgende Zahlen bekannt
• derzeitige durchschnittliche monatliche
  Aus-lastung (Tagesbetrieb) 5000 km
• Fixkosten p.a. 10.000,--
• Variable Kosten je km 0,40
• Durchschnittlicher Erlös p.a. 48.000,--

17

• Würde er den 2. PKW anschaffen, so erhöhen sich
  seine Fixkosten um 9.000,-- und seine variablen
  Kosten betragen (Diesel!) 0,35 je km für
  diesen PKW. Die Nachtauslastung betrage ca. 40
  der Tagesauslastung. Die variablen Kosten
  betragen bei einer Nachtschicht 0,60 je km. Die
  Fixkosten erhöhen sich bei einer Nachtschicht um
  3.000,--p.a. Die Tagesauslastung entspricht
  jener des existierenden PKWs. (Die Erlöse f(x)
  seien eine lineare Funktion der gefahrenen km.
  f(x) 0,8 x).
• Ein Nachtbetrieb mit dem bereits vorhandenen PKW
  ist nicht möglich!

18
(No Transcript)
19
Modellbegriff und Entscheidungsmodelle

• Modell Abbildung einer Realität unter Reduktion
  der Anzahl der einfließenden Größen unter
  Beibehaltung der Struktur der Realität.
• also a) Modell ist realitätsvereinfachend
• b) Modell soll strukturgleich bzw.
• strukturähnlich sein.
• Man bildet aggregierte Größen, die unter
  spezieller Aufgabenstellung in Beziehung gesetzt
  werden und ein realitätstreues Verhalten zeigen
  sollen

20
Def. Bamberg/Coenenberg

• Modell ist eine zweckorientierte relationstreue
  Abbildung der Realität
• Zweckorientierung Bestimmt Aggregation und
  Struktur des Modells
• Bsp
• Investitionsmodell (Ziel Maximierung des
  Differenzgewinns)
• Interessierende Größen Kosten- und
  ertragswirksame Größen (Cash Flow)
• ZB wird Umweltverschmutzung durch ein Aggregat im
  gesetzlich zulässigen Rahmen ausgeklammert!

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Unterteilung des Modellbegriffsnach dem

• Zweck der Modellbildung
• a) Beschreibungsmodelle (Zielbeschreibung,
  Aktionsbeschreibung)
• b) Erklärungsmodelle bzw. Prognosemodelle
  (Konsequenzenanalyse Zweck-Mittel-Analyse)
• c) Entscheidungsmodelle (Aktionen und
  Umweltkonstellationen bestimmen die Konsequenzen
  Ziele bestimmen über die Konsequenzen die
  Aktionswahl)

22
Grundbegriffe der Entscheidungstheorie

• Entscheidungssubjekt
• (Individ. Entscheidungen)
• Entscheidungsträger
• Entscheidungsgremium
• a) einheitliche Präferenzen
• 
  (Team)
• b) indiv. abweichende
• 
  Präferenzen

23
Grundbegriffe der Entscheidungstheorie

• Entscheidungsfeld A x Z
• A.....Aktionenraum (Menge der Handlungs-
• alternativen)
• Z.....Zustandsraum (Menge der Zustände
• der Umwelt, die die Konsequenzen der
• Aktionen beeinflussen, vom Entschei-
• dungträger selbst jedoch unabhängig
• sind!)

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Grundbegriffe der Entscheidungstheorie

• Mögliche Mächtigkeit von A und Z
• endlich (rechenbar, kaum rechenbar)
• abzählbar unendlich
• überabzählbar unendlich
• Aufstellungsprinzip für A
• Prinzip der vollkommenen Alternativenstellung

25
Information und Zustand

• Informationssystem
• Menge von Nachrichten yj (j1,2,...,k) über
  mögliche Zustände zi ? Z (i 1, 2, ...,n)
• und eine Struktur.
• Struktur eines Informationssystems
• Wahrscheinlichkeiten wij (w (yj zi) (? wij
  1))

k
j
26
Überführung w (yj zi) in w (zj yi)

• Bayessches Theorem
• Bsp
• Eine Sendung von 3 Stk eines Gutes sei
  angekommen. Es soll beurteilt werden, ob die
  Sendung zurückzuweisen ist.
• Informationssystem Zufallsstichprobe von Umfang
  1

27

• Mögliche Zustände der Umwelt
• z0 0 Stück fehlerhaft
• z1 1 Stück fehlerhaft
• z2 2 Stück fehlerhaft
• z3 3 Stück fehlerhaft
• Menge der Nachrichten des Informationssystems
• l1 ? Ziehen einer Zufallsstichprobe von Umfang
  1
• yj Nachricht j Stück fehlerhaft (j 0,1)
• Struktur des Informationssystems durch wij w
  (yj zi)

28
gegeben
w (yj zi) i 3-i j 1-j 3
1
29

• Rückschluß auf w(zi) mittels Bayesschen
  Theorems
• a) Struktur des Bayesschen Theorems
• 1) yj (j 1, 2, ...,k) sind disjunkte
  Ereignisse
• 2) w (yj zi) ist bekannt
• 3) A-priori-Wahrscheinlichkeiten
• w(zi) (i 1, 2, .....,n) sind bekannt oder
• ermittelbar (subjektiv)

30
W(A?B) W(B)

• Wegen W(AB) gilt
• W (yjzi) W (zi) W (yj ? zi) also wegen
• ? W(yj zi) 1 und disjunkten zi gilt
• i
• W (yj) ? W (yj zi) W (zi) Also gilt
• i
• Bayessches Theorem
• W (ziyj)
• ƒ(zy)

W(yjzi) w (zi) ? W(yj zi) W(zi) i
ƒ(yz) ƒ(z) ?ƒ(yz) ƒ(z) z
31
Darstellung eines Informationssystems
(wij w(yj zi))
32
1) Vollkommenes Informationssystem
33
2) Unvollkommenes Informationssystema) k lt n
und w (yj zi) 1 oder 0 (partielle oder
vollkommene Ungewissheit
Sonderfall Vollkommene Ungewissheit y1 z1
1 z2 1 . . . . . . zn 1
34
b) k lt n , k n oder k gt n und w (yj zi) ?
0,1 Bsp (k n)
Risiko-situation (? 1)
35
Entscheidungsmatrix
Die Ermittlung der Entscheidungsmatrix besteht in
der Ermittlung der Funktionswerte x der Abbildung
f f A x Z ? X A Aktionsmenge Z Menge der
Zustände X Menge der Handlungskonsequenzen (f
kann ein- oder mehrdeutig sein)
36
Darstellung eines Informationssystems
37

• a) f ist eindeutig
• Für jedes Paar (ai, zj) gibt es genau ein xij ? X
• Bsp
• Z sei der Anteil der fehlerhaften Buchungen in
  der Prüfung der Buchführung einer AG
• A bestehe in der Erteilung (a1), der Verweigerung
  (a2) oder der eingeschränkten Erteilung (a3) des
  Bestätigungsvermerkes bei der Pflichtprüfung.

38

• b) f ist mehrdeutig
• Risiko
• Aktion Werbepolitsiche Maßnahme
• Konsequenz Umsatzveränderungen
• Zustände nur vereinfacht erfassbar, daher
  stochastische Beschreibung bei reduzierter
  Zustandsmenge
• Ungewissheit
• Aktion Errichtung eines Kernkraftwerkes
• Konsequenz Umweltveränderungen hierdurch
• Stochastische bzw. unbekannte Zusammen-hänge der
  Aktionen mit den Zuständen der Umwelt.

39
Entscheidungssituationen
40
Zielsetzung des EntscheidungsproblemsWahl der
besten HandlungsalternativeBeispiel
Entscheidung unter Sicherheit
Konsequenzen
41
Erforderlich daher a) Präferenzen auf der Menge
der Konsequenzen derart, dass ein ordinaler
Nutzenindex ableitbar ist (bis auf streng
monotone Transformationen invariant). b) Da u.a.
Unsicherheit bei Entscheidungen eingeht, muss es
möglich sein, Erwartungswerte zu bilden daher
Forderung nach der Existenz einer
Nutzen-funktion, die erwartungstreu und bis auf
positive lineare Transformationen eindeutig ist.

42
Eigenschaften von Relationen (X a, b, c, d)

• 1. Reflexivität
• Es gilt für alle x ? X xRx ? R
• 2. Irreflexivität
• Es gilt für alle x ? X aus xRy ? R folgt x ?
  y.
• Folge keine Schleifen

43
3. SymmetrieGilt xRy ? R so gilt yRx ? R
a b c d 4. Asymmetrie Gilt xRy ? R so gilt nicht
yRx ? R a b (ist R asymetrisch, so ist c d R
irreflexiv)
44
5. AntisymmetrieGilt xRy ? R und yRx ? R, so
folgt xy.Bem. wie Asymmetrie, nur Schleifen
erlaubt.
6. Transitivität Gilt xRy ? R und yRz ? R so
gilt xRz ? R Bsp a b c d
45
7. IntransitivitätGilt xRy ? R und yRz ? R, so
gilt nicht xRz ? R (x ? y ?z)
Bsp a b c d
8. Negative Transitivität Gilt xRy ? R und yRz ?
R, so gilt auch xRz ? R Bsp a b
c d
46
9. ZusammenhangFür alle x, y ? X gilt xRy ? R
oder (exklusiv) yRx ? R oder beidesBsp
10. Schwacher Zusammenhang Für alle x,y ? X mit
x ? y gilt xRy ? R oder (exklusiv) yRx ? R Bsp
47

48
Schwache Präferenzrelation ? auf der Menge der
Konsequenzen

• Sprich für xi, xj ? X heißt xi ? xj
• xi werde xj nicht vorgezogen!
• Bemerkung xi ? xj muss nicht heißen xj ist
  besser als xi z.B. wenn man es nicht beurteilen
  kann
• Satz Jede schwache Präferenzrelation auf X
  induziert eine Indifferenzrelation auf X.
• Bildung xy genau dann, wenn x ? y und y ? x.

49

• Beispiel Taxiunternehmen untersucht ein
  Erweiterungsinvestitionsproblem bei Sicherheit.
  Es gelte
• x1 Kauf eines Opel-Rekord 2100 D
• x2 Kauf eines Mercedes 300 D
• x3 Kauf eines Alfa Romeo 2000
• x4 Kauf eines Mercedes 240 D
• x5 Kauf eines Peugeot 504 D
• Durch gezielte Befragung sind folgende
  Präferenzen festgestellt worden (X x1, x2, x3,
  x4, x5)

50

• x3 ? x3 x5 ? x4
• x1 ? x1 x1 ? x2
• x2 ? x2 x2 ? x4
• x4 ? x4 x1 ? x5
• x5 ? x5 x4 ? x2
• x3 ? x1 x5 ? x1
• x3 ? x2 x3 ? x5
• x3 ? x4
• x5 ? x2
• x1 ? x4

a priori Annahme Reflexivität












Ermitteln Sie die Äquivalenz-klassen der
induzierten Äqui-valenzrelation!



51
Lösung x3 x1 x5 x2 x4 Äquivalenzklasse
n (xi lt xj und xj lt xi)
x3 x3 Quotientenmenge x1
x1, x5 x2 x2, x4
52
Äquivalenzrelation

• Eigenschaften Reflexiv, symmetrisch, transitiv
• Bsp X 1, 2, ..., 10
• Es gelte xRy ? R wenn x, y ? X und x sowie y bei
  Division durch 3 denselben Rest aufweisen.
• Graphische Form von R

53
Definition

• Sei eine Äquivalenzrelation in X und es gelte x
  ? X, die Teilmenge x xi ? X und xi x
  heißt Äquivalenzklasse von x unter der
  Äquivalenzrelation .
• Definition
• Die Menge X / x x ? X heißt
  Quotientenmenge von X bezüglich .
• Bemerkung Zwischen X und X / ist immer eine
  Abbildung µ definiert
• µ X ? X / mit µ(x) x

54
Strenge Präferenzrelation ?

• Eigenschaften Asymmetrie, Transitivität,
  negative Transitivität, Trichotomie für xi, xj ?
  X gilt
• xi ? xj,
• xj ? xi oder
• xj xi
• Satz Die Relation ? auf X induziert eine strenge
  Präferenzrelation
• Bildung xi ? xj genau dann, wenn xi ? xj und
  nicht xj ? xi gilt.

55
Strikte lineare Ordnung ?

• Eigenschaften Irreflexiv, asymmetrisch,
  transitiv, schwach zusammenhängend
• Bemerkung Bekanntestes Beispiel einer derartigen
  Relation ist die Relation lt im R1.
• Satz Eine schwache Präferenzrelation auf X
  induziert eine strikte lineare Ordnung in X/.

56
Ordinaler Nutzenindex

• Definition Sei X eine Menge von Konsequenzen,
  auf denen eine schwache Präferenzrelation erklärt
  wird.
• Sei f eine Abbildung f ? X ? R1
• derart, dass für alle xi, xj ? X für die xi ?
  xj gilt, auch f(xi) ? f(xj) gilt.
• f ist eine monotone und ordnungsrelationstreue
  Abbildung von X in der R1 bezüglich ? und heißt
  ORDINALER NUTZENINDEX.

-
57
Zum Problem der Konstruktion des ordinalen
Nutzenindex (X sei endlich)

• 1) Man bilde die Quotientenmenge X /
• 2) Finde Abbildung u
• u X/ ?R1 mit der Eigenschaft u (qi) lt u (q2)
  genau dann, wenn qi ?qj
• Für endliche Quotientenmengen
• 1) Man zähle X/ ab q1, q2, ..., qm.
• 2) Man sortiere X/ durch ein bekanntes
  Verfahren in O(m log2 m) Schritten und erhält
• qi1 ?qi2 ?... ?qim

-
-
-
-
58
-

• 3) Wir ermitteln u indem wir die Abbildung
  verwenden
• u (qik ) k
• Satz Ein ordinaler Nutzenindex ist nur bis auf
  streng monotone Transformationen eindeutig.
• Tatsächlich gilt

-
X R1 ? X/
-
u u ?
-
u
59
Definition

• Sei eine Äquivalenzrelation in X und es gelte
  x ? X, die Teilmenge x xi ? X und xi x
  heißt Äquivalenzrelation der Relation .
• Definition
• Die Menge X/ x x ? X heißt
  Quotientenmenge von X bezüglich .
• Bemerkung Zwischen X und X / ist immer eine
  Abbildung µ definiert
• µ X ? X / mit µ(x) x

60
Definition

• Wahrscheinlichkeitsmaß W auf Menge ? ist eine
  reelle Funkton, die auf allen Teilmengen von ?
  definiert ist, und folgende Eigenschaften
  aufweist
• a) W(A) ? 0
• b) W (?) 1
• c) W(A?B) W(A) W(B) wenn A?B 0
• d) Es gibt eine endliche Menge H ? ?, sodaß W(H)
  1

61

• Wir betrachten mit W die Menge der einfachen
  Wahrscheinlichkeitsmaße
• Es gelte H w1, w2, w3, ...wh (gem.
  Definition)
• Wir können dann auch schreiben für P ? W
• w1 w2 .... wh
• P
• w1 w2 ... wh
• P kann als eine Lotterie interpretiert werden
  mit den Ausgängen wi (i 1, 2, ..., h)

h
mit ? wi 1
i1
62
Zusammensetzung von Lotterien

• Es seien ?1, ?2, . . ., ?k reelle Zahlen mit
• und ?i ? 0 (i 1, 2, ..., k)
  und
• Pi (A) (i 1, 2, ..., k) seien einfache
  Wahrscheinlichkeitsmaße aus W.
• Dann sei P(A) ?1 x Pi (A) das
  Wahrscheinlichkeitsmaß der zusammengesetzten
  Lotterie. (ai und die Wahrscheinlichkeiten müssen
  von unabhängigen Mechanismen verursacht werden!)

? ? i 1
?
63

• Eine Interpretation der Linearkombination der
  Wahrscheinlichkeitsmaße ist der Begriff der
  zusammengesetzten Lotterie
• d.h. Pi wird mit Wahrscheinlichkeit ?1 geliefert
  (i 1, 2, ..., k)
• Einbettung der Menge ? in W
• a) wi für wi ? ? gehört zu W
• b) wir können daher jede Lotterie P ? W
  folgendermaßen schreiben
• P p1w1 p2w2 ... pkwk
• Bemerkung Es gelte ? wi wi ? ?
• Offenbar gilt ? ? ? W

wi 1
wi 1

64

Unter den Voraussetzungen des N-M-Axiomensystems
kann man eine Nutzenfunktion u W ? R1
konstruieren, die effizienter verwendbar ist als
ein ordinaler Nutzenindex!
65

• AXIOMENSYSTEM von
• V.Neumann - Morgenstern
• N1. Auf der Menge der Lotterien W existiert eine
  schwache Präferenzrelation ? , es sei ? die
  zur Relation ? gehörige strikte Präferenz.
• N2. Es seien P, Q, R Lotterien und 0 lt ? lt1,
  dann gilt
• P ? Q ? ?P (1- ?)R ? ?Q (1- ?)R
• N3. P,Q,R seien Lotterien und P?Q?R, dann gibt
  es Zahlen ?, ? mit 0 lt ? lt 1 und 0 lt ? lt 1 , so
  daß gilt ?P (1- ?)R ? Q ? ?P (1- ?) R.

66

Erwartungsnutzen Definition Eine Funktion UW ?
R1 heißt Erwartungsnutzen, wenn sie folgende
Eigenschaften erfüllt A) Ordnungstreue
(Monotonie) P? Q ? U(P) ? U(Q) B) Linearität U
(?1P1 ?2P2... ?KPK) ?1U(P1)
?2U(P2)... ?KU(PK) C) Eindeutigkeit bis auf
positiv-lineare Transformationen seien u,v
zwei Funktionen, welche A) und B) erfüllen, dann
gilt U(P) AV (P) B mit A gt0
67

Hauptsatz der kardinalen Nutzentheorie Auf einer
Menge von Lotterien W, welche 1. die Axiome von
v.Neumann - Morgenstern erfüllen und 2. in der es
mindestens ein paar P, Q mit P? Q gibt existiert
ein Erwartungsnutzen Beweisidee Setze u (P) 0
und u (Q) 1 A) Für P?R?Q kann man aus Axiomen
folgern Es gibt ein eindeutiges ? (? ?
(0,1)), so dass R ?P(1-?)Q gilt.
Hieraus u(R) 1- ? (R heißt
Sicherheitsäquivalent von ?P(1- ?)Q
analog R?P?Q und P?Q?R
68

Bernoulli-Prinzip X ist meist eine Menge von
monetären Konsequenzen (homogenes Gut). uo
R1?R1 mit uo (x) u( ) (oft einfach
u(x)) Ergebnis des Hauptsatzes u(P) E(u(x))
für P ? W Beispiel x1 x2 P
p 1-p Zwei Zufallsvariable u(x) (Nutzen
u(xi) mit Wahrscheinl. pi) x (Geldbetrag
xi mit Wahrscheinl. pi) Nach Hauptsatz gilt u(P)
p u(x1) (1-p) u(x2) (E(u(x))) Meist gilt
zudem u(P) ? E(x) außer wenn u(x) linear.
x 1
69

Nutzenfunktion Problem des Sicherheitsäquivalents
Finde einen Wert ? derart, dass z.B.
(Zweipunktverteilung) gilt u(?) u(P)
p(u(x1)) (1-p)u(x2) (P ? W)
70

Bsp konvexe Nutzenfunktion (Risikofreudigkeit) u(
x) x²/10 Fixpunkte u(x) x x
0 x 10
u(x2)
½
u(x2)-u(x1) Also ? gt E(x) ? 15,8113....
½
u(x1)
x
5 10x1 15E(X) 20x2
71

Experimentelle Ermittlung von ?
Man ermittle ?, so daß A1 A2 d.h. ? ?
x1 x2 p 1-p p 1-p
,also U? p u(?) (1-p) u(?) p u (x1)
(1-p) u(x2) also 10 20 P
u(?) E (u(X)) ½ ½
72

Bsp. p 0,5 Bekannte Nutzenfunktion E(x)
10 0,5 20 0,5 15 P E(U(x)) 40 0,5
10 0,5 25 u(?) ? ? 25 x 10 ? 15,8
(u-1(u(?))) E(U(X)) 25 ? gt E(X) ?
Risikofreude (U-1(U(E(X)))) E(X) ? gt E(X)
? Risikofreude ? lt E(X) ? Risikoaversion
73

Risikoaversion (u (x) ist konkav)
u (x2)
1-p
p
u(x2)-u(x1) Also ? lt E(x)
u (x1)
x1 ? E(x) x2
74

Nutzenkurve nach Friedmann Savage (The Utility
Analysis Of Choices And Risks Journal Of
Political Economy, pp. 279-304, 1948
Erforderlich aus St. Petersburg
Paradoxon Erklärt z. B. warum bei beliebiger
Gewinnerhöhung bei Glücksspielen die
Teilnehmerzahl nicht beliebig erhöht werden kann!
Erklärt z. B. Glücksspiel-teilnahme
Erklärt z. B. Ab-schlüsse von Ver-sicherungsverträ
gen
75

(Krelle)
76

Beispiele aus der Nutzentheorie 1) Wir betrachten
2 Lotterien R S Welche Präferenzen
haben Sie? Zu komplex? Wenn ja 1) Anerkennen Sie
Axiome 1-3 wenn ja 2) Können Sie Ihre
Präferenzen für folgende 2 Lotterien
angeben P Q
10 600 1000 0,02 0,32 0,66
500 600 1000 0,1 0,42 0,48
10 1000 0,1 0,9
500 600 0,5 0,5
77

Wenn ja, so kann man mittels T
Vermöge der Zusammensetzung R 0,2 P 0,8
T S 0,2 Q 0,8 T und Axiom 2 die Präferenz für
R und S ableiten!
600 1000 0,4 0,6
78

Beispiel aus der Nutzentheorie zur Aufdeckung von
Inkonsistenzen aus F.Ferschl, Nutzen- und
Entscheidungstheorie, Opladen) Gegeben 2 Paare
von Lotterien (Angaben in Mio.) a) b) P
R Q S Häufig wird nun
folgende Präferenz bekanntgegeben (A) P ? Q
und (B) S ? R Man kann zeigen, dass es keine
Nutzenfunktion u gibt, die dieses Verhalten
erklären kann
0 5 25 0,01 0,9 0,09
0 25 0,91 0,09
5 1
0 5 0,9 0,1
79

• Zu A)
• u(P) 0,01 u(0) 0,9 u(5) 0,09 u(25)
• u(Q) u(5)
• aus P ? Q folgt u(P) lt u(Q) oder
• 0,01 u(0) 0,09 u(25) ? 0,1 u(5)
• Zu B)
• 0,91 u(0) 0,09 u(25) u(R)
• 0,9 u(0) 0,1 u(5) u(S)
• also wegen S ? R folgt
• 0,1 u(5) ? 0,09 u(25) 0,01 u(0)
  Widerspruch

80

Grund des Widerspruchs Axiom 2 T V es
gilt P 0,1 T 0,9 Q Q 0,1 Q 0,9 Q 1) gilt P
? Q folgt (Axiom 2) T? Q Es gilt aber R 0,1 T
0,9 V S 0,1 Q 0,9 V 2) Aus T ? Q folgt
(Axiom 2) R ? S 3) Widerspruch zur Aussage der
Versuchsperson!
0 25 0,1 0,9
0 1
81

Gegeben seien 2 Paare von Lotterien a) P
b) R a) Q b) S Es
werde von einem Entscheidungsträger folgende
Präferenz bekanntgegeben P ? Q und S
? R Untersuchen Sie mit Hilfe der
Zusammensetzungen P 0,1 T 0,9 Q, R 0,1 T
0,9 V und S 0,1 Q 0,9 V wobei gelte T
, V diese Angaben auf die Möglichkeit einer
Ableitung eines Erwartungsnutzens ausgehend von
dem Neumann-Morgensternschen Axiomensystem.
0 5 0,91 0,09
0 1 5 0,01 0,9 0,09
0 1 0,9 0,1
1 1
0 5 0,1 0,9
0 1
82

Risikoaversion und Risikoaversionsmasse Kard.
Nutzenfunktion ist unter gewissen rationalen
Voraussetzungen aus Präferenzrelation ?
bildbar. Bsp. a ? b 1- ?
Wahrscheinlichkeit
Risikoprämie Maximum an Wohlstand, den ein
Individuum aufgeben würde, um Risiko zu vermeiden.
83

Markowitzsche Prämie E(W) - ? (von W
abhängig) Bsp. Es gelten U(W) ln (W)
(logarithm. Nutzenfunktion)
?
84

Wir nehmen nun an, dass die Individuen
risikoavers sind. Das Markowitssche
Risikoaversionsmaß ist die Risikoprämie ? U-1(U
(E(W))) - U-1(E(U(W))) E (w) - ? Dieses Maß ist
jedoch von der Höhe von W und der Verteilung
abhängig.
85
Pratt - Arrowsches Risikoaversionsmaß Z sei
eine Zufallsvariable mit E(Z) 0 Ausgangspunkt
Was ist die Risikoprämie p (W, Z) für das Spiel,
bei dem das Individuum W Z (? zufällig) erhält?
Es gilt für die Risikoprämie p, dass folgende
Gleichung erfüllt wird E(U(WZ)) U(WE(Z)-
p(W,Z))
86

Taylor Reihe f(x) f(a) f(a) (x-a) f(a)
.... f(n) (a)
.. Beide Seiten Taylor approximiert Links
E(U(WZ)) E(U(W) Z U(W) ½ Z2 U (W) und
Ausdrücke von O(Z3) U(W) ½ ?2 U (W) ...
87

Recht U(W E(Z) - p (W,Z)) U(W- p ) U(W) -
p U(W) Ausdrücke kleinerer Ordnung Also U(W)
- p U(W) U(W) 1/2 ?² U(W) nach p
aufgelöst p ½ ?² - ARA nach
Pratt/Arrow
U(W) U(W)
U(W) U(W)
-
immer positiv (Skalenveränderung)
88

ARA ist das absolute Risikoavesionsmaß, da es von
der Höhe von W abhängig ist. Wir wollen daher
noch ein von der Höhe von W unabhängiges
Risikoaversionsmaß RRA RRA - W
U(W) U (W)
89
Empirische Untersuchung zur Risikoaversion Beispie
l Häufig verwendete Nutzenfunktion quadratische
Nutzenfunktion Für W lt a/2b gilt U (W) aW -
bW2 Es gilt U'(W) a - 2bW U''(W) -2b
90

Also ARA gt 0 RRA gt 0
2b d(ARA) a-2bW dW
2b d(RRA) (a/W)-2b dW
ergo nicht konstant!
91

Konstantes RRA wird erfüllt durch U(W) W-1
U(W) W-2 gt 0 U(W) -2W-3 lt 0 ARA -
lt 0 RRA W 2
? 0 Diese Funktion stimmt mit
empirischen Ergebnissen von Friend Blum, The
demand for Risky Assets, Am. Ec.Re., 1975 p.
900-922 überein.
-2W-3 W-2
2 W
d(ARA) dW
2 W
d(RRA) dW
92
Stochastische Dominanz

Bsp Umweltkonstellationen seien geordnet nach
dem Nutzen und es gelte ZR1 (bzw. geordnet nach
Geldeinheiten). Es gelte nun für eine Aktion x
und y milden Wahrscheinlichkeitsverteilungen F
und G (1) Fx (W) ? Gy (W) für alle W
(WWohlstand) und (2) Fx (Wi) lt Gy (Wi) für
mindestens einige W
93

Beispiel
94

Definition Sind die Bedinungen (1) und (2)
erfüllt für zwei Alternativen (Aktionen) x und y,
so spricht man von stochastischer Dominanz 1.
Ordnung von Fx über Gy oder einfach von x über
y-für nicht abnehmende Nutzenfunktionen! Bemerkung
Offenbar ist das Gegenteil wahr für alle
abnehmenden Nutzenfunktionen, d.h. y dominiert x.
95
Stochastische Dominanz 2. Ordnung

Voraussetzung a) Nutzenfunktion ist
nichtabnehmend b) Nutzenfunktion ist streng
konkav (d.h. im abnehmenden Maße zunehmend!)
96
Beispiel solcher Nutzenfunktion

Bemerkung D.h. wir setzen Risikoaversion voraus.
97

Definition Eine Alternative (Aktion) x heiße
stochastisch dominant 2er Ordnung über
Alternative y, wenn für alle risikoaversen
Entscheider gilt (Gy(W) - Fx(W)) dW gt 0 für
alle W, und Gy(Wi) ? Fx (Wi) für einige Wi
Wi - ?
98

Beispiel
f (G(w) - F(w)) d W Differenz
ux uy
99
(No Transcript)
100
Bemerkung Die Aussage bezieht sich also auf die
Fläche unter der kumulativen Verteilungsfunktion!
Entspricht der Intuition Varianz wird
berücksichtigt Risiko Bemerkung zum
Beispiel Bei der linearen Nutzenfunktion wären
die Alternativen x und y bei (Rumpf-)
Normalverteilung äquivalent! Stochastische
Dominanz kann also für alle risikoaversen
Entscheider verwendet werden um Alternativen zu
eliminieren!
101
Mittelwert und Varianz als AuswahlkriterienGehen
wir von einer zweiparametrigen Klasse von
Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus und
betrachten hiervon nur die Normalverteilung!Man
kann dann zeigen, dass (µ,s) als Kriterium für
Dominanz genügt.Beispiel
µ
s
102
Man kann auch zeigen, dass diese Möglichkeit für
andere 2-parametrige Verteilungen nicht
vorausgesetzt werden kann ((µ,s)-Paradoxon).(Im
übrigen Schneeweiß H., Entscheidungskriterien bei
Risiko, Springer Verlag)
103
Entscheidungen unter SicherheitA) Modelle mit
einer ZielsetzungZiel NutzenmaximierungTatsäc
hlich Vereinfachte Realsituation
z a1 u1 a2 u2 . . . . an un
104
B) Modelle mit mehreren Zielsetzungen Ziele
k1 k2 .... kvAktionena1 u11 u12 .... u1v -
Konsequenzenteilnutzena2 u21 u22 .... u2v. . .
.... .. . . .... .. . . .... .am um1 um2 u
mv Probleme Nutzenunabhängikeit der
TeilnutzenZieltypologisierung nach
Zielverhaltena) Indifferente Zieleß)
Komplementäre Ziele?) Konkurrierende Ziele
105
Auswahlschrittea) Elimination ineffizienter
Aktionenß) Auswahl aus den effizienten
AktionenDefinition der EffizienzEine Aktion
heißt effizient, wenn esa) keine Aktion aq ? A
gibt, mit uqp gt uip für alle p 1, 2, ..., v
undß) uqp gt uip für mindestens ein p ? 1, 2,
..., v gilt.
106
Beispiel Ziele k1 k2 k3Aktionena1 3 7 2 Nich
t dominierte Aktionena2 1 6 8 (effizient)a3 9
2 6 z. B. a4 dominiert a1.a4 5 8 3a5 3 6 3D
ies gilt ebenso für mehrere Umweltsituationen!
(Allgemein und schwächer als die stochastische
Dominanz!)
107
Beispiele zu Verknüpfungsregeln der Teilnutzen
bei Entscheidung bei mehrfacher ZielsetzungA)
ZielgewichtungBewertung F (ai) S qi uij1.
Beispiel k1 k2 k3 F (ai) a1 3 7 2 3,1 a2 5
8 3 4,2 a3 3 6 4 4,3k1 k2 k3 1 2
7Gewichte 0,1 0,2 0,7
108
B) ZielunterdrückungSpezialfall der
Zielgewichtung Gewichtungsvektor 0,0, ... 0,1,
0,...z. B. nach schlechten Jahren
Gewinnmaximierung.
109
C) Aktionenauswahl nach lexikographischer
OrdnungVoraussetzung Schwache Präferenzordnung
auf den Zielen (Ziele in gleichen Restklassen
werden zusammengelegt)Folge strenge lineare
Ordnung auf den Restklassen ki1 gt ki2 gt ... gt
kiv nach sortieren (stabil) AuswahlBsp. k2 gt
k1 gt k3Bewertung k1 k2 k3a1 3 1
4 2 2 3 a2a2 2 2 3
sortieren 3 1 1 a1a3 3 1
2 3 1 2 a3a4 2 1 4 2
1 4 a4Präferenz(annahme) a2 gt a1 gt a3 gt
a4
110
D) Maximierung des minimalen Zielerreichungsgrades
N. Körth Bewertung F(ai) min (maxuipuhp)
p hBeispiel k1
k2 k3 uip Min.d. max
uhp Zeilea1 3 7 2 3/9 7/8 2/8 2/8a2 1
6 8 1/9 6/8 1 1/9a3 9 2 6 1 2/8 6/8 2/8a4 5
8 3 5/9 1 3/8 3/8 Opt. Alternative
Grad 0,375a5 3 6 4 3/9 6/8 1/2 3/9
111
E) Goal-Programming-Ansatz (Charnes,
Cooper)Gesamtziel Minimierung der absoluten
Abweichungen von den gesetzten
Zielen!Bewertungsfunktion F(ai) S uip -
ûp pûp für Ziel kp gesetztes
Niveau
112
Beispiel k1 k2 k3 I) Zielvorgabe k1
k2 k3 Fa1 3 7 2 û1 3 0 2
2 4 Gleicha2 1 6 8 û2
5 2 1 4 7 gewichteta3 9
2 6 û3 4 6 3 2 11
Abweichunga4 5 8 3 2 3 1
6 (uip-ûp)a5 3 6 4 0 1
0 1II) Zielvorgabe k1 k2 k3
F û1 9 6 1 6
13 (Spezialfall û2 8 8 2 0
10 Zielgewichtung) û3 8 0 6 2
8 4 0 5 9 6 2 4
12 Zielplus - Zielminus gleiches
Gewicht!(Vgl. Bamberg, Coenenberg,
Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre,
Vahlen.)
113
Beispiel mit überabzählbaren Aktionenmengen
(Problem Bamberg, Coenenberg, Entscheidungslehre,
S. 53)Produktionsbeschränkungsgleichungen bei
Erzeugung zweier Produkte x 3y lt 160
y lt 40 x lt 100 x,y gt
0 GewichtFall 1) û1 Gewinnmaximierungsni
veau 800 0,4 Zielfunktion u1 (x,y)
7x 5y û2 Umsatzmaximierungsniveau 2400
0,6 Zielfunktion u2 (x,y) 11x
49ySumme der gewichteten Abweichungen ist zu
minimierenZielfunktion 0,4 (a1 a1-)
0,6(a2 a2-) ? Min.
114
Zusätzliche Gleichungen7x 5y - a1 a1-
800 ( erzielbares Gewinnmaxiumum)11x 49y -
a2 a2- 2400 (Ziel Umsatzniveau)Ergebnis a
1- 8,1633 x 100 y 18,367
Freikapazität y 21,633Lösung des Beispiels
nach Körth-Ansatz (Vgl. Bamberg/Coenenberg, Loc.
Cit., S. 53) x 85 Gewinn 720 y
25 Umsatz 2160 Zielerreichungsrad 0,9
115
Körth-AnsatzOptimale LösungenGewinnmax. Umsat
zmax.x1 100 x2 40y1 20 y2
40u1 (x1, y1) 800 u2 (x2, y2) 2400u2
(x1, y1) 2080 u2 (x2, y2) 480Wir
wollen möglichst viele Prozente vom Gewinnmax.
(800) und Umsatzmax. (2400) erzielen!
116
Alsow Max7x 5y gt 800
w Körth - Tafel11x 49y gt 2400
w Gewinnmax. Umsatzmax.x 3y lt
160 . . . y lt 40 . . .x,y
gt 0 . 800 Max. . 2 2
1 . . . . 2400 Max.Lösung . . .
. . . x 85 Gesucht Zeile des
max. Minimumsy 25 in
Anteilen.u1 (x, y) 720 Gefunden 0,9 !u2
(x, y) 2160w 0,9
117
B) Zielunterdrückung Wir wählen bei r Zielen
einen speziellen Gewichtungsvektor (0, 0,
...010,...0) und entscheiden nach diesem Ziel.
Beispiel Nach ertragsschlechten Jahren
Gewinnmaximierung In obigem Beispiel Ziel
1 a3 Ziel 2 a4 Ziel 3 a2
118
C) Auswahl nach lexikographischer Ordnung Die
Ziele werden nach der Priorität der
Zietscheidenden in eine Ordnung gebracht ki1 gt
ki2 gt ki3 ... gt kip und die Aktionen nach den
Zielen kip, kip-1, ..., ki1 in dieser Reihenfolge
sortiert (stabiles Sortieren!) Beispiel k1 k2
k3 a1 3 1 4 a2 2 2 3 a3 3 1 2 a4 2 1 4 Es
gelte k2 gt k1 gt k3 I) 3 1 4 II) 3 1
4 III) 2 2 3 a2 2 1 4 3 1
2 3 1 4 a1 2 2 3 2 1
4 3 1 2 a3 3 1 2 2 2 3 2
1 4 a4
119
D) Maximierung des minimalen Zielerreichungsgrande
s nach Körth uip F (ai) min
( ) max uhp
p h Ziele k1 k2 k3 Min.
d. Aktionen Zeile a1 3 7 2 3/8 7/8 2/8 2/8
a2 1 6 8 1/9 6/8 1 1/9 a3 9 2 6 1 2/8 6/8 2/8
a4 5 8 3 5/9 1 3/8 3/8 a5 3 6 4 3/9 6/8 1/2 2/
9
Opt. Alternative! W 0,375
uip max uhp h
120
Gewichtungs-Beispiel Ermitteln Sie den optimalen
Preis zur Realisierung der Ziele
Gewinnmaximierung Gewicht 3
0,6 Umsatzmaximierung Gewicht 2
0,4 Preisabsatzfunktion x(p) 60 -
p Kostenfunktion 120 15x p 37,5 Gewinnmax
p (x(p)) - k max Umsatzmax p . x (p)
max p 30 Lösung 0,6 (75p - p2 - 120) 0,4
(60p - p2) u 575,25 P opt 34,5
121
Gewichtungs-Beispiel 3 Produktunternehmen Aktion
Wahl eines Produktionsplanes (x, y,
z) Deckungsbeiträge Produkt A 10 Mögl.
Absatz 100 Produkt B 12 Mögl. Absatz
80 Produkt C 8 Mögl. Absatz 90
122
Es werden 3 selbst hergestellte Vorprodukte
benötigt, die beschränkt sind VP 1
2 3 PR Vorproduktionskapazitätsgrenze
n A 5 8 3 1 2 3 B 9 8
1 C 7 8 2 780 900 600 Ziele 1)
Gewinnmaximierung u1 (x, y, z) 10x 12y
8z 2) Umsatzmaximierung A u2 (x, y, z)
x Gewichtung Gewinn von 1,5 Absatz von 1
Stück A. Ermitteln Sie den optimalen
Produktionsplan.
123
Lösung Zielfunktion 0,4 (10x 12y 8z)
0,6x x lt 100 5x 9y 7z lt 780 y lt 80 8x
8y 8z lt 900 z lt 90 3x y z lt 600 x, y,
z gt 0 Resultat Zielfunktion 528,38 x
58,185 y 56,325 z 371,25
124
Ablauf einer Nutzwertanalyse bei der
Anlagenauswahl Ableitung der Zielhierarchie
. . . . . . . . . . Hauptgruppen
. . . . . . . . . . .
Untergruppen . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
125
Tabelle der qualitativ be-werteten oder
beschriebenen Konsequenzen der Alternativen je
Zielkriterium
Bewertung der Kriterien mit Gewichten gi / i
1, 2, ... n und der Konsequenzen mit dem Nutzen
innerhalb des Zielkriteriums
126
Tabellen von entscheidungsträger-bezogenen
einzelkriterien-verwerteten Alternativenbewertunge
n
Aggregation von mehreren Präferenzordnungen auf
eine gemeinsame Präferenzordnung durch eine
Entscheidungsregel
Nutzwert-Tabelle der Alternativen
127
Die Vorgehensweise bei Nutzwertmodellen besteht
aus folgenden Stufen 1. Bestimmung der
situationsrelevanten Ziele, bzw.
Zielkriterien 2. Beschreibung der zielrelevanten
Konsequenzen 3. Bewertung der Konsequenzen mit
dem eindimensionalen Nutzen, d.h. Ermittlung des
Konsequenzennutzens und Gewichtung der
Zielkriterien. 4. Eventuelle Aggregation der
Teilnutzen zu einem Gesamtnutzen bzw. zu einer
Einzelbewertung der Alternativen. 5. Vergleich
der Alternativen und Ermittlung der optimalen
Alternative.
128
Die wesentlichen Probleme der Nutzwertanalyse
liegen in - der Auffindung der relevanten
Zielkriterien, - der Bewertung der Kriterien mit
den Gewichten und - der Wahl einer geeigneten
Regel zur Aggregation der einzelnen
Präferenzordnungen. Die Festlegung der
Aggregationsregel und der Kriteriengewichte muss
vor der Bewertung der in Frage kommenden
Alternativen erfolgen.
129
Qualitative and Quantitative Comparison of two
database systems A and B 0 Not available 1
very poor, or very difficult 2 poor or
difficult 3 average, acceptable 4 good or
easy 5 very good or very easy
130
2. Other criteria in order of importance
131
(No Transcript)
132
(No Transcript)
133
Betriebswirtschaftliche Entscheidungsmodelle
unter Gewissheit Finanzmathematische Modelle der
Investitionsrechnung Lineare und
nicht-lineare Programmierungs- modelle Ganz
zahlige Optimierung Dynamische
Optimierung Lagerhaltung Netzplantechnik
u.a.m.
Entscheidungsmatrix z a1 u1 Entscheidungs- a2 u2
aufgabe . . finde max. ui . .
i an un (und wähle ai)
134
Bemerkung A) Sind meist bei realen Problemen
nur mehr mit Computer durchführbar. B) Obwohl
in den meisten Fällen Algorithmen existieren, die
in endlicher Zeit eine optimale Lösung finden,
finden manche dieser Algorithmen eine Lösung in
vernünftiger Zeit. C) Vor Einsatz eines
Algorithmus ist der Berechnungsaufwand
festzustellen. Meist gibt es mehrere
Algorithmen zur Lösung der Auswahlaufgabe,
deren Berechnungsaufwand von der
Datenaugenblicklichkeit des tatsächlichen
Berechnungsproblems abhängt.
135
Einführungsbeispiel Aufgabe Sortiere eine
endliche Menge von Aktionen nach ihrem
Nutzen. Lösung Es gibt viele Algorithmen zur
Lösung. Einer hiervon lautet (U (I) ist eine
Tabelle mit m Schlüsseleinträgen) Abschnitt Algo
rithmus A DO J 2 TO m BY 1 I J -
1 Searchkey U (J) B DO WHILE ((Searchkey
lt U (I) ? (I gt 0)) C U (I 1) U
(I) I I - 1 D END U (I 1)
Searchkey END
136
Algorithmusindividuelle Datenaugen- Jede
Anordnungs- ungünstigste günstigste augenblick- pe
rmutation ist Anordnungs- Anordnungs lichkeiten g
leich wahrschein- Permutation Permutation lich A
bschnitte A m - 1 m - 1 m - 1 m2 -
m m2 - m B m-10(m2)
0(m2) m - 1 4 2 m2 -
m m2 - m C 0 4
2 D m - 1 m - 1 m - 1
137
Random-Access-Machine-Modell (RAM
Modell) (1-Akk. ohne Befehlsmodifikation!) x1
x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
xn Eingabe Pro- r0
(Akkumulator) Befehls- gramm r1 register r2
Speicher y1 y2 . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ausgabe
138
Operationen Zeitbedarf der Operationen
ca. LOAD 10 STORE 10 ADD
Operandenadresse 15 SUB (implizierter 2.
15 MULT Operand Inhalt 30 DIV des
Akkumulators) 80 READ lesen (1
Bandfeld ) WRITE
schreiben JUMP 15 JGTZERO
Befehlsadresse 25 JZERO 25 HALT -
(physisches Ende)
139
Programm im RAM-Code K2 DC 2 KM DC M (wird zu
Beginn geladen) K-1 DC 1 U(1) DC - U(2) DC - . . .
zu sortierender Bereich . . . . . . U(M) DC
- J DC 0 Speicherreservierung I DC 0 für
Arbeitsvariable SK DC 0
Speicherbedarf des Algorithmus
140
Fortran-Programm Subroutine B (U, M) Integer U
(1), SK DO 6 J 2,M A I J - 1 SK U
(J) 1 IF (SK - U (I)) 2, 5, 5 B 2 U (I1) U
(I) I I - 1 C IF (I) 6, 5, 1 5 U (I 1)
SK 6 Continue D Return END
Gesamtzeitbedarf ca. m2 190
155 m 20 4 Bei gleichwahrscheinlichen
Anordnungspermutationen
141
Einstiegsteil Ausführungshäufigkeit Zeit
LOAD K2 1 STORE J 1 AFN LOAD
J SUB K - 1 45 STORE J A LOAD
U (J) STORE SK BRANCH LOAD
SK 75 SUB U (I) B JZERO
CHANGE JGTZERO CHANGE
142
LOAD U (I) STORE U (I 1) LOAD
I 115 SUB K - 1 C STORE I JGTZERO
BRANCH JZERO CHANGE JUMP
LOOP 20 CHANGE LOAD SK D STORE U (I
1) LOOP LOAD J ADD K - 1 STORE
J 110 LOAD M A SUB J JGTZERO
ANF JZERO ANF RETURN END 1
143
Andere Algorithmen Quicksort Beispiel 7 2
2 2 2 9 9 7 7 3 1 1 1 1 1 Elemente lt
7 6 6 6 6 6 2 lt 7 4 4 4 4 4 3 3 3 3 7 Ende 1.
Phase 8 8 8 8 8 2 7 9 9 9 Elemente gt
7 Erwartete Anzahl von Phasen 1,41 log
n Vergleiche je Phase lt n Erwartete Anzahl der
Vergleiche 0 (n log n)
144
Ungünstigster Fall 9 1 8 8 7 . . . 7 6
6 n - 1 Elemente je Block 5 . .
. 5 4 4 3 3 2 2 1 9 Ende 1.
Phase Erforderliche Anzahl von Vergleichen n2
- n d. h. 0 (n2) Operationen
2
145
Theorie der Komplexität befasst sich mit
Grundfragen des Laufzeitverhaltens von
Algorithmen (Speicherbedarf von
Algorithmen) Einige Begriffe Komplexität Größe
zur Beurteilung der Güte eines Algorithmus zur
Lösung eines Problems. Wird als Funktion f
des Arguments Problemgrößen angegeben f
(n) Problemgröße Positive Zahl, die eine
Eigenschaft einer konkreten Datensituation
einer Problemstellung misst Beispiel
Anzahl der Kanten in einem graphentheoretischen
Problem. Anzahl der zu sortierenden Elemente
in einem Sortierproblem. Größe der Matrix in
einem LP-Problem. Größe der Matrix in einem
Inversionsproblem. Exakt Länge des
Eingabewortes bei Turing-Maschine (die Problem
löst!)
146
Zwei Verhaltensmerkmale werden berücksichtigt Ko
mplexität Zeitkomplexität T
(N) Speicherkomplexität S (N) Ausführungszeit
als Speicherbedarf bei Ausführung Funktion
von N als Funktion von N
147
Zwei Komplexitätsmaßstäbe bei der Messung von
Komplexität 1. Logarithmisches
Komplexitätskriterium (Beruht auf der Anzahl der
erforderlichen Operationen per Bit bzw. auf dem
Bit-Speicherumfang) Grundannahme
Zeitkomplexität einer Operation mit N ist
eine lineare Funktion von log (N). Ebenso
gilt diese Annahme für die Speicherkomplexitä
t. 2. Uniformes Komplexitätskriterium Jede
Operation erfordert 1 Zeiteinheit Jede Zahl kann
in einer Speicherstelle gespeichert werden.
148
Beispiel Berechnung der Funktion nn Programm
(AHO, HOPCROFT, ULLMANN) BEGIN Anzahl der
Durchführungen READ r 1 IF r 1 lt 0 THEN
WRITE 0 ELSE BEGIN r 2 r 1 1
r 3 r 1 - 1 WHILE r 3 gt 0
DO BEGIN r 2 r 2 r 1 n - 1
r 3 r 3 - 1 END WRITE r 2 END END
149
Komplexität des Programmes Uniformes Logarithm
. Kriterium Kriterium Zeitkompl. 0 (n) 0
(n2logn) Speicherkompl. 0 (1) 0
(nlogn) n Multiplikation 1
Speicherstelle f.d. Resultat
n - 1 S log (ni) log n i1 S (i 1) log n
0 (n2logn) log nn
Anwendung Zweickmäßigkeitsfrage. Größere
Bedeutung log. Kriterium.
150
Mehrband-Turingmaschine Endliche
Kontrollsteuerung . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
K-Band . . . . . . . . . . .
. .
151
Mehrband-Turingmaschine ist ein 7-Tupel (Q, T,
I, d, b, q0, qf) 1) Q Menge von internen
Zuständen 2) T Menge von Bandsymbolen 3) I
Menge von Input-Symbolen (I lt T) 4) b ? T - I
ist das Leerzeichen 5) q0 ist der
Anfangszustand 6) qf ist der Endzustand 7) d
Nächster-Zug-Funktion bildet Teilmenge Q x
Tk in Q x (T x L, R, Sk ab. D. h. es bildet
ein Tupel aus (q, a1, a2, ..., ak) (ai ? Tiq ?
Q) in (q, (a1, d1), (a2, d2), ..., (ak,
dk)) (dj ? L, R, S) ab.
152
Arbeitsweise Die Maschine befindet sich im
Zustand q und liest a1 am 1. Band, a2 am 2. Band
usw. Sie geht dann in den Zustand q, schreibt
a1 am 1. Band und bewegt den S/L-Kopf gemäß d1
sie schreibt a2 am 2. Band und bewegt den
S/L-Kopf gemäß d2 usw. Beispiel 2-Band-TM die
Palindrom auf Band 1 erkennt (nach Aho, Hopcroft,
Ullman, The Design ...)
153
Vorgangsweise 1) q0 Anfangszustand Band 1 0
1 1 1 0 b b Band 2 b b .
. . . . 2) Maschine schreibt
spezielles Symbol X auf Band 2 und kopiert das
Wort von Band 1 auf Band 2 q1 0 1 1
1 0 b b . . X 0 1 1
1 0 b b
154
3) Die Turingmaschine setzt Lesekopf von Band 2
zurück auf X und vergleicht Band 1 mit Band 2
zeichenweise q2 0 1 1 1 0
b b X 0 1 1 1 0 b
155
Definition der Maschine
156
Beispiel a1 a2 a3 0 1 0 qf q5 (q0 0 1 0,
q0) l- (q1 010 xq1) l- (0q1 10,
x0q1) l- (01q10, x01q1) l- (010q1,
x010q1) l- (010q2, x01q20) l- (010q2,
x0q210) l- (010q2, xq2010) l- (010q2,
q2x010) l- (01q30, xq3010) l- (01q40,
x0q410) l- (0q310, x0q310) l- (0q410,
x01q40) l- (q3010, x01q30) l- (q4010,
x010q4) l- (q5010, x010q5)
157
Turingmaschine gestattet 2 Interpretationsmöglichk
eiten A) Sprach-Akzeptor B) Berechnungsautomat
zur Berechnung der Funktion f
158
Sätze zu RAM-Modell und Turing-Maschine Satz Ist
L eine Sprache, die von einem RAM-Programm in
der Zeitkomplexität f (n) verstanden wird, so
wird sie von einer Turing- Maschine in einer Zeit
verstanden, die in polynomialer Beziehung zu f
(n) steht. f1 (n) und f2 (n) stehen zueinander
in polynomialer Beziehung, wenn es zwei Polynome
p1 (n), p2 (n) gibt, so dass p2 (f1 (n)) gt f2
(n) und p1 (f2 (n)) gt f1 (n) gilt! (ohne
Division und Multiplikation sogar CTM 0 (f
(n)2)) Beispiel f1 (n) 2n3 und f2 (n) n6
stehen in polynomialer Beziehung zueinander, da
für (n6 ) f2 (n) lt (2n3)2( 4n6) p2 (x)
x2 (2n3 ) f1 (n) lt 2n6 p1 (x) 2x
159
Nicht-deterministische Turing-Maschine Definition
der Unterschied einer nicht-deterministischen
TM zu einer deterministischen TM liegt in der
Abbildung d d QxTk (Qx (Tx L, R,
S)k) d. h. d bildet in Teilmengen ab und ist
daher mehrwertig!
160
Beispiel Man ändere obiges Palindrombeispiel
derart, dass gilt Reaktionen Band 1 Band
2 Band 1 Band 2 Zustand und Übergang q0 0 b 0,S x,
R q1 1,S x,R q1 1 b 1,S x,R q1 0,S x,R q0
b,S x,R q1 b b b,S b,S q0 1,S 1,L q1
(q0, 1, b) Führen u.U. nicht (1,S x,R
q1) (0,S x,R q0) (b,S x,R q1) nicht zu
Akzept! Sinnvoll - führt zu Akzept
161
D. h. es genügt bei einer NDTM die Möglichkeit,
bei richtiger Wahl eine Sprache akzeptieren zu
können! Definition Die Zeitkomplexität einer
NDTM M ist T (n), wenn für jeden akzeptierten
Input-String der Länge n eine Folge von Zügen,
die zur Annahme in höchstens T (n) Zügen
führt, existiert! Die Speicherkomplexität
einer NDTM ist S (n), wenn es eine Zugfolge
gibt, so dass nach höchstens S (n)
unterschiedlichen Inputlesungen auf
verschiedenen Feldern am Band das Eingabewort
akzeptiert werden kann.
162
Die Problemklassen P und NP Definition a) Wir
bezeichnen die Menge aller Probleme (Sprachen),
die von einer det.TM in polynomialer Zeit
gelöst (akzeptiert) werden können, als Probleme
in P. b) Wir bezeichnen die Menge aller Probleme
(Sprachen), die nur von einer nicht-deterministis
chen TM in polynomialer Zeit gelöst
(akzeptiert) werden können als Problem in NP.
163
Satz Eine nicht-deterministische TM lässt sich
von einer DTM in 0DTM(cT(n)) simulieren, wenn
die Zeitkomplexität auf den NDTM T(n) war
(milde Beschränkungen sind erforderlich). Satz Ei
ne nicht-deterministische TM lässt sich von einer
DTM in der Speicherkomplexität 0DTM(S(n2)
simulieren, wenn S (n) die Speicherkomplexiät
auf der NDTM war (milde Beschränkungen ähnlich
zu oben!).
164
Korollar A) Algorithmen, die von NDTM in
polynomialer Zeit T(n) ausgeführt werden
können, können von DTM in der Zeit 0(cT(n)) -
also in exponentieller Zeit - ausgeführt
werden. B) Der Speicherbedarf S (n) bleibt bei
der Simulation im polynomialen Bereich, wenn
er zuvor polynomial war. Definition Ist ein
Problem p ? NP und können Probleme pi (i 1,
2, ...) derart umgeformt werden, dass die
Probleme pi nach Umformung mit dem
Lösungsalgorithmus von p gelöst werden
können, so heißen p, pi(i 1, 2, ....)
NP- vollständig! Bemerkung Es gibt Probleme
in NP die nicht NP-vollständig sind!
165
Problemklassen I) Nur Zeitkomplexität Beweisbar
unlösbare Probleme Halteprobleme von
TM Beweisbar NP-schwere Probleme Ja-nein-Problem
e, NP-vollständige deren Komplementärprobleme
Probleme in NP sind!! NP co
NP Problem der zusammen- gesetzten Zahlen P
166
II) Zeit- und Speicherkomplexität Nicht-endlich
er Speicher Nicht-Polynomiale Speicherkomplexität
Polynomiale Speicherkomplexität NP-Zeit P-Zeit
167

• Probleme in P
• Matrixmultiplikation
• 0 (n2.71) - 0 (n3) mult.
• Sortierprobleme (0 (nlogn) - 0 (n3))
• Auffinden des nächsten Paares (0 (n2) - 0 (n))
• Minimal Spannender Baum (Minimalgerüst)
• Eulerscher Graph (0 (cn) - 0 (n))

168

• Probleme in NP
• NP-vollständige Probleme
• Dynamische Programmierung
• Ganzzahlige Programmierung
• Travelling-Salesman-Probleme
• Cluster-Probleme
• Hamiltonscher Kreis
• Einige Scheduling-Algorithmen
• Knapsack-Problem
• Quadratisches Zuordnungsproblem
• SET-Covering-Problem
• Probleme in NP und nicht NP-vollständig
• Das Problem, ob eine Zahl p eine Primzahl ist.

169
1012 1011 1010 109 108 107 106 105 104
103 102 101 100
nn ni 2n n3 n2 n 1 n2 n
1 n 1 n
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11
170
Approximative Algorithmen I Problemdaten Op
t (I) Optimallösungswert A (I) Wert der
Zielfunktion bei approximativer
Lösung 1) Approximation der Optimallösung durch
Approximation im Zielfunktionswert
Opt (I) - A (I) Maximierungsproblem minimiere
( s) Opt (I) (Minimierungsproblem
analog!) Es ist also Konvergenz im
Zielfunktionswert erwünscht, d.h. lim s
? 0 T (n) S (n)
171
2) Approximation der Optimallösung durch
Auffinden der optimalen Lösung mit einer
gewissen Wahrscheinlichkeit Maximiere W (A (I)
opt (I)) Es ist also Konvergenz in der
Wahrscheinlichkeit erwünscht, d.h. lim W (A
(I) opt (I)) ? 1 T (n) S (n) 3)
Mischform aus 1) und 2) Maximiere W (s ? 0)
für jeden Wert des Paares (T (n), S (n))
T (n) S (n)
172
Approximative Algorithmen vom 1.
Typ A) s-approximative Verfahren opt (I) -
A (I) Offenbar gilt 0 lt ( s) lt 1.
opt (I) Definition Unter einem
s-approximativen Verfahren versteht man ein
Verfahren mit der Eigenschaft, dass für jeden
Input I des Problems gilt opt (I) - A
(I) lt s opt (I) Definition Eine
Schranke heißt eng, wenn zu jedem e gt 0 ein I
derart existiert, dass opt (I) - A (I)
e gt s opt (I)
173
Beispiel Rucksackproblem n Maximiere
z S ci xi unter der
Nebenbedingung i 1 n S ai
xi lt b (xi gt 0 und ganzzahlig) i
1 Es gelte b, ai, ci gt 0 und ai lt b.
174
Heuristischer Algorithmus A Es gelte c1/ a1 gt
c2/ a2 gt . . . gt cn/ an V A ALG X (N, B
Globale Var.) 1 I ? S ? 0 2 LOOP I ? I
1 3 X I ? L (B - S) A I 4 S ? S A I
? X I 5 ? (I lt N) / LOOP V Bemerkung Man
packt jene Objekte in größtmöglicher Anzahl in
den Rucksack, deren Wert je Gewichtseinheit
maximal ist (Anzahl des i-ten Objekts
x) Rucksack Wert L1 L2 L3
Ln Objekte O O O . . . . . O Gew. a1
a2 a3 an
175
Satz der Algorithmus ALG ist ein ½-
approximatives Verfahren. Begründung
b Offenbar gilt opt (I) lt c1
a1 b c1 lt A (I)
a1 b b
b - a1 opt (I) - A (I) A
(I) a1