Ejercicio Mason

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Ejercicio Mason
Departamento de Control, División de Ingeniería
EléctricaFacultad de Ingeniería UNAM
México D.F. a 28 de Agosto de 2006
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Diagrama de flujo de señales
Es un diagrama que representa un conjunto de
ecuaciones dinámicas simultaneas. Es una red en
la que nodos están conectado mediante ramas, cada
nodo representa una variable y cada rama una
ganancia. La ventaja del diagrama de flujo de
señales de Mason es la disponibilidad de una
fórmula que proporciona la relación entre
variables del sistema sin requerir ningún
procedimiento de reducción.
Definiciones
Nodo. Es un punto que representa una variable o
señal. Rama. Un segmento lineal dirigido entre
dos nodos. Transmitancia. Es la ganancia de un
rama. Nodo de entrada (fuente). Es un nodo que
solo tiene una rama saliente. Nodo salida
(sumidero). Es un nodo que solo posee ramas
entrantes. Nodo mixto. Es un nodo que tiene ramas
tanto entrantes como salientes. Camino. Es un
recorrido de ramas conectadas en la dirección de
la flechas de las ramas. Si no atraviesa ningún
nodo más de una vez el camino es abierto. Si el
camino termina en el mismo nodo desde el que
comenzó y no atraviesa ningún otro nodo más de un
vez, es camino cerrado o lazo.
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Diagrama de flujo de señales
Definiciones
Lazos que no se tocan. Son lazos que no poseen
ningún nodo en común. Camino directo. Es un
camino desde un nodo de entrada hasta un nodo de
Salida que no atraviesa ningún nodo más de una
vez.
Nodo de entrada (fuente)
Nodos mixtos
Camino directo
Camino directo
Nodo de salida (sumidero)
Nodo de entrada (fuente)
Lazo
Figura 3. Diagrama de flujo de señal.
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Diagrama de flujo de señales
Fórmula de ganancia de Mason
donde
es la ganancia global.
es la ganancia del k-ésimo camino directo.
es el determinante del diagrama
1- (suma de todas las ganancias de lazos
individuales)(suma de los productos de las
ganancias de todas las posibles combinaciones de
dos lazos que no se tocan)-(suma de los
productos de ganancias de todas las posibles
combinaciones de tres lazos que no se tocan)...
Es el cofactor del k-ésimo camino directo. Se
obtiene a partir de
Eliminando los lazos que tocan el camino
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Diagrama de flujo de señales
Ejemplo Obtener la función de transferencia en
lazo cerrado utilizando la fórmula de ganancia
de Mason .
-



-

Solución
La ganancia del camino directo es
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Diagrama de flujo de señales
Los lazos individuales son tres
El determinante es
por lo tanto
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Desarrollo en fracciones parciales
Se utilizan fracciones parciales para
descomponer alguna función
complicada en fracciones más simples con
transformadas inversa más sencillas
Considere una función
(F1)
donde
son cantidades reales o complejas. Si
tiene solo polos distintos, puede expandirse en
una suma de fracciones simples
(F2)
son constantes. Cada elemento
se
donde
llama residuo del polo
. El valor de cada
se obtiene multiplicando
ambos lados de la ecuación (F2) por
y evaluar para
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Desarrollo en fracciones parciales
la transformada inversa de cada
Una vez obtenido cada elemento
fracción, se obtiene de
y la función en el tiempo queda
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Desarrollo en fracciones parciales
Ejemplo 1 Hallar la transformada inversa de
Laplace de
Solución
donde
se obtienen de la siguiente manera
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Diagrama de flujo de señales
Ejemplo 2 Obtener la función de transferencia en
lazo cerrado utilizando la fórmula de ganancia
de Mason .
Figura 1. Diagrama de flujo de señal del ejemplo
2.
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Diagrama de flujo de señales
Caminos directos
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Diagrama de flujo de señales
Caminos directos
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Diagrama de flujo de señales
Lazos
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Diagrama de flujo de señales
Lazos
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Diagrama de flujo de señales
Combinaciones de 2 Lazos que no se tocan
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Diagrama de flujo de señales
Combinaciones de 3 Lazos que no se tocan
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Diagrama de flujo de señales
Resumen de ecuaciones