Polynome und die FFT

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Polynome und die FFT

• Sören Tönis
• Seminar Ergänzungen zu DAP2

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• Polynome
• Addition
• Multiplikation
• Alternative Darstellungsformen
• Koeffizientendarstellung
• Point-Value-Darstellung
• Komplexe Einheitswurzeln
• Diskrete Fouriertransformation
• Schnelle Fouriertransformation

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Polynome

• Polynome vom Grad n-1 und Länge n

z.B.
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Addition von Polynomen
wobei
mit
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Addition von Polynomen
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Addition von Polynomen

• Polynom hat Grad des höheren der beiden addierten
  Polynome
• Bei Polynomen vom Grad n-1 sind n Additionen
  notwendig

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Multiplikation von Polynomen
wobei
mit
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Multiplikation von Polynomen
9
Multiplikation von Polynomen

• Grad (C) Grad (A) Grad (B)

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Darstellungsweise von Polynomen

• Koeffizientendarstellung
• Point-Value-Darstellung

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Koeffizientendarstellung

• Koeffizientendarstellung von Polynom mit Grad
• n-1 durch Vektor
• Auswertung erfolgt nach Horn-Schema über den
  gewählten Punkt

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Koeffizientendarstellung

• Addition erfolgt wie bei den Polynomen

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Koeffizientendarstellung

• Addition hat den Zeitaufwand von Q(n), wie auch
  die normale Addition von zwei Polynomen. Genau so
  Multiplikation möglich, mit Zeitaufwand Q( ).
  Wir multiplizieren einfach jeden Koeffizienten in
  Vektor a mit jedem Koeffizienten in Vektor b.

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Point-Value-Darstellung

• Die Punkt-Wert Darstellung eines Polynoms des
  Grades n-1 besteht aus n Paaren

Wobei alle verschieden sind und
für
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Point-Value-Darstellung

• Polynom hat viele verschiedene Point-Value
  Darstellungen da n verschieden x als Basis der
  Abbildung genutzt werden können.
• Wir können beliebige
  auswählen.

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Point-Value-Darstellung

• Aufwand für diese Auswertung/Entwicklung (ab
• jetzt nur der Begriff Evaluation) Q( ) nach
• Horn-Schema.
• Ziel Q( ) ist kein Vorteil, wir wollen die
  Evaluation möglichst in linearer Zeit abwickeln.
• Weg Kluge wählen.

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Begriffsklärung

• Evaluation
• Umwandlung von Koeffizientendarstellung
• in Point-Value-Darstellung
• Interpolation
• Umwandlung von Point-Value-Dartellung
• in Koeffizientendarstellung

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Vorschau

• Wir brauchen für Multiplikation von Polynomen
• nach Standard-Rechnung Q( ), es gilt zu
  zeigen, daß wir durch Umformungen eine
  Aufwandsersparnis erzielen.

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Addition in Point-Value-Darst.
Voraussetzung A und B wurden an den gleichen
Punkten evaluiert
A B C
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Multiplikation in Point-Value-Darst.
Voraussetzung A und B wurden an den gleichen
Punkten evaluiert
A B C
Problem ! Grad C Grad A Grad B
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Vorschau

• Problematik
• A,B Polynome vom Grad n-1 und C
• Polynom von Grad 2n-2, für punktweise
• Multiplikation müssen wir bei der Evaluation
• unsere Spaltenvektoren auffüllen !

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Multiplikation in Point-Value-Darst.

• Lösung Extended Point-Value-Darstellung von
• A und B !

A B C
Bemerkung 2n-1 wegen Gradgrenze 2n
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Einschub

• Literatur spricht von degree bound
  Gradschranke!
• Polynom der Länge n hat Grad n-1 und
  Gradschranke n, Polynom der Länge 2n-1 hat den
  Grad 2n-2 und Gradschranke 2n-1 und somit auch
  Gradschranke 2n.

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Vorschau

• 1. Verdoppeln der Gradschranke.
• Erstellen einer Koeffizientendarstellung von
  A(x) und B(x), durch hinzufügen von höherwertigen
  0-Koeffizienten.
• 2. Evaluation
• Berechnen der Point-Value-Darstellung von A(x)
  und B(x), durch Anwenden der FFT.

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Vorschau

• 3. Punktweises Multiplizieren
• Berechnen von C(x)A(x)B(x) punktweises
  Multiplizieren der Werte
• 4. Interpolation
• Erstellen der Koeffizientendarstellung zum
  Polynom C(x).

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Vorschau
Standard-Multiplikation Zeitaufwand
Koeffizienten- darstellung
Evaluation Zeitaufwand
Interpolation Zeitaufwand
Point-Value- Darstellung
punktweise Multiplikation Zeitaufwand
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Komplexe Einheitswurzeln

• Eine Komplexe n-te Einheitswurzel ist eine
  komplexe Zahl mit
• heißt primitive n-te Einheitswurzel, wenn

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Eigenschaften der Einheitswurzel

• Es gibt n verschiedene n-te Einheitswurzeln,
  diese sind darstellbar als die Potenzen einer
  primitiven n-ten Einheitswurzel

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Eigenschaften der Einheitswurzel

• Jede ganzzahlige Potenz einer n-ten
  Einheitswurzel ist wieder n-te Einheitswurzel,
  denn
• Dies gilt auch für negative k.

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Eigenschaften der Einheitswurzel

• Ist n gerade, so gilt für jede primitive n-te
  Einheitswurzel , denn
• ,d.h.
  ist 2-te Einheitswurzel, also 1 oder -1.
• Da aber  ist, da primitiv ist,
• gilt .

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Eigenschaften der Einheitswurzel

• Das Quadrat einer primitiven n-ten Einheitswurzel
  (n gerade) ist primitive n/2-te Einheitswurzel,
• denn 1.
• 2. Angenommen, sie sei nicht primitiv, dann
• Dann ist aber ein
• Widerspruch dazu, daß primitiv ist.

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Eigenschaften der Einheitswurzel

• Ist primitive n-te Einheitswurzel, so ist
  ebenfalls primitive n-te Einheitswurzel, denn
• 1.
• 2. Angenommen, sei nicht primitiv, dann
• Dann ist aber
• ein Widerspruch dazu, dass primitiv ist.

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Eigenschaften der Einheitswurzel

• Die n komplexen n-ten Einheitswurzeln
• bilden mit der Multiplikation zusammen eine
  Gruppe mit der gleichen Struktur wie die
• additive Gruppe

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Komplexe Einheitswurzeln

• Lemma (Cancellation Lemma)
• Für jede ganze Zahl

gilt
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Komplexe Einheitswurzeln

• Korollar
• Für jede ganze Zahl

gilt
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Komplexe Einheitswurzeln

• Lemma (Halving Lemma)
• ngt0 ist gerade, dann sind die Quadrate der
• n komplexen n-ten Einheitswurzeln die
• n/2 komplexen (n/2)ten Einheitswurzeln.

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Komplexe Einheitswurzeln

• Lemma (Summation Lemma)
• Für jede ganze Zahl und nicht negative
  ganze Zahl k, nicht durch n teilbar,

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Diskrete Fouriertransformation
Polynom
an
Wir definieren
für
Der Einfachheit halber betrachten wir wieder nur
n anstatt 2n.
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Diskrete Fouriertransformation

• Der Vektor y heißt diskrete Fouriertransformation
  des
• Vektors a, oder

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Schnelle Fouriertransformation

• FFT nutzt Divide Conquer Strategie
• FFT bildet aus zwei Polynome

der Länge n/2.
Das erste Polynom enthält die Koeffizienten mit
geradem Index, das zweite die mit ungeradem
Index. Daraus folgt
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Schnelle Fouriertransformation
Anstelle der Evaluation des gesamten Polynoms,
müssen wir nur noch unsere beiden Teilpolynome
über evaluieren und
die Ergenis dann nach obiger Gleichung
kombinieren. Die Zerlegung in Polynome der Länge
n/2, lässt uns zwar die Gleiche Rechnung, aber
die Größe halbiert sich.
Für unseren Algorithmus ist oBdA n eine Potenz
von 2
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Rekursive FFT

• 1 n ? length a
  n ist Potenz von 2
• if n1
• then return a
• for k ? 0 to n/2-1
• do
• return y
  y soll ein Spaltenvektor sein

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Interpolation
Für n Point-Value Paare
existiert ein eindeutiges Polynom
der Länge n,
so daß
für
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Interpolation

• Dazu betrachten wir die Matrizengleichung nach
  Folie 14

Vandermonde-Matrix, invertierbar falls alle x
verschieden
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Interpolation
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Interpolation
Mit der Inversen der Vandermonde-Matrix erhalten
wir
Vergleich mit Folie 38 Tausch im Algorithmus von
a und y und
mit , nur noch Division von jedem
Element durch n.
Es folgt Interpolation hat gleiche Laufzeit wie
Evaluation !
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Ergebnis

• a,b Vektoren der Länge n, n Potenz von 2

a,b durch 0 zu Länge 2n aufgefüllt
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Laufzeit FFT

• Laufzeit T(n)2T(n/2)Q(n)Q(nlg n)

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Zur VeranschaulichungParallele FFT
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Literatur

• Cormen, Leiserson, Rivest Introduction to
  algorithm
• H.W. Lang Algorithmen in Java