1
Árvores de Busca
2
Árvores de Busca

• Uma árvore que suporta eficientes operações de
  busca, inclusão e exclusão é chamada de árvore de
  busca. A árvore é usada para armazenar um
  conjunto finito de chaves obtidas de um conjunto
  totalmente ordenado de chaves K. Cada nó da
  árvore contém um ou mais chaves e todas as chaves
  na árvore são únicas, sem duplicação.
• A diferença entre uma árvore comum e uma árvore
  de busca é que, nesta última, as chaves não
  aparecem em nós arbitrários. Existe um critério
  de ordenação de dados que determina aonde cada
  chave pode figurar na árvore em relação às
  demais.
• Serão apresentadas as árvores de busca
• de M caminhos (M-Way)
• binárias.

3
Binary Search Tree (BST)

• Definição (Árvore de busca M-way)
• Uma árvore de busca M-way  T é um conjunto finito
  de chaves. Ou o conjunto é vazio, T ? ou o
  conjunto é constituído de n sub árvores M-way T1
  , T2 ,..., Tn-1,
• e n-1 chaves, k1 , k2 ,..., kn-1,
• T T0,k1, T1, k2, ..., kn-1, Tn-1
• aonde 2 ? n ? M, tal que as chaves e
  os nós satisfaçam às seguintes propriedades de
  ordenação de dados
• As chaves em cada nó são distintas e ordenadas,
  i.e., kiltki1
• para 1 ? i ? n-1
• Todas as chaves contidas na sub árvore Ti-1 são
  menores do que ki. A árvore Ti-1 é chamada sub
  árvore da esquerda com respeito à chave ki.
• Todas as chaves contidas na sub árvore Ti são
  maiores do que ki. A árvore Ti1 é chamada sub
  árvore da direita com respeito à chave ki.

4
Exemplo de árvore de busca M-Way
5
Binary Search Tree (BST)

• Definição (Árvore Binária de Busca) 
• A Árvore Binária de Busca    T é um conjunto
  finito de chaves. Ou o conjunto é vazio, T ?
  ou o conjunto consiste da raiz r e exatamente
  duas Árvores Binárias de Busca TL e TR ,
  Tr,TL,TR, tais que as seguintes propriedades
  sejam satisfeitas
• Todas as chaves contidas na sub árvore da
  esquerda, TL, são menores do que r.
• Todas as chaves contidas na sub árvore da
  direita, TR , são maiores do que r.

6
Exemplo de árvore binária de busca
7
Busca em Árvores de Busca M-Way

• Busca do objeto x inicia na raiz
• Se a raiz estiver vazia a busca falha
• As chaves contidas na raiz são examinadas para
  verificar se o objeto buscado está presente
• Se o objeto não estiver presente três casos podem
  ocorrer
• Objeto buscado é menor do que k1
• a busca prossegue em T0
• Objeto buscado é maior do que kn-1
• a busca prossegue em Tn-1
• Existe um i tal que ki lt x lt ki1
• a busca prossegue em Ti

8
Busca em Árvores Binárias de Busca

• Semelhante à busca em árvores de busca M-Way
• Apenas cada nó só possui um objeto e duas sub
  árvores

9
Árvore Binária Perfeita

• Definição (Árvore Binária Perfeita)
• A Árvore Binária Perfeita de altura h? 0 é um
  árvore binária Tr,TL,TR com as propriedades
• Se h0, então TL ? e TR ? .
• Caso contrário, hgt0, caso no qual ambos TL e TR
  são Árvores Binárias Perfeitas de altura h -1.

10
Implementação Java
11
Implementação de Árvores de Busca
12
Interface SearchTree

• // pgm10_01.java
• public interface SearchTree
• extends Tree, SearchableContainer
• Comparable findMin ()
• Comparable findMax ()

13
Classe BinarySearchTree

• // pgm10_02.java
• public class BinarySearchTree
• extends BinaryTree
• implements SearchTree
• // ...

14
Classe Association

• public class Association
• extends AbstractObject
• protected Comparable key
• protected Object value
• // ...
• // só aparece por causa de getKey

15
Métodos da Classe Association

• public class Association
• extends AbstractObject
• protected Comparable key
• protected Object value
• public Association (Comparable key, Object
  value)
• this.key key
• this.value value
• public Association (Comparable key)
• this (key, null)
• public Comparable getKey ()
• return key
• public Object getValue ()
• return value
• // ...

16
Métodos da Classe BinarySearchTree

• getLeftBST
• getRightBST
• find
• findMin
• insert
• attachKey
• balance
• withdraw

17
Métodos getLeftBST e getRightBST

• // pgm10_03.java
• public class BinarySearchTree
• extends BinaryTree
• implements SearchTree
• private BinarySearchTree getLeftBST()
• return (BinarySearchTree) getLeft()
• private BinarySearchTree getRightBST()
• return (BinarySearchTree) getRight()
• // ...

18
Método find

• // pgm10_04.java
• public class BinarySearchTree
• extends BinaryTree
• implements SearchTree
• public Comparable find (Comparable object)
• if(isEmpty())
• return null
• int diff object.compare((Comparable)
  getKey())
• if(diff 0)
• return (Comparable) getKey()
• else
• if(diff lt 0)
• return getLeftBST().find(object)
• else
• return getRightBST().find(object)

19
Método findMin

• public Comparable findMin ()
• if(isEmpty())
• return null
• else
• if(getLeftBST().isEmpty())
• return (Comparable) getKey()
• else
• return getLeftBST().findMin()
• // ...

20
Inserção de itens em BST

• A inclusão de nós em árvores de busca deve ser
  precedida de uma operação de busca. Esta operação
  indica se o nó buscado já existe na árvore e, em
  caso de não existência, o local aonde deve ser
  feita a inclusão. Convém lembrar que uma busca
  sempre termina em folha e os nós a incluir serão
  incluídos como filhos da folha aonde se encerrou
  a busca.

21
Método insert (1)

• // pgm10_05.java
• public class BinarySearchTree
• extends BinaryTree
• implements SearchTree
• public void insert (Comparable object)
• if(isEmpty())
• attachKey (object)

22
Método insert (2)

• else
• int diff object.compare((Comparable)
  getKey())
• if(diff 0)
• throw new IllegalArgumentException(
• chave duplicada")
• if(diff lt 0)
• getLeftBST().insert(object)
• else
• getRightBST().insert(object)
• balance()

23
Métodos attachKey e balance

• public void attachKey (Object object)
• if(!isEmpty())
• throw new InvalidOperationException()
• key object
• left new BinarySearchTree()
• right new BinarySearchTree()
• protected void balance()

24
Remoção de itens em BST

• A exclusão de nós em árvores de busca pode
  configurar um de 3 casos.
• Se o nó não tiver filhos pode ser excluído sem
  exigir ajustamento da árvore.
• Se o nó a excluir tiver apenas uma sub árvore,
  este nó pode ser excluído e deve ser substituído
  por seu filho único.
• Se o nó a excluir tiver mais de um filho, para
  que ele possa ser excluído, deve ser substituído
  por seu antecessor ou seu sucessor em ordem
  infixa. O nó substituto deve ser excluído da sua
  posição gerando outro processo de exclusão.
• Considerando o caso do sucessor em ordem infixa,
  o nó a ser excluído deve ser substituído pelo nó
  obtido alcançando-se o nó mais à esquerda da sub
  árvore direita do nó a excluir.

25
Remoção de itens em BST

• Remoção do nó (4) folha em BST
• Remoção do nó (1) não folha em BST

26
Método withdraw (1)

• // pgm10_06.java
• public class BinarySearchTree
• extends BinaryTree
• implements SearchTree
• public void withdraw (Comparable object)
• if(isEmpty())
• throw new IllegalArgumentException(
• "objeto não encontrado")
• int diff object.compare ((Comparable)
  getKey())
• if(diff 0)
• if(!getLeftBST().isEmpty())
• Comparable max getLeftBST().findMax()
• key max
• getLeftBST().withdraw(max)

27
Método withdraw (2)

• else
• if(!getRightBST().isEmpty())
• Comparable min getRightBST().findMin()
• key min
• getRightBST().withdraw(min)
• else
• detachKey()
• else
• if(diff lt 0)
• getLeftBST().withdraw(object)
• else
• getRightBST().withdraw(object)
• balance()
• // ...

28
Árvores de Busca AVL
29
Conceito de AVL

• Adelson-Velskii e Landis propuseram as condições
  de balanceamento para uma árvore binária que
  recebeu como sigla suas iniciais.
• Definição (Condição de equilíbrio AVL)  Uma
  árvore binária vazia é AVL balanceada  . Uma
  árvore binária não-vazia, Tr,TL,TR , é AVL
  balanceada se tanto TL quanto TR forem AVL
  balanceadas e hL-hRlt1
• aonde hL é a altura of TL e hR é a altura of TR .

30
Implementação de árvores AVL
31
Classe AVLTree

• // pgm10_07.java
• public class AVLTree
• extends BinarySearchTree
• protected int Height
• // ...

32
Construtor

• // pgm10_08.java
• public class AVLTree
• extends BinarySearchTree
• protected int Height
• public AVLTree()
• Height -1
• // ...

33
Métodos getHeight, adjustHeight e getBalanceFactor

• public int getHeight ()
• return Height
• protected void adjustHeight()
• if(isEmpty())
• Height -1
• else
• Height 1 Math.max(left.getHeight(),
• right.getHeight())
• protected int getBalanceFactor()
• if(isEmpty())
• return 0
• else
• return left.getHeight() -
  right.getHeight()

34
Inserção de itens em Árvores AVL

• 1o. Passo Inserir o item
• 2o. Passo Balancear a árvore

35
Balanceamento de Árvores AVL

• O balanceamento de árvores AVL é feito por
  operações chamadas de rotações, que podem ser
• Rotações simples (LL e RR)
• Rotações duplas (LR e RL)

36
Rotações simples

• A rotação LL ocorre quando um nó (B) tem a sub
  árvore da esquerda maior do que a da direita e
  seu filho da esquerda (A) tem sub árvore da
  esquerda maior do que a da direita
• A rotação RR ocorre quando um nó (B) tem a sub
  árvore da direita maior do que a da esquerda e
  seu filho da direita (A) tem sub árvore da
  direita maior do que a da esquerda

37
Rotações duplas

• A rotação LR ocorre quando um nó (C) tem a sub
  árvore da esquerda maior do que a da direita e
  seu filho da esquerda (A) tem sub árvore da
  direita maior do que a da esquerda. Aplica-se uma
  rotação RR a A seguida de uma rotação LL aplicada
  a C.
• A rotação RL ocorre quando um nó (C) tem a sub
  árvore da direita maior do que a da esquerda e
  seu filho da direita (A) tem sub árvore da
  esquerda maior do que a da direita. Aplica-se uma
  rotação LL a A seguida de uma rotação RR aplicada
  a C.

38
Rotação Simples LL
39
Propriedades das rotações simples

• Existem três propriedades importantes da rotação
  LL
• A rotação não destrói a propriedade de ordenação
  de dados e, portanto, o resultado ainda é uma
  árvore de busca. A sub árvore AL permanece entre
  os nós A e B, e a sub árvore BR fica à direita
  do nó B.
• Após a rotação tanto A quanto B são AVL
  balanceadas. Os nós A e B ficam com fator de
  balanceamento igual a zero.
• Após a rotação a árvore permanece com a altura
  original. A inclusão do item não aumenta a
  altura da árvore.

40
Rotações Duplas
41
Balanceamento de árvores AVL

• Os desbalanceamentos e as rotações de equilíbrio
  correspondentes podem ser enquadrados em seis
  categorias, ou casos, adiante descritos. O
  ancestral mais novo, desbalanceado, do novo nó
  inserido é ya. Seu filho na direção do
  desbalanceamento é s. Os sufixos l e r
  representam filho mais velho e filho mais novo,
  respectivamente

42
Categorias de rotações

• 1o caso O novo nó é incluído na sub árvore
  esquerda da sub árvore esquerda do nó ya. Este
  caso tem solução chamada de rightrotation ou
  rotação LL
• 2o caso O novo nó é incluído na sub árvore
  direita da sub árvore direita do nó ya. Este caso
  tem solução chamada de leftrotation ou rotação RR
• 3 o caso O novo é incluído na sub árvore
  esquerda da sub árvore direita do filho mais
  velho de ya (rotação LR)
• 4 o caso O novo nó é incluído na sub árvore
  direita da sub árvore direita do filho mais velho
  de ya (LR)
• 5 o caso O novo nó é incluído na sub árvore
  direita da sub árvore esquerda do filho mais novo
  de ya (RL)
• 6 o caso O novo nó incluído na sub árvore
  esquerda da sub árvore esquerda do filho mais
  novo de ya (RL)

43
Rotação LL
44
Rotação LL
45
Rotação RR
46
Rotação RR
47
Rotação LR
48
Rotação LR
49
Rotações LR e RL
50
Rotação LR
51
Rotação RL
52
Classe AVLTree

• public class AVLTree
• extends BinarySearchTree
• protected int Height
• // ...

53
Métodos height, getHeight e getBalanceFactor (1)

• public class AVLTree
• extends BinarySearchTree
• protected int height
• public AVLTree()
• height -1
• public int getHeight()
• return height
• protected void adjustHeight()
• if(isEmpty())
• height -1
• else
• height 1 Math.max (left.getHeight(),
• right.getHeight())

54
Métodos height, getHeight e getBalanceFactor (2)

• protected int getBalanceFactor()
• if(isEmpty())
• return 0
• else
• return left.getHeight() -
  right.getHeight()
• // ...

55
Método doLLRotation (1)

• // pgm10_09.java
• public class AVLTree
• extends BinarySearchTree
• protected int Height
• protected void doLLRotation()
• if(isEmpty())
• throw new InvalidOperationException()
• BinaryTree tmp right
• right left
• left right.left
• right.left right.right
• right.right tmp

56
Método doLLRotation (2)

• Object tmpObj key
• key right.key
• right.key tmpObj
• getRightAVL().adjustHeight()
• adjustHeight()
• // ...

57
Método doRRRotation (1)

• public class AVLTree
• extends BinarySearchTree
• protected int Height
• protected void doRRRotation()
• if(isEmpty())
• throw new InvalidOperationException()
• BinaryTree tmp left
• left right
• right left.right
• left.right left.left
• left.left tmp

58
Método doRRRotation (2)

• Object tmpObj key
• key left.key
• left.key tmpObj
• getLeftAVL().adjustHeight()
• adjustHeight()
• // ...

59
Método doLRRotation

• // pgm10_10.java
• public class AVLTree
• extends BinarySearchTree
• protected int Height
• protected void doLRRotation()
• if(isEmpty())
• throw new InvalidOperationException()
• getLeftAVL().doRRRotation()
• doLLRotation()
• // ...

60
Método doRLRotation

• public class AVLTree
• extends BinarySearchTree
• protected int Height
• protected void doRLRotation()
• if(isEmpty())
• throw new InvalidOperationException()
• getRightAVL().doLLRotation()
• doRRRotation()
• // ...

61
Método balance (1)

• // pgm10_11.java
• public class AVLTree
• extends BinarySearchTree
• protected int Height
• protected void balance()
• adjustHeight()
• if(getBalanceFactor() gt 1)
• if(getLeftAVL().getBalanceFactor() gt 0)
• doLLRotation()
• else
• doLRRotation()

62
Método balance (2)

• else
• if(getBalanceFactor() lt -1)
• if(getRightAVL().getBalanceFactor() lt
  0)
• doRRRotation()
• else
• doRLRotation()
• // ...

63
Método attachKey

• // pgm10_12.java
• public class AVLTree
• extends BinarySearchTree
• protected int Height
• public void attachKey(Object object)
• if(!isEmpty())
• throw new InvalidOperationException()
• key object
• left new AVLTree()
• right new AVLTree()
• Height 0
• // ...

64
Remoção de itens de Árvores AVL
65
Método detachKey

• // pgm10_13.java
• public class AVLTree
• extends BinarySearchTree
• protected int Height
• public Object detachKey()
• Height -1
• return super.detachKey()
• // ...

66
Árvores de Busca de Múltiplos caminhos
67
Implementação
68
Classe MwayTree Métodos construtor e getM

• // pgm10_14.java
• public class MWayTree
• extends AbstractTree
• implements SearchTree
• protected Comparable key
• protected MWayTree subtree
• public MWayTree(int m)
• if(m lt 2)
• throw new IllegalArgumentException(grau
  inválido")
• key new Comparablem
• subtree new MWayTreem
• int getM()
• return subtree.length
• // ...

69
Travessia em ordem infixa de árvores binárias de
busca

• Travessias infixas de árvores binárias são da
  forma
• Percorrer a sub árvore da esquerda
• Visitar a raiz
• Percorre a sub árvore da direita
• Isto corresponde a, em uma travessia infixa de
  uma árvore binária de busca, visitar a todos os
  registros armazenados na árvore em ordem

70
Travessia em ordem infixa

• Travessias infixas não são definidas para árvores
  N-arias
• Em árvores de busca M-Way a travessia infixa é
  definida como a visita a todos os registros
  armazenados na árvore em ordem

71
Travessia de um nó de uma árvore de busca M-Way

• Percorrer a sub árvore T0
• Visitar o objeto k1
• Percorrer a sub árvore T1
• Visitar o objeto k2
• Percorrer a sub árvore T2
• .
• .
• .
• Visitar o objeto kn-1
• Percorrer a sub árvore Tn-1

72
Método depthFirstTraversal (1)

• // pgm10_15.java
• public class MWayTree
• extends AbstractTree
• implements SearchTree
• protected Comparable key
• protected MWayTree subtree
• public void depthFirstTraversal
  (PrePostVisitor visitor)
• if(!isEmpty())
• for(int i 0 i lt count 1 i)

73
Método depthFirstTraversal (2)

• if(i gt 2)
• visitor.postVisit(keyi - 1)
• if(i gt 1 i lt count)
• visitor.inVisit(keyi)
• if(i lt count - 1)
• visitor.preVisit(keyi 1)
• if(i lt count)
• subtreei.depthFirstTraversal(visitor)
  

74
Busca linear de itens em Árvores M-Way
75
Método find (1)

• // pgm10_16.java
• public class MWayTree
• extends AbstractTree
• implements SearchTree
• protected Comparable key
• protected MWayTree subtree
• public Comparable find(Comparable object)
• if(isEmpty())
• return null
• int i

76
Método find (2)

• for(i count i gt 0 --i)
• int diff object.compare(keyi)
• if(diff 0)
• return keyi
• if(diff gt 0)
• break
• return subtreei.find(object)
• // ...

77
Inclusão de itens
78
Método insert (1)

• // pgm10_18.java
• public void insert (Comparable object)
• if(isEmpty())
• subtree0 new MWayTree(getM())
• key1 object
• subtree1 new MWayTree(getM())
• count 1
• else
• int index findIndex(object)
• if(index ! 0 object.isEQ(keyindex))
  
• throw new IllegalArgumentException
• (chave duplicada")

79
Método insert (2)

• if(!isFull())
• for(int i count i gt index --i)
• keyi 1 keyi
• subtreei 1 subtreei
• keyindex 1 object
• subtreeindex 1 new MWayTree(getM())
• count
• else
• subtreeindex.insert(object)

80
Remoção de itens
81
Método withdraw (1)

• public void withdraw (Comparable object)
• if(isEmpty())
• throw new IllegalArgumentException
• ("objeto não
  encontrado")
• int index findIndex(object)
• if(index ! 0 object.isEQ(keyindex))
• if(!subtreeindex - 1.isEmpty())
• Comparable max subtreeindex -
  1.findMax()
• keyindex max
• subtreeindex - 1.withdraw(max)
• else

82
Método withdraw (2)

• if(!subtreeindex.isEmpty())
• Comparable min subtreeindex.findMin()
  
• keyindex min
• subtreeindex.withdraw(min)
• else
• --count
• int i
• for(i index i lt count i)
• keyi keyi 1
• subtreei subtreei 1

83
Método withdraw (3)

• keyi null
• subtreei null
• if(count 0)
• subtree0 null
• else
• subtreeindex.withdraw(object)

84
Implementação C
85
Implementação de Árvores de Busca
86
Definição da Classe SearchTree

• // pgm10_01.cpp
• class SearchTree
• public virtual Tree, public virtual
  SearchableContainer
• public
• virtual Object FindMin() const 0
• virtual Object FindMax() const 0

87
Definição da Classe BST

• // pgm10_02.cpp
• class BST public BinaryTree, public SearchTree
• protected
• virtual void AttachKey(Object)
• virtual Object DetachKey()
• virtual void Balance()
• public
• BST Left() const
• BST Right() const
• // ...

88
Funções da Classe BinarySearchTree

• left
• right
• find
• findMin
• insert
• attachKey
• withdraw
• detachKey

89
Definições da Função Membro Left e Rigth da
Classe BST

• // pgm10_03.cpp
• BST BSTLeft() const
• return dynamic_castltBSTgt(BinaryTreeLeft
  ())
• BST BSTRight() const
• return dynamic_castltBSTgt(BinaryTreeRight
  ())

90
Definições da Função Membro Find e FindMin da
Classe BST (1)

• // pgm10_04.cpp
• Object BSTFind(Object const object) const
• if(IsEmpty ())
• return NullObjectInstance()
• int const diff object.Compare(key)
• if(diff 0)
• return key
• else
• if(diff lt 0)
• return Left().Find(object)
• else
• return Right().Find(object)

91
Definições da Função Membro Find e FindMin da
Classe BST (2)

• Object BSTFindMin() const
• if(IsEmpty ())
• return NullObjectInstance()
• else
• if(Left().IsEmpty())
• return key
• else
• return Left().FindMin()

92
Inserção de itens em BST

• A inclusão de nós em árvores de busca deve ser
  precedida de uma operação de busca. Esta operação
  indica se o nó buscado já existe na árvore e, em
  caso de não existência, o local aonde deve ser
  feita a inclusão. Convém lembrar que uma busca
  sempre termina em folha e os nós a incluir serão
  incluídos como filhos da folha aonde se encerrou
  a busca.

93
Definições da Função Membro Insert, AttachKey e
Balance da Classe BST (1)

• // pgm10
• _05.cpp
• void BSTInsert(Object object)
• if(IsEmpty ())
• AttachKey(object)
• else
• int const diff object.Compare(key)
• if(diff 0)
• throw invalid_argument(chave duplicada")
• if(diff lt 0)
• Left().Insert(object)
• else
• Right().Insert(object)
• Balance()

94
Definições da Função Membro Insert, AttachKey e
Balance da Classe BST (2)

• void BSTAttachKey(Object object)
• if(!IsEmpty ())
• throw domain_error("operação inválida")
• key object
• left new BST()
• right new BST()
• void BSTBalance()

95
Remoção de itens em BST

• A exclusão de nós em árvores de busca pode
  configurar um de 3 casos.
• Se o nó não tiver filhos pode ser excluído sem
  exigir ajustamento da árvore.
• Se o nó a excluir tiver apenas uma sub árvore,
  este nó pode ser excluído e deve ser substituído
  por seu filho único.
• Se o nó a excluir tiver mais de um filho, para
  que ele possa ser excluído, deve ser substituído
  por seu antecessor ou seu sucessor em ordem
  infixa. O nó substituto deve ser excluído da sua
  posição gerando outro processo de exclusão.
• Considerando o caso do sucessor em ordem infixa,
  o nó a ser excluído deve ser substituído pelo nó
  obtido alcançando-se o nó mais à esquerda da sub
  árvore direita do nó a excluir.

96
Remoção de itens em BST

• Remoção do nó (4) folha em BST
• Remoção do nó (1) não folha em BST

97
Definições da Função Membro Withdraw e DetachKey
da Classe BST (1)

• // pgm10_06.cpp
• void BSTWithdraw(Object object)
• if(IsEmpty ())
• throw invalid_argument("objeto não
  encontrado")
• int const diff object.Compare(key)
• if(diff 0)
• if(!Left().IsEmpty())
• Object max Left().FindMax()
• key max
• Left().Withdraw(max)

98
Definições da Função Membro Withdraw e DetachKey
da Classe BST (2)

• else
• if(!Right().IsEmpty())
• Object min Right().FindMin()
• key min
• Right().Withdraw(min)
• else
• DetachKey()
• else
• if(diff lt 0)
• Left().Withdraw(object)
• else
• Right().Withdraw(object)
• Balance()

99
Definições da Função Membro Withdraw e DetachKey
da Classe BST (3)

• Object BSTDetachKey()
• if(!IsLeaf ())
• throw domain_error("operação inválida")
• Object result key
• delete left
• delete right
• key 0
• left 0
• right 0
• return result

100
Implementação de árvores AVL
101
Conceito de AVL

• Adelson-Velskii e Landis propuseram as condições
  de balanceamento para uma árvore binária que
  recebeu como sigla suas iniciais.
• Definição (Condição de equilíbrio AVL)  Uma
  árvore binária vazia é AVL balanceada  . Uma
  árvore binária não-vazia, Tr,TL,TR , é AVL
  balanceada se tanto TL quanto TR forem AVL
  balanceadas e hL-hRlt1
• aonde hL é a altura of TL e hR é a altura of TR .

102
Implementação de árvores AVL
103
Definição da Classe AVLTree (1)

• // pgm10_07.cpp
• class AVLTree public BST
• protected
• int height
• int BalanceFactor() const
• void AdjustHeight()
• void LLRotation()
• void LRRotation()
• void RRRotation()
• void RLRotation()
• void AttachKey(Object)
• Object DetachKey()
• void Balance()

104
Definição da Classe AVLTree (2)

• public
• AVLTree()
• int Height() const
• AVLTree Left() const
• AVLTree Right() const

105
Definições da Função Membro Height, AdjustHeight
e BalanceFactor e do Construtor da Classe AVLTree
(1)

• // pgm10_08.cpp
• AVLTreeAVLTree()
• BST(),
• height(-1)
• int AVLTreeHeight() const
• return height
• void AVLTreeAdjustHeight()
• if(IsEmpty ())
• height -1
• else
• height Max(left-gtHeight(), right-gtHeight())
  1

106
Definições da Função Membro Height, AdjustHeight
e BalanceFactor e do Construtor da Classe AVLTree
(2)

• int AVLTreeBalanceFactor() const
• if(IsEmpty ())
• return 0
• else
• return left-gtHeight() - right-gtHeight()

107
Definição da Função Membro LLRotation da Classe
AVLTree

• // pgm10_09.cpp
• void AVLTreeLLRotation()
• if(IsEmpty ())
• throw domain_error(rotação inválida")
• BinaryTree const tmp right
• right left
• left Right().left
• Right().left Right().right
• Right().right tmp
• Object const tmpObj key
• key Right().key
• Right().key tmpObj
• Right().AdjustHeight()
• AdjustHeight()

108
Definição da Função Membro LRRotation da Classe
AVLTree

• // pgm10_10.cpp
• void AVLTreeLRRotation()
• if(IsEmpty ())
• throw domain_error("rotação inválida")
• Left().RRRotation()
• LLRotation()

109
Definição da Função Membro Balance da Classe
AVLTree

• // pgm10_11.cpp
• void AVLTreeBalance()
• AdjustHeight()
• if(abs(BalanceFactor ()) gt 1)
• if(BalanceFactor() gt 0)
• if(Left().BalanceFactor() gt 0)
• LLRotation()
• else
• LRRotation()
• else
• if(Right().BalanceFactor() lt 0)
• RRRotation()
• else
• RLRotation()

110
Definições das Função Membro AttachKey e
DetachKey da Classe AVLTree

• // pgm10_12.cpp
• void AVLTreeAttachKey(Object object)
• if(!IsEmpty ())
• throw domain_error("operação inválida")
• key object
• left new AVLTree()
• right new AVLTree()
• height 0
• Object AVLTreeDetachKey()
• height -1 return BSTDetachKey ()

111
Definição da Classe MWayTree

• // pgm10_13.cpp
• class MWayTree public SearchTree
• protected
• unsigned int const m
• unsigned int numberOfKeys
• ArrayltObjectgt key
• ArrayltMWayTreegt subtree
• unsigned int FindIndex(Object const) const
• public
• MWayTree(unsigned int)
• MWayTree()
• Object Key(unsigned int) const
• MWayTree Subtree(unsigned int) const
• // ...

112
Definição da Função Membro DepthFirstTraversal da
Classe MWayTree

• // pgm10_14.cpp
• void MWayTreeDepthFirstTraversal(
  PrePostVisitor visitor) const
• if(!IsEmpty ())
• for(int i 0 i lt numberOfKeys 1 i)
• if(i gt 2)
• visitor.PostVisit(key i - 1)
• if(i gt 1 i lt numberOfKeys)
• visitor.Visit(key i)
• if(i lt numberOfKeys - 1)
• visitor.PreVisit(key i 1)
• if(i lt count)
• subtreei-gtDepthFirstTraversal (visitor)

113
Definição (Linear Search) da Função Membro Find
da Classe MWayTree

• // pgm10_15.cpp
• Object MWayTreeFind(Object const object)
  const
• if(IsEmpty ())
• return NullObjectInstance()
• unsigned int i numberOfKeys
• while(i gt 0)
• int const diff object.Compare(keyi)
• if(diff 0)
• return keyi
• if(diff gt 0)
• break
• --i
• return subtreei-gtFind(object)

114
Definições (Binary Search) da Função FindIndex e
Find da Classe MWayTree (1)

• // pgm10_16.cpp
• unsigned int MWayTreeFindIndex(Object const
  object) const
• if(IsEmpty ())
• throw domain_error("operação inválida")
• if(object lt key1)
• return 0
• unsigned int left 1
• unsigned int right numberOfKeys
• while(left lt right)
• int const middle (left right 1) / 2
• if(object gt keymiddle)
• left middle
• else
• right middle - 1U
• return left

115
Definições (Binary Search) da Função FindIndex e
Find da Classe MWayTree (2)

• Object MWayTreeFind(Object const object)
  const
• if(IsEmpty ())
• return NullObjectInstance()
• unsigned int const index FindIndex(object)
• if(index ! 0 object keyindex)
• return keyindex
• else
• return subtreeindex-gtFind(object)

116
Definição da Função Membro Insert da Classe
MWayTree (1)

• // pgm10_17.cpp
• void MWayTreeInsert(Object object)
• if(IsEmpty ())
• subtree0 new MWayTree(m)
• key1 object
• subtree1 new MWayTree(m)
• numberOfKeys 1
• else
• unsigned int const index FindIndex(object)
• if(index ! 0 object keyindex)
• throw invalid_argument(chave duplicada")
• if(numberOfKeys lt m - 1U)

117
Definição da Função Membro Insert da Classe
MWayTree (2)

• for(unsigned int i numberOfKeys i gt index
  --i)
• keyi 1 keyi
• subtreei 1 subtreei
• keyindex 1 object
• subtreeindex 1 new MWayTree(m)
• numberOfKeys
• else
• subtreeindex-gtInsert(object)

118
Definição da Função Membro Withdraw da Classe
MWayTree (1)

• // pgm10_18.cpp
• void MWayTreeWithdraw(Object object)
• if(IsEmpty ())
• throw invalid_argument("objeto não
  encontrado")
• unsigned int const index FindIndex(object)
• if(index ! 0 object keyindex)
• if(!subtreeindex - 1U-gtIsEmpty())
• Object max subtreeindex - 1U-gtFindMax()
• keyindex max
• subtreeindex - 1U-gtWithdraw(max)

119
Definição da Função Membro Withdraw da Classe
MWayTree (2)

• else
• if(!subtreeindex-gtIsEmpty())
• Object min subtreeindex-gtFindMin()
• keyindex min
• subtreeindex-gtWithdraw(min)
• else
• --numberOfKeys
• delete subtreeindex
• for(unsigned int i index
• i lt numberOfKeys i)
• keyi keyi 1
• subtreei subtreei 1

120
Definição da Função Membro Withdraw da Classe
MWayTree (3)

• if(numberOfKeys 0)
• delete subtree0
• else subtreeindex-gtWithdraw(object)

121
Definição da Classe BTree

• // pgm10_19.cpp
• class BTree public MWayTree
• BTree parent
• void InsertPair(Object, BTree)
• void AttachKey(unsigned int, Object)
• void AttachSubtree(unsigned int, MWayTree)
• Object InsertKey(unsigned int, Object)
• BTree InsertSubtree(unsigned int, BTree)
• void AttachLeftHalfOf(BTree const)
• void AttachRightHalfOf(BTree const, Object,
  BTree)
• public
• BTree(unsigned int)
• BTree(unsigned int, BTree)
• void Insert(Object)
• void Withdraw(Object)

122
Definição da Função Membro Insert da Classe BTree
(1)

• // pgm10_20.cpp
• void BTreeInsert(Object object)
• if(IsEmpty ())
• if(parent 0)
• AttachSubtree(0, new BTree(m, this))
• AttachKey(1, object)
• AttachSubtree(1, new BTree(m, this))
• numberOfKeys 1
• else
• parent-gtInsertPair(object, new BTree(m,
  parent))

123
Definição da Função Membro Insert da Classe BTree
(2)

• else
• unsigned int const index FindIndex(object)
• if(index ! 0 object keyindex)
• throw invalid_argument(chave duplicada")
• subtreeindex-gtInsert(object)

124
Definição da Função Membro InsertPair da Classe
BTree (1)

• // pgm10_21.cpp
• void BTreeInsertPair(Object object, BTree
  child)
• unsigned int const index FindIndex(object)
• BTree extraTree InsertSubtree(index 1,
  child)
• Object extraKey InsertKey(index 1, object)
• if(numberOfKeys m)
• if(parent 0)
• BTree left new BTree(m, this)
• BTree right new BTree(m, this)
• left.AttachLeftHalfOf(this)

125
Definição da Função Membro InsertPair da Classe
BTree (2)

• right.AttachRightHalfOf(this, extraKey,
  extraTree)
• AttachSubtree(0, left)
• AttachKey(1, key(m 1)/2)
• AttachSubtree(1, right)
• numberOfKeys 1
• else
• numberOfKeys (m 1) / 2 - 1
• BTree right new BTree(m, parent)
• right.AttachRightHalfOf(this, extraKey,
  extraTree)
• parent-gtInsertPair(key(m 1)/2, right)