Seosed t

1
Seosed täisnurkses kolmnurgas

• 3. detsember 2013. a.

2
Teoreem

• Täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusile joonestatud
  kõrgus jaotab selle kolmnurga kaheks kolmnurgaks,
  mis on sarnased esialgse kolmnurgaga ja omavahel.

C
A
B
D
3
(No Transcript)
4
A
A
C
D
B
C
D
D
B
C
? BDC ? ? BCA (NN tunnus)
? CDA ? ? BCA (NN tunnus)
? ? BDC ? ? CDA
m.o.t.t.
5
Geomeetriline keskmine

• Kui a, b ja x on mittenegatiivsed arvud, siis
  nimetatakse arvu x arvude a ja bgeomeetriliseks
  keskmiseks, kui ta on ruutjuur nende arvude
  korrutisest

6
Kaatetite projektsioonid

• Hüpotenuusile joonestatud kõrgus jaotab
  hüpotenuusi kaheks osaks, mida nimetatakse
  kaatetite projektsioonideks hüpotenuusil

C
f kaateti a projektsioon
g kaateti b projektsioon
b
a
h
g
f
A
B
c
D
7
Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest

• Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile tõmmatud
  kõrgus on kaatetite projektsioonide geomeetriline
  keskmine

ehk
8
A
A
C
g
b
g
a
b
h
c
D
h
B
C
D
f
D
f
h
B
C
a
9
? BDC ? ? CDA gt
võrde põhiomadusest
m.o.t.t.
10
Näide 1

• Täisnurkse kolmnurga ?ABC kõrgus BD on 4 cm
• Leia lõik CD, kui lõik AD on 2 cm

B
4 cm
x cm
2 cm
C
A
D
11
Ülesanne 1

• Täisnurkse kolmnurga ?ABC jaotab hüpotenuusi AC
  kaheks osaks 4 cm ja 5 cm.
• Leia kolmnurga ?ABC pindala.

12
Eukleidese teoreem
13
Eukleides

• Vana-Kreeka matemaatik ja filosoof
• sündinud umbes 325 eKr
• tähtsaim teos, 13 raamatust koosnev Elemendid
• sisaldab peaaegu kogu elementaargeomeetria
• 465 lauset (definitsioonid, aksioomid, teoreemid)
  hõlmav tööon kirjutatud ranges loogilises
  järjekorras
• on olnud paljude sajandite vältel peaaegu ainsaks
  geomeetria õpikuks
• surnud umbes 265 eKr

14
Teoreem

• Täisnurkse kolmnurga kaatet on oma projektsiooni
  ja hüpotenuusi geomeetriline keskmine.

ehk
15
Näide 2

• Täisnurkse kolmnurga ?ABC kõrgus jaotab AC kaheks
  osaks, mille pikkused on 3 cm ja 6 cm.
• Leia kaatetite AB ja BC pikkused.

c AC AD DC 3 6 9 (cm)
y
x
3 cm
6 cm
c
16
Pythagorase teoreem
17
Pythagoras

• Vana-Kreeka matemaatik ja filosoof
• sündis umbes 569 eKr Samoses (Kreekas)
• rajas Lõuna-Itaaliasse Krotonisse
  usulis-filosoofilise vennaskonna pütagoorlaste
  liidu
• arvasid, et iga asi on arv
• paarituid arve loeti halbadeks, paarisarve
  headeks
• teadsid, et hästi kõlavad kokku vaid need
  pillikeeled, mille pikkused suhtuvad nagu
  täisarvud
• suri umbes 475 eKr.

18
Teoreem

• Täisnurkses kolmnurgas võrdub kaatetite ruutude
  summa hüpotenuusi ruuduga

C
b
a
c
A
B
19
Võtame 4 võrdset täisnurkset kolmnurka ja
paigutame need järgmiselt

• Iga sellise täisnurkse kolmnurga pindala on ½ ab
• Suure ruudu pindala ühelt poolt avaldub seega4
  ½ ab c2
• Teiselt poolt on suure ruudu pindala(a b)2
• Seega

m.o.t.t.
20
Pythagorase teoreemi

• kasutatakse täisnurkse kolmnurga külje pikkuse
  leidmiseks kahe ülejäänud külje kaudu
• hüpotenuus2 kaatet12 kaatet22
• kaatet12 hüpotenuus2 kaatet22
• kaatet22 hüpotenuus2 kaatet12

21
Näide

• Sukelduja ujus vee all 20 m kivini, mis asub mere
  põhjas. Poi paikneb veepinnal täpselt kivi kohal,
  kusjuures kivi kaugus poist on 10m. Kui kaugel
  asub poi kohast, kus sukelduja oma sukeldumist
  alustas?
• Tee tekkinud täisnurkse kolmnurga joonis, kanna
  andmed joonisele ja leia otsitav suurus.

22
10 m
20 m
23
Näide

• 16 m redel seisab maja seina najal. Redeli
  alumine serv asub maja seinast 2 m kaugusele. Kui
  kõrgele maja seinale redel ulatub?
• Tee tekkinud täisnurkse kolmnurga joonis, kanna
  andmed joonisele ja leia otsitav suurus.

24
16 m
2 m
25
Näide

• Täisnurkse kolmnurga kujuline puri on 30 m
  kõrgune. Selle laius on 10 m. Milline on purje
  hüpotenuusi pikkus?
• Tee tekkinud täisnurkse kolmnurga joonis, kanna
  andmed joonisele ja leia otsitav suurus.

26
30 m
10 m
30 ft.
27
Näide

• Mari ja Jüri lennutavad tuulelohet. Lohe on õhus
  täpselt Mari kohal, paiknedes 12 m kõrgusel. Jüri
  hoiab lohet kinni 30 m nööri otsas. Kui kaugel on
  Mari Jürist?
• Tee tekkinud täisnurkse kolmnurga joonis, kanna
  andmed joonisele ja leia otsitav suurus.

28
30 m
12 m
29
Näide

• Täisnurkse kolmnurga üks külg on 45 m. Selle
  kolmnurga hüpotenuus on 80 m. Leia kolmnurga
  kolmas külg.
• Tee tekkinud täisnurkse kolmnurga joonis, kanna
  andmed joonisele ja leia otsitav suurus.

30
80 m
45 m
31
Pythagorase kolmikud

• Arve a, b ja c, kui need rahuldavad tingimust
• a² b² c²
• nimetatakse Pythagorase kolmikuteks.
• Kui kolmnurga külgede pikkused moodustavad
  Pythagorase kolmiku, siis on see kolmnurk
  täisnurkne.

32
Pythagorase kolmikud
a 3 5 7 8 9 11 12 13 16 20 20 28 33 36 39
b 4 12 24 15 40 60 35 84 63 21 99 45 56 77 80
c 5 13 25 17 41 61 37 85 65 29 101 53 65 85 89

• Kõige tuntumaks Pythagorase kolmikuks on arvud 3,
  4 ja 5
• Selliste külgedega kolmnurka nimetatakse ka
  Egiptuse kolmnurgaks