Programowanie obiektowe III rok EiT

1
Programowanie obiektoweIII rok EiT

• dr inz. Jerzy Kotowski
• Wyklad XII

2
Program wykladu

• Jezyk C
• Przyklad problemu
• Model matematyczny zadania symulacji
• Transformacja zadania do problemu statycznej
  optymalizacji wypuklej bez ograniczen
• Opis algorytmu rozwiazania zadania optymalizacji
  metoda Newtona
• Opis programu obliczeniowego
• Podstawy jezyka JAVA
• Klasówka

3
Literatura

• Klempous R., Kotowski J. (1988). Some models for
  Water Distribution Systems. Journal of
  Computational and Applied Mathematics, 26,
  257-269.
• Klempous R., Kotowski J. (1991). Nonlinear
  transport network design. Journal of
  Computational and Applied Mathematics, 35,
  269-275.
• Klempous R., Kotowski J., Nikodem J. (1994).
  System Approach to the Water Distribution
  Problems In Proceedings of the Twelfth European
  Meeting on Cybernetics and Systems Research
  (Vienna, Austria), 957-963.
• Symfonia C, Jerzy Grebosz, Oficyna Kallimach,
  Kraków 1999

4
Przyklad problemu
Symulacja sieci wodociagowej
5
Model matematyczny sieci wodociagowej

• Model matematyczny luku sieci prawo
  Bernoulliego

6
Model matematyczny sieci wodociagowej

• Prawa Kirchhoffa
• I prawo zachowania masy
• II prawo równania oczkowe

• Oznaczenia
• y?Rm wektor przeplywów w lukach
• x?Rm wektor spadków cisnien w lukach
• ??Rw wektor zapotrzebowan w wezlach
• A macierz incydencji, A A(w-1)xm, aij
  0,1,-1
• B macierz oczkowa, B B(m-w1)xm, bij 0,1,-1

7
Model matematyczny sieci wodociagowej - wlasnosci

• Uklad m algebraicznych równan nieliniowych z m
  niewiadomymi

• Jak to rozwiazac?

8
Przyklad 1

• w 4 / 0 pompownia
• m 4
• m-w1 1 / jedno oczko
• I prawo Kirchhoffa
• y1 y2 y3 ?1
• y2 - y4 ?2
• y3 y4 ?3
• III prawo Kirchhoffa
• x2 y3 x4 0
• Cztery równania z czterema niewiadomymi y1, y2,
  y3, y4

9
Problem optymalizacji

• Idea (podstawy fizyki)Minimalizowac straty przy
  spelnieniu warunku zachowania masy
• Sformulowanie problemu dla przypadku sieci
  transportowych

()
10
Przyklad 2 z zycia (druty)
M M1 M2 ? min I1 I2 I0
I1I2 I0 I prawo K. U1-U20 II prawo
K. Ui RiIi, i1,2 Mi UiIi, i1,2
11
Warunki Kuhna-Tuckera

• II prawo Kirchhoffa nie pojawilo sie przypadkiem.
• Prawo to mozna wyprowadzic jako pewna
  transformacje warunków optymalnosci Kuhna-Tuckera
  dla zadania ()
• Lagrangian L(y,?)f(y) ?Tg(y)
• gdzie y?Rn
• a g(y)?Rm to ograniczenia w postaci g(y)0
• Warunki Kuhna-Tuckerajezeli y jest optymalnym
  rozwiazaniem zadania () to wtedy

12
Warunki Kuhna-Tuckera dla zadania ()
/B
I prawo Kirchhoffa
Teoria grafów BAT0
II prawo Kirchhoffa
13
Wniosek

• W celu symulacji cyfrowej rozplywów w nieliniowej
  sieci transportowej (gaz, woda, etc.) mozna
  zamiast rozwiazywania ukladu równan nieliniowych
  typu I i II prawo Kirchhoffa rozwiazac problem
  optymalizacji statycznej z wypukla funkcja celu
  oraz z liniowymi ograniczeniami równosciowymi (I
  prawo Kirchhoffa).
• Problem optymalizacji mozna zredukowac.
• Idea redukcji polega na rozwiklaniu ograniczen
  liniowych i dokonaniu odpowiednich podstawien w
  funkcji celu.
• Liczba zmiennych w problemie zredukowanym jest
  równa liczbie oczek w sieci (metoda pradów
  oczkowych)
• Problem zredukowany jest wypuklym zadaniem
  optymalizacji statycznej i moze byc rozwiazywany
  z wykorzystaniem wielu metod optymalizacji
  statycznej.

14
Zmodyfikowana metoda Newtona

• Wlasnosci metody
• Sluzy do rozwiazywania zadan programowania
  matematycznego bez ograniczen
• Wymaga znajomosci gradientu i hesjanu
  optymalizowanej funkcji celu
• Schemat metody
• Rozwinac funkcji celu w otoczeniu biezacego
  optimum y w szereg Taylora
• Obciac rozwiniecie nalezy na trzecim skladniku
  (forma kwadratowa)
• Wyznaczyc minimum otrzymanej formy kwadratowej y
• Przyjac dy-y jako nowy kierunek poszukiwac dla
  metody poszukiwania w kierunku
• Przyjac nowe rozwiazanie y jako poszukiwane
  minimum w kierunku
• Jezeli nie osiagnieto zadanej dokladnosci
  obliczen to powrócic do 1.
• Idea metody
• Dla problemów programowania wypuklego proces
  wyznaczania optimum przedstawiony w kroku trzecim
  sprowadza sie do rozwiazania ukladu równan
  liniowych z symetryczna i dodatniookreslona
  macierza.

15
Zmodyfikowana metoda Newtona - opis
Szereg Taylora
Forma kwadratowa
Minimum formy kwadratowej
16
Klasa Newton
class Newton // optimization
method protected int n //
problem dimension double eps //
accuracy double x // solution
double d // step double grad
// gradient double hes //
Hessian public Newton(int nn,double e,double
spNULL) // dim, acc, st. point Newton()
// destructor virtual void
gradient_and_hesjan(void)0 // gradient
Hessian void Euler_method() // linear
problem void step() // particular
step void method() // optimization
procedure void show_solution() // result
of calculation
17
Metoda Newtona - funkcje skladowe

• Newton(int nn, double e, double spNULL)
• konstruktor liczba zmiennych, test stopu, punkt
  startowy
• spNULL start z poczatku ukladu wspólrzednych
• Newton()
• destruktor
• virtual void gradient_and_hesjan(void)0
• czysta funkcja wirtualna, wyznacza gradient i
  hesjan w klasie pochodnej
• void Euler_method()
• rozwiazuje uklad równan z symetryczna i dodatnio
  okreslona macierza
• void step()
• jeden krok metody optymalizacji
• void method()
• procedura optymalizacji z testem stopu na dlugosc
  gradientu
• void show_solution()
• Wyniki obliczen

18
Przyklad 3 z zycia (woda) .. \test0.sln
M M1 M2 ? min y1 y2 y0
x1 x2
y1 y2 y0
Program woda1.cpp
19
Program Symulacja klasa network
class network protected int n_arcs
// number of arcs int n_nodes //
number of nodes int n_pumping_st //
number of pumping stations int n_consumers
// number of water consumers int n_reduced
// dimension of the reduced problem n_pipe
pipes // pipes node nodes //
nodes pumping_station p_stations //
pumping stations public network(int
na10,int nn11,int np1) // constructor
network() // destructor void
ini_streams0(char str0) // setting reduced
problem void parameters(pump_parameters ip,
int nm,int (str)2,double res,double
needs,double altitudes,char str0,char top0)
void output_p(double o_p)// output from
pumping stations void flows_in_network()
// the full flow in network void
preassures_in_pumping_stations() // minimal
pressures network operator!(void) //
report on the screen void network_state(state
st) // show state of the network
20
Klasa Simulation ../../Visual20Studio20Project
s/woda2
class Simulation public network, public
Newton char desc_gradient //
description of gradient char desc_hesjan
// description of hesjan public
Simulation(int na,int nn,int np,double e,double
sp) Simulation() void
ini_gradient_and_hesjan(char g,int dg,char
h,int dh) void gradient_and_hesjan()

• Dziedziczenie wielobazowe publiczne
• void gradient_and_hesjan() - czysta funkcja
  wirtualna w klasie bazowej
• Idea przykladu problem metoda program
  obliczeniowy