Transformations

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Transformations
2
Content

• Coordinate systems
• 2D Transformations
• 3D Transformations
• Transformation composition
• Rotating about a pivot
• Rotating about an axis

Agradecimientos A Alex García-Alonso por
facilitar el material para la realization de
estas transparencias (http//www.sc.ehu.es/ccwgamo
a/clases)
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Coordinate systems

• An object is represented by polygons
• A polygon is a collection of vertex and edges
• To transform an object we must transform their
  vertex
• From local system to the global system
  transformations

4
2D Transformations

• Translation
• Scale
• Rotation
• Deformation

5
2 dimensions translation
x x tx y y ty
6
2 dimensions scale
x sx x y sy y
7
2 dimensions rotation

• x r cos ?
• y r sen ?
• x r cos (? ? ) r (cos ? cos ? sen ?
  sin ?) x cos ? y sen ?
• y r sen (? ?) r ( cos ? sen ? sen ?
  cos ?) x sin ? y cos ?

P
y
r
?
P
y
?
x
x
8
2 dimensions rotation

• Matricially representation with Homogenous
  coordinates

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2 dimensions deformation (shear)

• Deformation of x coordinate

x x hx y y y
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3D Transformations

• The general expression of a 3D transformation in
  Homogenous coordinates

11
Transformation Matrix M44

• Describe all the transformations translation,
  scale, rotation, deformation.
• The composition of transformations is made by the
  product of matrix
• You can get the values of the transformation from
  the matrix displacement, scale y turn.

12
3D Traslation
x x tx y y ty z z tz
13
3D Scale
x sx x y sy y z sz z
14
3D Non uniform scale

• sx ? sy ? sz

15
3D Rotation
16
3D Rotation matrix
X Rotation
Y Rotation
Z Rotation
17
Others transformations
Shear in xy (z invariant)
Reflexion on plane xy
18
Composite transformation

• The transformations can be applied sequentially
  to a point.
• The result of the first transformation
• M1 P
• The second transformation
• M2 M1 P M2 M1 P
• The composite transformation is made by the
  product of the matrix
• M Mn Mn-1 M2 M1

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Transformation product may not be commutative
20
Hierarchy structure

• An object is positioned in its coordinate system.
• All the assembly can be positioned in another
  coordinate system and so successively.
• The coordinates in the final system are get by
  the composite transformation.

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Rotation alrededor de un pivot

• Si el eje de rotation no pasa por el origen, son
  necesarias las siguientes operaciones
• Trasladar el punto de rotation Q, al origen
• Realizar la rotation
• Deshacer la traslation
• La composition de transformaciones es
• MRQ (?) M3 M2 M1
• MRQ (?) MT (qx, qy, qz) MR (?) MT (-qx, -qy,
  -qz)
• El escalado se realiza análogamente

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Rotation alrededor de un eje

• El eje define por un punto Q y un vector
  unitario r. Se realiza una rotation de un
  ángulo ?.
• Se resuelve mediante composition de
  transformaciones
• Se enuncian las transformaciones
• Se determina el cálculo de cada una de ellas
• Se explica como evaluar los ángulos requeridos

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Rotation alrededor de un ejecomposition de
transformaciones
Position inicial
Traslation QO
Rotation ß en x
Rotation ? en y
Rotation ? en z
M1
M2
M3
M4
Rotation -ß en x
Rotation - ? en z
Traslation -QO
Position inicial
M7
M6
M5
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Rotation alrededor de un ejerelation de
transformaciones

• La matriz de transformation es
• M(Q,r) (?) M7 M6 M5 M4 M3 M2 M1
• M1 traslation QO
• M2 rotation ? en z
• M3 rotation ? en x
• M4 rotation ? en y
• M5 rotation -? en x
• M6 rotation -? en z
• M7 traslation -QO

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Rotation alrededor de un eje M1 - traslation QO

• Sea R tal que OR OQ r
• La traslation que lleva Q al origen es
• M1 MT (-qx, -qy, -qz)

M1
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(No Transcript)
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Rotation alrededor de un ejeM2 - rotation ? en z

• Calcular el ángulo ? entre los planos YZ y el
  plano definido por el eje z y OR
• rxy es la proyection ortogonal de r sobre XY
• R es el resultado del giro alrededor de z
• ? es el ángulo entre rxy y j (vector unitario de
  y)
• tener en cuenta el sentido de giro positivo k
• M2 es la matriz de rotation alrededor del eje z
• M2 MRz (?)

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Rotation alrededor de un ejeM3 - rotation ß en x

• Aplicando M2 a R se obtiene R
• R está en el plano YZ
• r lo define OR
• Calcular el ángulo ß entre r y j
• tener en cuenta el sentido de giro positivo i
• M3 es la matriz de rotation alrededor del eje x
• M3 MRx (ß)

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Rotation alrededor de un ejeM4 - rotation ? en y

• Aplicando M3 a R se obtiene R
• R está en el eje y
• Se realiza el giro ? en el eje y
• M4 es la matriz de rotation alrededor del eje y
• M4 MRy (?)

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Rotation alrededor de un ejeM5, M6, M7 -
inversas

• Una vez calculado el giro ? alrededor del eje
  transformado, habrá que invertir el proceso de
  transformation y para ello se calculan las
  matrices inversas
• M5 MRx (-ß)
• M6 MRz (-?)
• M7 MT(qx, qy, qz)
• La matriz de transformation compuesta es
• M(Q,r) (?) M7 M6 M5 M4 M3 M2 M1

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Rotation alrededor de un ejeángulo ?

• Cálculo del ángulo ?
• rxy es la proyection ortogonal de r sobre el
  plano XY (rx, ry, 0)
• cos ? j rxy / rxy
• ( (0, 1, 0) (rx, ry, 0) ) / (rx2 ry2
  )1/2
• cos ? ry / (rx2 ry2 )1/2
• Como cos ? cos (?) , entonces
• si rx lt 0 entonces el ángulo debe ser (2?- ?) ? ?
  - ?

? acos ( ry / (rx2 ry2 )1/2 ) y si rx lt 0 ?
? - ?
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Rotation alrededor de un ejeángulo ß

• Cálculo del ángulo ß
• R y r están en el plano YZ
• cos ß j r / r
• ( (0, 1, 0) (0, ry, rz) ) / (ry2
  rz2 )1/2
• cos ß ry / (ry2 rz2 )1/2
• Como cos ß cos (ß) , entonces
• si rz gt 0 entonces el ángulo debe ser (2?- ß)
  ? ß - ß

ß acos ( ry / (ry2 rz2 )1/2 ) y si rz
gt 0 ? ß - ß