D

1
Dérivabilité en un point et sur un intervalle

• f définie dans un intervalle ouvert contenant un
  point donné x0
• f(x0h) f(x0) a(x0) h h e(h) pour tout h de
  valeur absolue assez petite
• e défini dans un intervalle -h,h (privé de 0)
  et lim0 e 0

2
Interprétation géométrique
(x0h, f(x0h))
(x0, f(x0))
ya(x0)(x-x0) f(x0)
3
Dérivabilité en un point Continuité en ce
point
Isaac Newton (1643-1727)
4
Opérations sur les fonctions dérivables
f et g dérivables en x0
f g dérivable en x0 , (fg)(x0)
f(x0)g(x0)
fg dérivable en x0 , (fg)(x0) f(x0)
g(x0)g(x0) f(x0)
5
Dérivabilité de x ? xn
n gt 0
(x0h)n x0n n x0n-1 h o(h)
n gt 0 et x0 non nul
(x0h)-n x0-n - n x0-n-1 h o(h)
6
Règle de Leibniz
G.W. von Leibniz (1646-1716)
f définie au voisinage de x0 et dérivable en x0
g définie au voisinage de f(x0) et dérivable en
f(x0)
(gof)(x0)
g o f dérivable en x0 car (g o f) (x0h)
g (f(x0h)) g (f(x0)
h f(x0) o(h))
g(f(x0)) h g(f(x0)) x f(x0) o(h)
7
Opérations sur les fonctions dérivables
f et g dérivables en x0 et g(x0) non nul
f/g dérivable en x0 et

f(x0) g(x0) - g(x0) f(x0) (f/g)(x0)
______________________
(g(x0))2

8
Dérivabilité de la fonction inverse
Soit f une fonction strictement monotone sur un
intervalle ouvert I de R, dérivable sur I
On suppose f R 0 sur I (fgt0 ou flt0)
f-1 f(I) ? I est dérivable sur f(I)
1 (f-1)(y0)
-------------- f ( f-1
(y0))
9
y y0 f(x0) (x-x0)
(x0,y0)
x y0 f(x0) (y-x0)
(y0,x0)
10
Remarque un énoncé admis
Une fonction dérivable sur un intervalle ouvert
I , de dérivée identiquement nulle sur I , est
constante sur I.
Attention cependant Aux escaliers du diable !
11
Maximum local en un point
Une fonction (à valeurs réelles) f définie dans
un intervalle ouvert I contenant un point x0
admet un maximum local en x0
Il existe egt0 tel que x0 - e, x0 e c I et que,
pour tout x dans x0 e , x0 e, f(x)
est inférieur ou égal à f(x0)
12
Minimum local en un point
Une fonction (à valeurs réelles) f définie dans
un intervalle ouvert I contenant un point x0
admet un minimum local en x0
Il existe egt0 tel que x0 - e, x0 e c I et que,
pour tout x dans x0 e , x0 e, f(x)
est supérieur ou égal à f(x0)
13
Extréma locaux et dérivabilité

• Si une fonction à valeurs réelles, définie et
  dérivable sur un intervalle ouvert I de R, admet
  un extrémum local (maximum ou minimum) en un
  point x0 de I, alors

f(x0) 0
Mais la réciproque est fausse !!
14
Dérivées successives
Si f est une fonction définie sur un intervalle
ouvert I de R est dérivable en tout point de I
assez voisin dun point x0 de I donné
et que de plus f est dérivable en x0
On dit que f est deux fois dérivable en x0 et on
pose f(x0) (f)(x0)
15
Dérivées successives (suite)
Si f est une fonction définie sur un intervalle
ouvert I de R est deux fois dérivable en tout
point de I assez voisin dun point x0 de I donné

et que de plus f est dérivable en x0
On dit que f est trois fois dérivable en x0 et
on pose f(x0) (f)(x0)
16
Dérivées successives (suite)
Si f est une fonction définie sur un intervalle
ouvert I de R est n fois dérivable en tout
point de I assez voisin dun point x0 de I donné

et que de plus la fonction dérivée n-ème f (n)
est dérivable en x0
On dit que f est n1 fois dérivable en x0 et on
pose f (n1) (x0) (f(n))(x0)
17
Fonctions de classe C sur un intervalle ouvert
de R
8
Une fonction admettant des dérivées à tout ordre
en tout point dun intervalle ouvert I de R est
dite de classe C sur I .
8
18
Fin du Chapitre 6