Le modle de la covariance ou modle effets fixes

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Le modèle de la covariance (ou modèle à effets
fixes)

• Rappel sur la régression partagée
• Opérateurs BETWEEN et WITHIN
• Spécification du modèle à effets individuels
• Lestimateur LSDV
• Tests
• Modèle avec effets temporels
• Modèle avec effets individuels et temporels

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Rappel sur la régression partagée (1)

• Soit le modèle de régression classique
• où
• Supposons que la régression implique 2
  sous-ensembles de X

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Rappel sur la régression partagée (2)

• Alors on démontre (théorème Frisch-Waugh), à
  laide des équations normales, que
• Remarque est équivalent à lestimateur
  des MCO sur le modèle transformé par M1

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Opérateurs between et within (1)

• Opérateur between
• Soit
• Opérateur
• Lorsquil est appliqué à une variable, BN permet
  de calculer les moyennes par individu de cette
  variable. Cet opérateur est donc appelé
  opérateur interindividuel ou opérateur
  between .

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Opérateurs between et within (2)

• Opérateur within
• Opérateur
• Lorsquil est appliqué à une variable, WN permet
  de calculer les écarts de chaque observation aux
  moyennes individuelles. Cet opérateur est donc
  appelé opérateur intraindividuel ou
  opérateur within .

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Spécification du modèle à effets individuels (1)

• Pour chaque individu i et chaque période t
• Pour chaque individu i
• En regroupant tous les individus

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Spécification du modèle à effets individuels (2)

• Pour compléter le modèle, on admet
• La matrice des variables explicatives est de rang
  complet
• Les erreurs

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Lestimateur LSDV (1)

• Le modèle est un modèle
  de régression en forme partagée. On peut donc
  appliquer le théorème FW
• Forme de lestimateur de leffet individuel
• Lestimateur de leffet individuel est donc égal
  à la moyenne des résidus du i ème groupe.

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Lestimateur LSDV (2)

• Les résultats sobtiennent également en
  appliquant les MCO sur le modèle transformé par
  WN
• Utilité pratique du modèle transformé
• Le modèle global implique linversion dune
  matrice (N K, N K)
• Le modèle transformé ne nécessite que linversion
  dune matrice (K, K)
• Attention la transformation nest pas
  non-singulière, on perd N ddl (ddl NT N K)

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Tests (1) test dégalité des coefficients
individuels

• On veut savoir si les effets fixes sont
  différents dune équation à lautre
• Procédure de test
• Procédure de Chow
• Comparaison modèle contraint/modèle non-contraint
• Le modèle contraint est le modèle I (régression
  ordinaire).

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Tests (2) Hétéroscédasticité et autocorrélation

• Hétéroscédasticité
• Arellano (1987) a montré quon pouvait, de façon
  similaire à White (1980), estimer de façon
  robuste à une hétéroscédasticité de forme
  inconnue la variance de lestimateur
  intra-individuel.
• On peut aussi effectuer les tests de White (1980)
  ou de Breusch-Pagan.
• Autocorrélation
• Sil y a autocorrélation des erreurs
• Une extension du test de Durbin-Watson a été
  proposée au cadre du modèle à effets fixes à
  partir des résidus estimés du modèle
  intra-individuel.

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Le modèle avec effets temporels (1)

• Pour chaque individu i et chaque période t
• Pour chaque individu i
• En regroupant tous les individus

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Le modèle avec effets temporels (2)

• On définit les opérateurs inter- et
  intratemporels
• Lestimateur LSDV de b est
• Cet estimateur sobtient comme lestimateur des
  MCO sur le modèle transformé

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Le modèle avec effets individuels et temporels (1)

• Il sécrit
• Cependant, les paramètres a et l ne sont pas tous
  identifiables car la matrice D N D T nest pas
  de rang complet (multicolinéarité)
• Pour des raisons de symétrie, on propose
• dinclure N - 1 variables muettes individuelles
• dinclure T 1 variables muettes temporelles
• dajouter un terme constant global

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Le modèle avec effets individuels et temporels (2)

• Le modèle sécrit alors
• Lestimateur de g sobtient comme lestimateur
  des MCO sur le modèle transformé

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Le modèle avec effets individuels et temporels (3)

• Différents tests possibles
• Test joint sur les effets individuels et
  temporels
• Test sur les effets individuels seulement
• Test sur les effets temporels seulement

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Le modèle à erreurs composées (ou modèle à effets
aléatoires)

• Spécification du modèle avec effets individuels
• Décomposition spectrale de la matrice de
  variances-covariances
• Quelques estimateurs et leurs propriétés
• Tests de spécification
• Le modèle à effets individuels corrélés
• Le modèle avec effets individuels et temporels

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Spécification (1)

• Pour chaque individu i et chaque période t
• u i effet individuel rendant compte de
  linfluence sur y des variables non prises en
  compte, si elles sont stables dans le temps.
• W it effet résiduel représentant linfluence
  des autres variables omises, variant selon les
  individus et variant dans le temps.
• Hypothèses

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Spécification (2)

• Les propriétés suivantes sur les erreurs sont
  donc vérifiées
• Interprétation
• Autocorrélation temporelle individu par
  individu, constante quel que soit le nombre de
  périodes séparant deux perturbations
• Pas de corrélations entre les individus

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Spécification (3)

• Si on empile les observations pour lindividu i
  

21
Spécification (4)

• Si on empile les N individus

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Décomposition spectrale de la matrice des
variances-covariances (1)

• On démontre que
• V apparaît comme la combinaison linéaire des
  matrices between et within. Les quantités
• et sont les
  valeurs propres de cette matrice (resp. de
  multiplicité N et NT N).

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Décomposition spectrale de la matrice des
variances-covariances (2)

• Remarque 1 il est facile de montrer que
• Remarque 2 soit
• Alors F est la matrice permettant deffectuer une
  transformation qui ramène au MCO car

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Quelques estimateurs (1) lestimateur des MCO

• Le modèle
• Lestimateur des MCO
• Estimateur centré, convergent en probabilité
  (pour N et T ?8) mais non efficient.

25
Quelques estimateurs (2) lestimateur Between

• Il sagit de lestimateur des MCO appliqué au
  modèle sur les moyennes individuelles
• Il correspond à lestimateur appliqué au modèle
  transformé par B N

26
Quelques estimateurs (2) lestimateur Between

• Cette méthode nutilise que la variance
  interindividuelle des individus privilégiant les
  différences permanentes entre individus.
• Estimateur sans biais et convergent (pour N et T
  ?8 ou N ?8 et T fixé).

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Quelques estimateurs (3) lestimateur Within

• Il sagit de lestimateur des MCO appliqué au
  modèle sur les moyennes individuelles
• Il correspond à lestimateur appliqué au modèle
  transformé par W N

28
Quelques estimateurs (2) lestimateur Within

• Cette méthode nutilise que la variance
  intraindividuelle des individus, excluant toute
  variabilité attribuable aux différences
  permanentes entre individus.
• Estimateur sans biais et convergent (pour N et T
  ?8 ou N ?8 et T fixé). En outre, il est
  asymptotiquement efficient.

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Quelques estimateurs (4) lestimateur des MCG
purs

• Lestimateur des MCG purs est défini par
• Compte tenu de la définition de V, cet estimateur
  se réécrit comme

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Quelques estimateurs (4) lestimateur des MCG
purs

• Cet estimateur combine donc les variabilités
  inter- et intraindividuelles dans une proportion
  particulière.
• Il sinterprète ainsi comme la combinaison
  optimale des deux composantes.
• Il est léquivalent à lestimateur des MCO du
  modèle où les données sont transformées par F
  (transformation quasi-déviation à la moyenne).
• Cet estimateur est sans biais, convergent (pour N
  et T ?8 ou N ?8 et T fixé) et efficient.

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Quelques estimateurs (5) lestimateur des MCGR

• Comme la valeur de q est inconnue, il faut
  lestimer de façon convergente.
• Swamy et Arora (1972) ont proposé dutiliser les
  variances estimées des résidus des régressions
  intra- et interindividuelles.
• Un estimateur centré de est donné par
• où sont les résidus de la
  régression intra.

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Quelques estimateurs (5) lestimateur des MCGR

• Un estimateur centré de est
  donné par
• où sont les
  résidus de la régression inter.
• Un estimateur convergent de q se déduit de ces
  deux estimations
• On applique enfin les MCG avec au lieu de q.

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Tests (1) le test dabsence deffets
spécifiques individuels

• Le but est de tester
• Test de Fisher ou du multiplicateur de Lagrange
  (à partir du modèle contraint estimé par les
  MCO), suivant asymptotiquement une loi du ?2 à 1
  ddl.
• Honda (1985) a proposé une version unilatérale de
  ce test.

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Tests (2) le test de Mundlak (1978)

• Selon Mundlak (1978), les effets spécifiques
  aléatoires ont de grandes chances dêtre corrélés
  avec les variables explicatives corrélation
  entre les caractéristiques inobservables des
  individus et les caractéristiques observables
  (régresseurs).
• Dans ce cas, il montre que seul lestimateur
  within reste sans biais et convergent.
• Il en déduit également un test de corrélation
  entre les effets spécifiques et les variables
  explicatives.

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Tests (3) Le test dHausman

• Principes généraux des tests dHausman
• Ces tests reposent sur la différence entre
• un estimateur convergent et efficace sous
  lhypothèse nulle de bonne spécification mais non
  convergent sous lhypothèse alternative et
• un estimateur convergent sous les deux hypothèses

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Tests (3) Le test dHausman

• Application au modèle à erreurs composées
• Lhypothèse nulle correspond au modèle à erreurs
  composées alors que lhypothèse alternative
  correspond au modèle de Mundlak (où les effets
  spécifiques sont corrélés avec les variables
  explicatives)
• Dans ce cas, lestimateur des MCG est convergent
  et efficace sous H 0 mais non convergent sous H
  a. Au contraire, lestimateur within est
  convergent dans les deux cas.

37
Tests (3) Le test dHausman

• Le test repose alors sur la différence
• La quantité
• Remarque on peut également tester lexogénéité
  des effets spécifiques en comparant deux
  quelconque des estimateurs suivants

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Le modèle à effets individuels corrélés

• Si la corrélation ne peut pas être rejetée, il
  faut considérer un modèle à effets individuels
  corrélés
• estimateur within ou,
• estimateur MCO ou MCG sur le modèle en
  différences premières (pour éliminer leffet
  individuel) ou,
• estimateurs des variables instrumentales

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Le modèle avec effets individuels et temporels (1)

• Pour chaque individu i et chaque période t
• Hypothèses

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Le modèle avec effets individuels et temporels (2)

• Les propriétés suivantes sur les erreurs sont
  donc vérifiées
• Interprétation
• Autocorrélation temporelle individu par
  individu, constante quel que soit le nombre de
  périodes séparant deux perturbations
• Covariance contemporaine entre les individus

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Le modèle avec effets individuels et temporels (3)

• Si on empile les observations pour lindividu i
  

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Le modèle avec effets individuels et temporels (4)

• Si on empile les N individus

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Le modèle à coefficients aléatoires

• Spécification et hypothèses
• Procédures destimation
• Test de lhomogénéité des coefficients

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Spécification du modèle de Swamy (1)

• Soit le modèle
• Les hypothèses
• Sur les variables explicatives on suppose Z i
  fixe, de rang complet K1
• Sur les erreurs

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Spécification du modèle de Swamy (2)

• Sur les coefficients on suppose les g i
  aléatoires
• g est la partie fixe et d i sont les effets
  individuels aléatoires.
• On admet que où ? est une
  matrice définie-positive.
• Le modèle de Swamy est donc un modèle de
  régression multiple avec perturbations
  autocorrélées et hétéroscédastiques.

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Spécification du modèle de Swamy (3)

• On empile le modèle pour un individu i donné
• Soit Alors

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Spécification du modèle de Swamy (4)

• On empile le modèle pour tous les individus

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Estimation (1) les MCG purs

• Par définition
• Cette expression peut se simplifier compte tenu
  de la formulation de V

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Estimation (1) les MCG purs

• Interprétation il sagit dune moyenne pondérée
  matricielle des .
• La moyenne est pondérée en fonction inverse de la
  variance les individus pour lesquels
  lestimation est la plus précise pèsent plus dans
  lestimation globale que les autres.
• Cependant, puisque C i nest pas connue, cette
  méthode nest pas applicable.

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Estimation (2) les MCGR

• La matrice C i dépend de si2 et de ? qui sont en
  général inconnus.
• Pour si2, on utilise la somme des carrés des
  résidus des régressions individuelles.
• Pour ?, on utilise lestimateur
• On peut ensuite remplacer si2 et ? par leurs
  estimations dans V pour la 2ème étape des MCGR.
  On obtient un estimateur convergent et
  asymptotiquement efficace pour N ? 8 et T fixe.

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Test de lhomogénéité des coefficients

• On teste
• Puisque lhétérogénéité des coefficients induit
  une forme dhétéroscédasticité, cette dernière
  peut être testée à laide de lapproche
  Breusch-Pagan.