Solitaire Clobber 2

1
Solitaire Clobber 2 et les multipartis complets
E. Duchêne, S. Gravier ERTé  Maths à modeler ,
Grenoble, FRANCE
2
Solitaire Clobber
2
2004 Demaine E., Demaine M., Fleischer
Solitaire Clobber , Theor. Comput. Sci. 313
2005 D., Gravier, Faria Solitaire Clobber
played on graphs, submitted in Theor. Comput.
Sci.
Des pierres noires et blanches sur les sommets
dun graphe (une par sommet)
Un seul joueur Coup choisir une pierre et
 manger  une pierre adjacente de couleur
différente
Objectif minimiser le nombre de pierres
restantes.
Valeur de réductibilité (dune configuration)
nombre min. de pierres restantes.
C est k-réductible il existe une suite de coups
qui laisse au plus k pierres.
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Complexité du problème
INSTANCE Un graphe G avec une pierre (noire ou
blanche) sur chaque sommet. Un entier positif k.
QUESTION Cette configuration est-elle
k-réductible ?
NP-complet en général
Réduction à Hamiltonian path pour k1
Preuve
Hamiltonian path ?
1-reducible ?
4
Une famille plus  facile  les bipartis
PATHS
TREES
HYPERCUBES
GRIDS
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La Clé (sur les bipartis uniquement)
Un invariant défini par Demaine et al.
8
7
6
d nombre de pierres nombre de pierres
 en opposition .
4 (31)
5
3
d (mod 3) est un invariant du jeu.
Blanc
Noir
Condition nécessaire pour quune configuration
soit 1-réductible d mod 3 ? 0.
Preuve d 1 ou 2 à la fin.
6
Sur les grilles
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Une autre utilisation de la clé SUR LES
BIPARTIS COMPLETS
8
Cas 1 Km,m  bien coloré 
m
m
m 1 (mod 3)
d 2m 0 (mod 3) ssi m est un multiple de 3.
pas 1-réductible si m est un multiple de 3.
m 1 (mod 3) 1-réductible
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Cas 1 Km,m  bien coloré 
m
m
m 2 (mod 3)
d 2m 0 (mod 3) ssi m est un multiple de 3.
pas 1-réductible si m est un multiple de 3.
m 1 (mod 3) 1-réductible
m 2 (mod 3) 1-réductible
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Cas 1 Km,m  bien coloré 
m
m
m 0 (mod 3)
d 2m 0 (mod 3) ssi m est un multiple de 3.
pas 1-réductible si m est un multiple de 3.
m 1 (mod 3) 1-réductible
m 2 (mod 3) 1-réductible
m 0 (mod 3) 2-réductible
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Cas 2 Km,m
m
m
L1
L2
L3
d 2L13L24L3 0 (mod 3) ssi L1 mod 3 L3 mod
3
si L1 mod 3 ? L3 mod 3, alors C est 1-réductible.
si L1 mod 3 L3 mod 3, alors C est 2-réductible.
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Cas 3 Kn,m (ngtm)
n
m
1 Ordonner le stable 1 avec des paires
 blanc-noir 
2 Egaliser les tailles des stables (si possible)
en jouant des paires  blanc-noir 
1 ou 2-réductible selon d
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3) Et sil ny a pas assez de paires
 blanc-noir  ?
L1
L2
m
n
m
mb
4) Si L2ltmb, alors 1 ou 2-réductible selon d
5) Si L2 gt mb-1
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5) Si L2 gt mb-1
L1
L2
m
n
m
mb
Valeur de réductibilité L2-mb2
La clé f(C) L2-mb ne décroit jamais au cours
du jeu
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Des bipartis
aux p-partis complets
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Sur les p-partis complets (pgt2)
Linvariant d nest plus disponible
M1
M2
M3
M1, M2, M3sont les stables de taille maximum.
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Sur les p-partis complets (pgt2)
Théorème sil y a plusieurs stables de taille
maximum, alors toute configuration de jeu est
1-réductible.
L1
q
Sinon
M1
m pierres
et on raisonne comme sur les bipartis complets
entre M1 et G\M1.
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Conclusion
Sur les bipartis, on a des résultats (cycles,
arbres, hypercubes)
Sur les non bipartis, les résultats sont rares
Invariant général ?