Title: MATH
1MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
2Rappel du dernier cours
- Formule basique du prix dune obligation
3Rappel du dernier cours
- Formule basique du prix dune obligation
- Formule Prime/escompte du prix dune obligation
4Rappel du dernier cours
- Formule basique du prix dune obligation
- Formule Prime/escompte du prix dune obligation
- Formule du montant de base du prix dune
obligation
5Rappel du dernier cours
- Formule basique du prix dune obligation
- Formule Prime/escompte du prix dune obligation
- Formule du montant de base du prix dune
obligation - Formule de Makeham du prix dune obligation
6Rappel du dernier cours
- Formule basique du prix dune obligation
- Formule Prime/escompte du prix dune obligation
- Formule du montant de base du prix dune
obligation - Formule de Makeham du prix dune obligation
- Valeur comptable dune obligation
7Rappel du dernier cours
- Formule basique du prix dune obligation
- Formule Prime/escompte du prix dune obligation
- Formule du montant de base du prix dune
obligation - Formule de Makeham du prix dune obligation
- Valeur comptable dune obligation
- Amortissement dune obligation
8RappelLa formule basique pour le prix dune
obligation est
9RappelLa formule prime/escompte pour le prix
dune obligation est
10RappelLa formule du montant de base pour le
prix dune obligation est
11RappelLa formule de Makeham pour le prix dune
obligation est
12RappelSi P gt C, nous disons que lobligation
est vendue à prime.Si P lt C, alors nous disons
que lobligation est vendue à escompte.
13Rappel de notations
- la valeur comptable de lobligation après le
versement du ke coupon sera notée par Bk - la portion dintérêt du ke coupon sera notée par
Ik - lajustement à être apporté à la valeur comptable
de lobligation dans le ke coupon sera notée Pk
14RappelSi lobligation a n versements de
coupon, alors B0 P et Bn C .
15Rappel La valeur comptable Bk immédiatement
après le ke coupon est obtenue en utilisant une
des formules (formule basique ou encore formule
prime/escompte ou les deux autres) du prix de
lobligation au taux de rendement i obtenu lors
de lachat de lobligation. Il faut considérer la
somme des valeurs actuelles des coupons et de la
valeur de remboursement.
16Rappel La portion dintérêt Ik du ke coupon
estiB(k- 1) . Cest ce que doit nous rapporter
lobligation pour une période au taux i.
Lajustement Pk à apporter à la valeur
comptable dans le ke coupon est Pk Fr - Ik
.Nous avons Bk Bk-1 - Pk .
17Considérons maintenant la table damortissement
dune obligation dont la valeur de remboursement
C 1 et les montants des coupons sont égaux.
Par la définition de taux modifié dintérêt, les
coupons sont au montant de g dollars. Le prix de
lobligation est (1 p) dollars, où p peut être
négatif ou positif.
18À cause de la formule prime/escompte, nous avons
où i est le taux de rendement .
19Mais nous aurions aussi pu utiliser la formule
basique et obtenir
où i est le taux de rendement .
20(No Transcript)
21Exemple 1
- Considérons lobligation 5.625 May 08n du
Département du Trésor américain achetée le 22
novembre 2004 au prix de 107.80 pour un taux de
rendement de 1.625 par six mois. Le coupon est
de 5.625/2 2.8125 à chaque semestre. La table
damortissement est alors
22Période de capitalisation Coupon Intérêt Ik Ajustement Pk Valeur comptable Bk
0 107.80
1 2.8125 1.75175 1.06075 106.74
2 2.8125 1.734525 1.077975 105.66
3 2.8125 1.716975 1.095525 104.56
4 2.8125 1.6991 1.1134 103.45
5 2.8125 1.6810625 1.1314375 102.32
6 2.8125 1.6627 1.1498 101.17
7 2.8125 1.6440125 1.1684875 100
23Exemple 2
- Considérons une obligation dont la valeur
nominale est 1000, la valeur de remboursement de
1100, le taux facial est de 5 par année et les
coupons sont versés une fois par année. La durée
de vie de cette obligation est de 7 ans. Celle-ci
est achetée pour obtenir un rendement de 6 par
année. Déterminons son prix et sa table
damortissement. Le coupon est de 1000 (0.05)
50 à chaque année.
24Exemple 2 (suite)
- En utilisant la formule basique, nous obtenons
pour le prix
Cette obligation est achetée à escompte, car son
prix P 1010.68 est inférieur à sa valeur de
remboursement C 1010.
25Période de capitalisation Coupon Intérêt Ik Ajustement Pk Valeur comptable Bk
0 1010.68
1 50 60.6408 -10.6408 1021.32
2 50 61.2792 -11.2792 1032.60
3 50 61.956 -11.956 1044.56
4 50 62.6736 -12.6736 1057.23
5 50 63.4338 -13.4338 1070.66
6 50 64.2396 -14.2396 1084.90
7 50 65.094 -15.094 1010
26Dans lexemple précédent, si nous voulons
calculer la valeur comptable B4, nous utilisons
la formule basique et obtenons puisquil reste 3
périodes de capitalisation et 3 coupons de 50 .
Donc
27Nous aurions aussi pu calculer cette valeur
comptable B4, retrospectivement. Dans ce cas nous
utilisons la valeur accumulée du prix au taux de
rendement à la date du 4e coupon, auquel nous
soustrayons la somme des valeurs accumulées des
coupons versés à la même date, à savoir celle du
4e coupon. Il faut inclure le 4e coupon. Donc
28Ainsi nous avons deux approches pour calculer la
valeur comptable Bk dune obligation
prospectivement ou encore rétrospectivement.
29Prospectivement il suffit dutiliser une des
formules du prix pour calculer la somme des
valeurs actuelles des (n - k) coupons non versés
et la valeur actuelle de la valeur de
remboursement pour (n - k) périodes de
capitalisation. Ces calculs sont faits avec le
taux de rendement i obtenu lors de lachat
30Rétrospectivement il suffit de calculer la valeur
accumulée du prix dachat P de lobligation après
le ke coupon, auquel nous soustrayons la somme
des valeurs accumulées des k premiers coupons.
Ces calculs sont faits avec le taux de rendement
i obtenu lors de lachat
31Exemple 3
- Reprenons lexemple 1 du 23e cours. Considérons
une obligation dont la valeur nominale est 75000
dune durée de vie de 15 ans ayant des coupons
semestriels au taux facial le taux nominal de 8
par année capitalisée semestriellement et qui
sera remboursé à 78000 si cette obligation est
achetée pour que le taux de rendement soit 10
par année capitalisé semestriellement.
32Exemple 3 (suite)
- Avec nos notations précédentes, nous avons
- F 75000
- C 78000
- r 8/2 4 par semestre
- n 15 x 2 30 semestres
- i 10/2 5 par semestre
- Nous avons aussi calculé le prix P 64164.79
33Exemple 3 (suite)
- Déterminons la valeur comptable B17 immédiatement
après le 17e coupon, la portion dintérêt I18 de
la 18e période et lajustement à apporter P18 à
la valeur comptable au 18e coupon.
34Exemple 3 (suite)
- Prospectivement nous obtenons que
Rétrospectivement nous obtenons que
35Exemple 3 (suite)
- La portion dintérêt I18 de la 18e période est
Lajustement P18 à apporter à la valeur comptable
est
36Exemple 3 (suite)
- Conséquemment la valeur comptable à la fin de la
18e période est - B18 B17 - P18 69545.78 - (-477.29)
70023.07. - Nous pourrions vérifier aussi ceci.
Prospectivement
ou encore rétrospectivement
37Lorsque les coupons de lobligation sont égaux,
nous pouvons remarquer que les ajustements Pk de
la valeur comptable forment une suite géométrique
de raison (1 i).
38Lamortissement est tout à fait similaire à ce
qui se produit pour lamortissement des prêts.
Lorsque les coupons sont égaux pour lobligation
et que les paiements sont égaux pour le prêt. La
valeur comptable de lobligation au ke coupon est
similaire au solde restant du prêt après le ke
paiement. La portion dintérêt de la ke période
pour lobligation correspond à la portion
dintérêt du ke paiement.
39 Finalement lajustement pour lobligation est
similaire à la portion de principal. Cependant
pour lobligation, lajustement peut être négatif
ou positif alors que la portion de principal
pour les prêts est toujours positive.
40 Nous avons décrit jusquà maintenant la méthode
actuarielle pour la construction de la table
damortissement de lobligation. Il existe une
seconde méthode beaucoup plus simple la méthode
linéaire.
41Dans la méthode linéaire, lajustement à
apporter à chaque valeur comptable est constant à
chaque période et est égal à
sil y a n coupons. La portion dintérêt de
chaque coupon est constante et égale à Fr - Pk
Fr - (P-C)/n.
42Exemple 4
- Reprenons lexemple de lobligation 5.625 May 08n
du Département du Trésor américain considérée à
lexemple 1. Cette obligation achetée le 22
novembre 2004 au prix de 107.80 pour un taux de
rendement de 1.625 par six mois. Le coupon est
de 5.625/2 2.8125 à chaque semestre. Dans ce
cas, lajustement sera toujours - (107.80 - 100)/7 1.1143
- La table damortissement est alors
43Période de capitalisation Coupon Ajustement Pk Valeur comptable Bk
0 107.80
1 2.8125 1.1143 106.69
2 2.8125 1.1143 105.58
3 2.8125 1.1143 104.47
4 2.8125 1.1143 103.36
5 2.8125 1.1143 102.25
6 2.8125 1.1143 101.11
7 2.8125 1.1143 100
44Nous allons maintenant considérer le prix dune
obligation entre des paiements de coupon. Avant
danalyser plus en détail ceci, nous allons
illustrer ce prix en faisant lhypothèse que le
taux de rendement demeure constant pour toute la
durée de vie de lobligation.
45Considérons le prix P(x) dune obligation au
moment x de sa durée de vie dont les valeurs
nominale et de remboursement sont de 100, le
taux facial est r 4 par période de
capitalisation, dune durée de vie de 8 périodes
de capitalisation en supposant que le taux de
rendement est 6 par période de capitalisation.
Ici x est compris entre 0 et 8.
46Alors P(x) est obtenu prospectivement en
considérant la somme des valeurs actuelles des
coupons de 4 et de la valeur actuelle de la
valeur de remboursement de 100. Nous obtenons
donc que
Nous avons illustré cette fonction sur le graphe
suivant
47(No Transcript)
48Notons quil y a un saut à chaque x égal à un
entier et il est égal à -4. En effet,
49À cause de ces sauts, il est nécessaire de
considérer deux prix le prix uniforme ( flat
price ) et le prix du marché ( market price )
ou encore la valeur comptable de lobligation.